高考数学一轮复习 第二十一章 计数原理 21.2 二项式定理课件.ppt

高考数学 江苏省专用 21 2二项式定理 考点二项式定理1 2017课标全国 理改编 6 5分 1 x 6展开式中x2的系数为 五年高考 统一命题 省 区 市 卷题组 答案30 解析本题考查二项式定理中项的系数问题 对于 1 x 6 若要得到x2项 可以在中选取1 此时 1 x 6中要选取含x2的项 则系数为 当在中选取时 1 x 6中要选取含x4的项 即系数为 所以 展开式中x2项的系数为 30 2 2017课标全国 理改编 4 5分 x y 2x y 5的展开式中x3y3的系数为 答案40 解析本题考查二项式定理 求特定项的系数 2x y 5的展开式的通项为tr 1 2x 5 r y r 1 r 25 r x5 ryr 其中x2y3项的系数为 1 3 22 40 x3y2项的系数为 1 2 23 80 于是 x y 2x y 5的展开式中x3y3的系数为 40 80 40 3 2017山东理 11 5分 已知 1 3x n的展开式中含有x2项的系数是54 则n 答案4 解析本题主要考查二项展开式 1 3x n的展开式的通项tr 1 3rxr 含有x2项的系数为32 54 n 4 4 2017浙江 13 5分 已知多项式 x 1 3 x 2 2 x5 a1x4 a2x3 a3x2 a4x a5 则a4 a5 答案16 4 解析本题考查二项式定理 求指定项系数 组合数计算 考查运算求解能力 设 x 1 3 x3 b1x2 b2x b3 x 2 2 x2 c1x c2 则a4 b2c2 b3c1 12 22 13 2 16 a5 b3c2 13 22 4 5 2013课标全国 理改编 9 5分 0 788 设m为正整数 x y 2m展开式的二项式系数的最大值为a x y 2m 1展开式的二项式系数的最大值为b 若13a 7b 则m 答案6 解析由题意得a b 所以13 7 13 解得m 6 经检验为原方程的解 6 2015课标 改编 10 5分 0 634 x2 x y 5的展开式中 x5y2的系数为 答案30 解析 x2 x y 5 x2 x y 5的展开式中只有 x2 x 3y2中含x5y2 易知x5y2的系数为 30 7 2015安徽 11 5分 的展开式中x5的系数是 用数字填写答案 答案35 解析展开式的通项为tk 1 x3 7 k x k x21 4k 令21 4k 5 得k 4 则展开式中x5的系数为 35 8 2016天津理 10 5分 的展开式中x7的系数为 用数字作答 答案 56 解析tr 1 x16 2r x r 1 rx16 3r 令16 3r 7 得r 3 所以x7的系数为 1 3 56 9 2016四川理改编 2 5分 设i为虚数单位 则 x i 6的展开式中含x4的项为 答案 15x4 解析t3 x4i2 15x4 10 2015重庆 12 5分 的展开式中x8的系数是 用数字作答 答案 解析二项展开式的通项为tr 1 x3 5 r 令15 3r 8 得r 2 于是展开式中x8的系数为 10 11 2015陕西改编 4 5分 二项式 x 1 n n n 的展开式中x2的系数为15 则n 答案6 解析因为 x 1 n的展开式中x2的系数为 所以 15 即 15 亦即n2 n 30 解得n 6 n 5舍 12 2015湖南改编 6 5分 已知的展开式中含的项的系数为30 则a 答案 6 解析的展开式的通项为tr 1 5 r a r 依题意 令5 2r 3 得r 1 a 1 30 a 6 13 2015湖北改编 3 5分 已知 1 x n的展开式中第4项与第8项的两项式系数相等 则奇数项的二项式系数和为 答案29 解析 1 x n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为 得n 10 从而有 210 又 奇数项的二项式系数和为 29 评析本题考查求二项展开式的二项式系数及其性质 组合数性质 考查运算求解能力 14 2013安徽理 11 5分 若的展开式中x4的系数为7 则实数a 答案 解析通项公式tr 1 x8 r ar 由8 r 4得r 3 故 a3 7 解得a 评析有关二项式定理的展开式的问题 要准确地写出通项公式 并注意二项式系数与系数的区别 15 2014浙江改编 5 5分 在 1 x 6 1 y 4的展开式中 记xmyn项的系数为f m n 则f 3 0 f 2 1 f 1 2 f 0 3 答案120 答案120 解析在 1 x 6的展开式中 xm的系数为 在 1 y 4的展开式中 yn的系数为 故f m n 从而f 3 0 20 f 2 1 60 f 1 2 36 f 0 3 4 所以f 3 0 f 2 1 f 1 2 f 0 3 120 16 2014安徽 13 5分 设a 0 n是大于1的自然数 的展开式为a0 a1x a2x2 anxn 若点ai i ai i 0 1 2 的位置如图所示 则a 答案3 解析根据题意知a0 1 a1 3 a2 4 结合二项式定理得即解得a 3 17 2014山东 14 5分 若的展开式中x3项的系数为20 则a2 b2的最小值为 答案2 解析tr 1 ax2 6 r a6 rbrx12 3r 令12 3r 3 则r 3 a3b3 20 即ab 1 a2 b2 2ab 2 即a2 b2的最小值为2 评析本题考查二项式定理及基本不等式的综合应用 考查学生推理论证及运算求解能力 18 2013辽宁理改编 7 5分 使 n n 的展开式中含有常数项的最小的n为 答案5 解析tr 1 3x n r 3n r 3n r r 0 1 2 n 若tr 1是常数项 则有n r 0 即2n 5r r 0 1 n 当r 0 1时 n 0 不满足条件 当r 2时 n 5 故填5 1 2014课标 13 5分 x a 10的展开式中 x7的系数为15 则a 用数字填写答案 教师专用题组 答案 解析tr 1 x10 rar 令10 r 7 得r 3 a3 15 即a3 15 a3 a 2 2014大纲全国 13 5分 的展开式中x2y2的系数为 用数字作答 答案70 解析tr 1 1 r 令得r 4 所以展开式中x2y2的系数为 1 4 70 3 2015北京 9 5分 在 2 x 5的展开式中 x3的系数为 用数字作答 答案40 解析 2 x 5的展开式的通项为tr 1 25 r xr r 0 1 5 则x3的系数为 22 40 4 2013天津理 10 5分 的二项展开式中的常数项为 答案15 解析通项tr 1 x6 r 1 r r 1 r 令6 r 0 得r 4 所以常数项为 1 4 15 5 2015四川 11 5分 在 2x 1 5的展开式中 含x2的项的系数是 用数字填写答案 答案 40 解析tr 1 2x 5 r 1 r 1 r 25 r x5 r 令5 r 2 则r 3 所以含x2的项的系数是 40 6 2015广东 9 5分 在 1 4的展开式中 x的系数为 答案6 解析 1 4的展开式的通项为tr 1 4 r 1 r 1 r 令 1 得r 2 从而x的系数为 1 2 6 1 2015江苏南通五校模拟 若 3 32 3n 2 3n 1 85 则n 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 35分钟分值 45分 一 填空题 每题5分 共10分 答案4 解析题中等式两边同时乘3 再同时加1可得1 3 32 33 3n 1 3n 85 3 1 即 3 1 n 256 n 4 2 2015江苏盐城三模 设f n a1 a2 a3 a4 1 nan 1 n 2 n n 若数列 an 的各项均为1 则f n 答案0 解析因为数列 an 的各项均为1 所以f n 1 n 而 1 x n x x2 x3 xn 令x 1 得0 1 n 即f n 0 二 解答题 共35分 3 2017江苏苏北四市联考 21 已知等式 1 x 2n 1 1 x n 1 1 x n 1 求 1 x 2n 1的展开式中含xn的项的系数 并化简 2 证明 2 2 2 n 2 n 解析 1 1 x 2n 1的展开式中含xn的项的系数为 由 1 x n 1 1 x n x xn 1 x xn 可知 1 x n 1 1 x n的展开式中含xn的项的系数为 所以 2 证明 当k n 时 k k n n 所以 2 2 2 n 2 k 2 k n n n 由 1 知 即 所以 2 2 2 n 2 n 4 2017江苏如皋高三上学期教学质量调研 三 24 已知二项式 1 x n 1 求展开式中的中间项 2 化简 n 2k 23k 解析 1 记展开式的第 k 1 项为tk 1 xk 当n为奇数时 中间项为 和 当n为偶数时 中间项为 2 等式 1 x n xk两边分别对x求导 得n 1 x 0n 1 kxk 1 令x 3 则有n 4n 1 k3k 1 所以k3k 3n 4n 1 式两边分别对x求导 得n n 1 1 x n 2 k k 1 xk 2 令x 3 则有n n 1 4n 2 k3k 由 得 k23k 9n2 3n 4n 2 所以 n 2k 23k n23k 4nk3k 4k23k n2 4n 4n 3n 4n 1 4 9n2 3n 4n 2 n2 3n 4n 1 5 2016江苏南京六校联考 23 设f x 是定义在r上的函数 已知n n 且g x fx0 1 x n fx1 1 x n 1 fx2 1 x n 2 fxn 1 x 0 1 若f x 1 求g x 2 若f x x 求g x 解析 1 f x 1 所以f f f 1 g x x0 1 x n x1 1 x n 1 x2 1 x n 2 xn 1 x 0 1 x x n 1 00无意义 g x 1 且x 0 x 1 x r 2 r r n n 其中r 1 2 n r n r 1 2 n 又 f x x g x 0 x0 1 x n x1 1 x n 1 x2 1 x n 2 xn 1 x 0 x1 1 x n 1 2x2 1 x n 2 rxr 1 x n r nxn 1 x 0 n x1 1 x n 1 x2 1 x n 2 xr 1 x n r xn 1 x 0 x x0 1 x n 1 x1 1 x n 2 xr 1 1 x n 1 r 1 xn 1 1 x 0 x 1 x x n 1 x 即g x x x 0 x 1 x r 解答题 共50分 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 40分钟分值 50分 1 2017江苏扬州中学高三开学考试 24 设二项展开式cn 1 2n 1 n n 的整数部分为an 小数部分为bn 1 计算c1b1 c2b2的值 2 求cnbn 解析 1 因为cn 1 2n 1 所以c1 1 则a1 2 b1 1 所以c1b1 2 c2 1 3 10 6 所以a2 20 b2 6 10 所以c2b2 8 2 cn 1 2n 1 2n 1 2n 2 1 2n 1 2n 1 2n 2 得 1 2n 1 1 2n 1 2 2n 2 2n 4 因为0 1 2n 1 1 所以an 1 2n 1 1 2n 1 bn 1 2n 1 所以cnbn 1 2n 1 1 2n 1 22n 1 n n 2 2017江苏南京 盐城高三第一次模拟考试 23 设n n n 3 k n 1 求值 k n k2 n n 1 n k 2 2 化简 12 22 32 k 1 2 n 1 2 解析 1 k n k n 0 k2 n n 1 n k2 n n 1 n k 0 2 当n 3时 由二项式定理 得 1 x n 1 x x2 xk xn 两边同乘x 得 1 x nx x x2 x3 xk 1 xn 1 两边对x求导 得 1 x n n 1 x n 1x 1 2x 3x2 k 1 xk n 1 xn 两边再同乘x 得 1 x nx n 1 x n 1x2 x 2x2 3x3 k 1 xk 1 n 1 xn 1 两边再对x求导 得 1 x n n 1 x n 1x n n 1 1 x n 2x2 2n 1 x n 1x 1 22x 32x2 k 1 2xk n 1 2xn 令x 1 得2n n2n 1 n n 1 2n 2 2n 2n 1 1 22 32 k 1 2 n 1 2 即12 22 32 k 1 2 n 1 2 2n 2 n2 5n 4 3 2016江苏苏 锡 常 镇四市二模 23 在杨辉三角中 从第3行开始 除1以外 其他每一个数值是它上面的两个数值之和 这三角形数阵开头几行如图所示 1 在杨辉三角中是否存在某一行中三个相邻的数之比为3 4 5 若存在 试求出是第几行 若不存在 请说明理由 2 已知n r为正整数 且n r 3 求证 任何四个相邻的组合数 不能构成等差数列 解析 1 存在 杨辉三角的第n行由二项式系数 k 0 1 2 n组成 如果第n行中有 那么3n 7k 3 4n 9k 5 解得k 27 n 62 即第62行有三个相邻的数 的比为3 4 5 2 证明