江苏省苏州市高考数学 必过关题3 函数3.doc

2015届苏州市高三数学过关题3函数（3）一.填空题：【考点一】导数几何背景及其意义1. 物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时的瞬时速度为 米/秒【答案】5解析 ，当时，物体在时的瞬时速度为5米/秒2. 水波的半径以的速度向外扩张，当半径为时，圆面积的膨胀率是 【答案】解析 设时间对应的水波圆的半径为，面积为，则，且当时，故有3. 曲线在点处的切线的斜率为 .【答案】解析 ，当时，曲线在点处的切线斜率为4. 已知函数，过点作曲线的切线，则切线方程是 【答案】或解析 ，设切点为，则斜率，切线方程为，即切线过点，或所求切线方程是或5. 已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 【答案】 解析 ， 6. 已知在r上满足，则在点处的切线是_【答案】解析 用方程的思想求出，即可以为变题:【考点二】导数在研究函数性质中的应用7. 函数的减区间是_ _，增区间是_【答案】，解析 注意定义域，0，单调递减区间，单调递增区间8. 若在（1，）上是减函数，则的取值范围是 【答案】解析 ，在（1，）上恒成立，.9. 若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围为 【答案】解析 ,所以10若函数有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 【答案】解析 ，令得当时，；当时，；当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值要使函数有3个不同的零点，只需两个极值异号即可，即，11. 已知函数，若对任意都有，则的取值范围是 【答案】解析 ，计算，12. 函数的定义域为，对任意，则的解集为 【答案】解析 设，则是r上的增函数又，13. 函数上最大值等于_【答案】解析高次三角函数，先换元再求导，令，14. 已知函数在处有极值，则 【答案】解析 由已知得 即解得经检验：当时，不是极值点，舍去； 当时，符合题意【考点三】导数的综合应用15. ，则解集为 【答案】解析令根据函数奇偶性可以判断，为奇函数，再根据在是单调减，在是单调增，数形结合16. 已知函数若存在，使得成立，则实数的取值范围是 【答案】解析 ，.恒成立，只要存在，使成立令，对于在恒成立，所以在上为增函数，.所以17. 已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是 【答案】 解析 函数的定义域为，导数为，要使函数有两个极值点，则有两个根。由得，令，当直线与相切是的斜率为，则满足条件。，由，得切点横坐标。此时，解得，即，所以此时切线斜率为，所以，即18. 已知函数在r上单调递增，则的最小值为 【答案】3解析 在r上恒成立，所以，令，再利用基本不等式可得二.解答题：19. 设（），曲线在点处的切线方程为（）。(1)求、的值；(2)设集合，集合，若，求实数的取值范围 解析 (1)， ，又切点在切线上，。(2) ，即，设，若，在上为增函数，与矛盾；若方程的判别式，当，即时，.在上单调递减，不等式成立， 当时，方程，设两根为， ， ，当,单调递增，与题设矛盾，综上所述， 20 某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖（如图），其中直四棱柱的高，两底面是高为，面积为的等腰梯形，且。若储水窖顶盖每平方米的造价为元，侧面每平方米的造价为元，底部每平方米的造价为元。（1）试将储水窖的造价表示为的函数；（2）该农户如何设计储水窖，才能使得储水窖的造价最低，最低造价是多少元（取）。解析 （1）过作，垂足为，则，令，从而，故，解得， 4分所以 7分（2）， 10分令，则，当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增。所以当时，。答：当时，等价最低，最低造价为51840元。15分21. 某汽车厂有一条价值为万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值经过市场调查，产品的增加值万元与技术改造投入的万元之间满足：与和的乘积成正比；，其中是常数若时， (1)求产品增加值关于的表达式；(2)求产品增加值的最大值及相应的的值解析 (1)设，因为时，所以，所以 ， (2)因为，令，则 (舍)， 当，即时，当时，所以在上是增函数，当时，所以在上是减函数，所以；当，即时，当时，所以f(x)在上是增函数，所以 综上，当时，投入万元，最大增加值当时，投入万元，最大增加值 22. 2014浙江卷 已知函数，在上的最小值记为(1)求；(2)证明：当时，恒有.解析 (1)因为，所以，(i)当时，若，则，故在上是减函数；若，则，故在上是增函数所以.(ii)当时，有，则，故在上是减函数，所以.综上，(2)证明：令(i)当时，若，则，得，则在上是增函数，所以在上的最大值是，而，所以，故.若，则，得，则在上是减函数，所以在上的最大值是，令，则，知在上是增函数，所以，即.故.(ii)当时，故，得，此时在上是减函数，因此在上的最大值是.故.综上，当时，恒有.23. 2014四川卷 已知函数，其中，为自然对数的底数(1)设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；(2)若，函数在区间内有零点，证明：.解析 (1)由，得，所以当时，当时，所以在上单调递增，因此；当时，所以在上单调递减，因此；当时，令，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，于是，在上的最小值是.综上所述，当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是.(2)证明：设为在区间内的一个零点，则由可知，在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减则不可能恒为正，也不可能恒为负故在区间)内存在零点x1.同理在区间内存在零点x2.故在区间)内至少有两个零点由(1)知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点；当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意所以.此时在区间上单调递减，在区间上单调递增因此，必有由，有，解得所以，函数在区间(0，1)内有零点时，.24. 已知函数，.（）求函数的单调区间；（）若函数在上有零点，求的最大值；（）证明：在其定义域内恒成立，并比较与（且）的大小解析 （）由题知：的定义域为函数的单调递增区间为，的单调递减区间为()在上的最小值为且在上没有零点，要想使函数在，上有零点，并考虑到在单调递增且在单调递减，故只须且即可，验证，当且时均有，即函数在上有零点，.()要证明，即证只须证在上恒成立. 令,由则在处有极大值，在上恒成立.三. 课本改编题：1.【选修2-2，2013年6月版 第5题】已知函数的图像在点处的切线方程是，那么 【答案】改编：设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为 【答案】2.【选修2-2 ，2013年6月版第5题 】直线能作为下列函数图像的切线吗？（1）；（2）；（3）；（4）.改编：2014安徽卷 若直线与曲线c满足下列两个条件：(i)直线在点处与曲线c相切；(ii)曲线c在点附近位于直线的两侧则称直线在点处“切过”曲线c.下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编