高考数学总复习 4.8 解三角形的综合应用课件 文 新人教B版.ppt

4 8解三角形的综合应用 考纲要求 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 1 仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线 叫仰角 目标视线在水平视线 叫俯角 如图 上方 下方 2 方向角相对于某正方向的水平角 如南偏东30 北偏西45 等 3 方位角指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角 如b点的方位角为 如图 正北 4 坡角与坡度 1 坡角 坡面与水平面所成的二面角的度数 如图 角 为坡角 2 坡度 坡面的铅直高度与水平长度之比 如图 i为坡度 坡度又称为坡比 4 如图 为了测量隧道口ab的长度 可测量数据a b 进行计算 答案 1 2 3 4 答案 d 2 若点a在点c的北偏东30 点b在点c的南偏东60 且ac bc 则点a在点b的 a 北偏东15 b 北偏西15 c 北偏东10 d 北偏西10 解析 如图所示 acb 90 又ac bc cba 45 而 30 90 45 30 15 点a在点b的北偏西15 答案 b 答案 b 4 轮船a和轮船b在中午12时同时离开海港c 两船航行方向的夹角为120 两船的航行速度分别为25nmile h 15nmile h 则下午2时两船之间的距离是 nmile 解析 设两船之间的距离为d 则d2 502 302 2 50 30 cos120 4900 d 70 即两船相距70nmile 答案 70 题型一求距离 高度问题 例1 1 要测量对岸a b两点之间的距离 选取相距km的c d两点 并测得 acb 75 bcd 45 adc 30 adb 45 则a b之间的距离为 km 2 2015 湖北 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30 的方向上 行驶600m后到达b处 测得此山顶在西偏北75 的方向上 仰角为30 则此山的高度cd m 解析 1 如图所示 在 acd中 acd 120 cad adc 30 方法规律 求距离 高度问题应注意 1 理解俯角 仰角的概念 它们都是视线与水平线的夹角 理解方向角的概念 2 选定或确定要创建的三角形 要首先确定所求量所在的三角形 若其他量已知则直接解 若有未知量 则把未知量放在另一确定三角形中求解 3 确定用正弦定理还是余弦定理 如果都可用 就选择更便于计算的定理 跟踪训练1 1 一船自西向东航行 上午10时到达灯塔p的南偏西75 的方向上 距塔68海里的m处 下午2时到达这座灯塔的东南方向的n处 则这只船航行的速度为 海里 小时 2 如图所示 为测一树的高度 在地面上选取a b两点 从a b两点分别测得树尖的仰角为30 45 且a b两点间的距离为60m 则树的高度为 m 题型二求角度问题 例2 在一次海上联合作战演习中 红方一艘侦察艇发现在北偏东45 方向 相距12nmile的水面上 有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75 方向前进 若红方侦察艇以每小时14nmile的速度沿北偏东45 方向拦截蓝方的小艇 若要在最短的时间内拦截住 求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值 解析 如图 设红方侦察艇经过x小时后在c处追上蓝方的小艇 则ac 14x bc 10 x abc 120 根据余弦定理得 14x 2 122 10 x 2 240 xcos120 解得x 2 故ac 28 bc 20 方法规律 解决测量角度问题的注意事项 1 首先应明确方位角或方向角的含义 2 分析题意 分清已知与所求 再根据题意画出正确的示意图 这是最关键 最重要的一步 3 将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后 注意正弦 余弦定理的 联袂 使用 跟踪训练2如图 位于a处的信息中心获悉 在其正东方向相距40海里的b处有一艘渔船遇险 在原地等待营救 信息中心立即把消息告知在其南偏西30 相距20海里的c处的乙船 现乙船朝北偏东 的方向沿直线cb前往b处救援 求cos 的值 题型三三角形与三角函数的综合问题 例3 2017 湖南四月调研 在 abc中 内角a b c的对边长分别为a b c 且 2b c cosa acosc 1 求角a的大小 2 若a 3 b 2c 求 abc的面积 解析 1 由 2b c cosa acosc 得2sinbcosa sinacosc sinccosa 得2sinb cosa sin a c 所以2sinbcosa sinb 方法规律 三角形与三角函数的综合问题 要借助三角函数性质的整体代换思想 数形结合思想 还要结合三角形中角的范围 充分利用正弦定理 余弦定理解题 思想与方法系列9函数思想在解三角形中的应用 典例 12分 某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于港口o北偏西30 且与该港口相距20海里的a处 并正以30海里 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以v海里 小时的航行速度匀速行驶 经过t小时与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 2 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里 小时 试设计航行方案 即确定航行方向和航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 思维点拨 1 利用三角形中的余弦定理 将航行距离表示为时间t的函数 将原题转化为函数最值问题 2 注意t的取值范围 温馨提醒 1 三角形中的最值问题 可利用正弦 余弦定理建立函数模型 或三角函数模型 转化为函数最值问题 2 求最值时要注意自变量的范围 要考虑问题的实际意义 方法与技巧1 利用解三角形解决实际问题时 1 要理解题意 整合题目条件 画出示意图 建立一个三角形模型 2 要理解仰角 俯角 方位角 方向角等概念 3 三角函数模型中 要确定相应参数和自变量范围 最后还要检验问题的实际意义 2 在三角形和三角函数的综合问题中 要注意