高中数学 第一章 推理与证明章末高效整合课件 北师大版选修22.ppt

章末高效整合 知能整合提升 1 归纳与类比 1 归纳推理和类比推理是常用的合情推理 都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳类比 然后提出猜想的推理 2 从推理形式上看 归纳是由部分到整体由个别到一般的推理 类比是两类事物特征间的推理 是由特殊到特殊的推理 2 综合法与分析法 1 综合法和分析法的区别与联系 分析法的特点 从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 其逐步推理 实际上是要寻找它的充分条件 综合法的特点 从 已知 看 可知 逐步推向 未知 其逐步推理 实际上是要寻找它的必要条件 2 分析法与综合法各有其特点 有些具体的证明题 用分析法或综合法都可以证明出来 人们往往选择比较简单的一种 事实上 在解决问题时 我们经常把综合法和分析法结合起来使用 根据条件的结构特点去转化结论 得到中间结论q 根据结论的结构特点去转化条件 得到中间结论p 若由q可以推出p成立 就可以证明结论成立 3 反证法 1 反证法是间接证明的一种基本方法 它不去直接证明结论 而是先否定结论 在否定结论的基础上 运用正确的推理 导出矛盾 从而肯定结论的真实性 在证明一些否定性命题 唯一性命题或含有 至多 至少 等字句的命题时 正面证明较难 可考虑反证法 即 正难则反 2 反证法的步骤 作出否定结论的假设 进行推理 导出矛盾 否定假设 肯定结论 4 数学归纳法 1 用数学归纳法证题的两个步骤相辅相成 缺一不可 尽管有些与正整数有关的命题用其他方法也可以解决 但题目若要求用数学归纳法证明 则必须严格按照数学归纳法的步骤进行 否则是不正确的 2 用数学归纳法证题的两个步骤的作用 第一步是验证命题递推的基础 第二步是论证命题递推的依据 两个步骤密切相关 缺一不可 步骤一是要选取使命题成立的最小的正整数n0作为起始值进行验证 步骤二推证当n k 1时命题成立的过程中 必须要用到当n k时命题成立这个归纳假设 否则推理无法进行或推理无效 完成了以上两个步骤 最后应完整地写出结论 热点考点例析 归纳推理分为完全归纳和不完全归纳 由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的 但它由特殊到一般 由具体到抽象的认识功能 对科学的发展是十分有用的 观察 实验 对有限的资料作归纳整理 提出带有规律性的说法 乃是科学研究的最基本的方法之一 归纳推理的应用 思维点击 首先取特殊值 令k 2 3 4 观察所给式子的规律 找出对应的ak 1 ak 2的值 再归纳出ak 1 ak 2的一般表达式 1 如图所示 一个质点在第一象限运动 在第一秒内它由原点运动到 0 1 而后接着按图所示在与x轴 y轴平行的方向上运动 且每秒移动一个单位长度 那么2012秒后 这个质点所处位置的坐标是 a 44 25 b 45 25 c 11 45 d 12 44 解析 质点到达 1 1 处 走过的长度单位是2 用时2秒 方向向右 质点到达 2 2 处 走过的长度单位是6 2 4 用时6秒 方向向上 质点到达 3 3 处 走过的长度单位是12 2 4 6 用时12秒 方向向右 质点到达 4 4 处 走过的长度单位是20 2 4 6 8 用时20秒 方向向上 猜想 质点到达 n n 处 走过的长度单位是2 4 6 2n n n 1 且n为偶数时 运动方向与y轴正向相同 n为奇数时 运动方向与x轴正向相同 2012 44 45 32 2012秒后是指质点到达 44 44 后 继续前进了32个单位 由图中规律可得向左前进了32个单位 即质点位置是 12 44 答案 d 类比推理也是猜测 发现数学结论的重要思维模式 它是通过两个已知事物在某些方面所具有的共同属性去推测这两个事物在其他方面也具有相同或类似的属性 从而大胆地猜测结论 类比推理分结论类比 性质类比和运算类比 学习类比推理可以培养创新精神 类比推理的应用 2 在rt abc中 若 c 90 则cos2a cos2b 1 则在立体几何中 给出四面体相应结论的猜想 解析 直角三角形类比三个侧面两两垂直的四面体 直角三角形的两个锐角类比上述四面体的三个侧面与底面所成的角 分别设为 类比直角三角形中相应的结论猜想cos2 cos2 cos2 1 在解决问题时 综合法和分析法往往结合起来使用 综合法的使用是 由因索果 分析法证明数学问题是 执果索因 它们是两种思路截然相反的证明方法 分析法便于寻找解题思路 而综合法便于叙述 因此在使用时往往联合运用 综合法与分析法的应用 思维点击 本题的证明既可以用分析法 也可以用综合法 证明的关键是条件 x y 1 x y均大于0 如何应用 3 在某两个正数x y之间 若插入一个数a 使x a y成等差数列 若插入两个数b c 使x b c y成等比数列 求证 a 1 2 b 1 c 1 即证b3 c3 b c b2 bc c2 b c bc 即证b2 bc c2 bc 即证 b c 2 0 因为上式显然成立 所以 a 1 2 b 1 c 1 条件较少 直接证明较为困难的问题 通过 正难则反 的思想 利用反证法 不仅可以增加条件 而且使推理的方向更加多样化 从而有效地降低了解题难度 反证法的应用 思维点击 函数f x 在区间 a b 上是增函数 就是表明对区间 a b 上任意x1 x2 若x1 x2 则f x1 f x2 所以如果反设方程f x 0在区间 a b 上至少有两个根 则有f f 0 这与假设矛盾 规范解答 证明 假设方程f x 0在区间 a b 上至少有两个实根 因为 不妨设 又因为函数f x 在 a b 上是增函数 所以f f 这与f 0 f 矛盾 所以方程f x 0在区间 a b 上至多只有一个实数根 4 设二次函数f x ax2 bx c a 0 中的a b c均为整数 且f 0 f 1 均为奇数 求证 方程f x 0无整数根 证明 假设方程f x 0有一个整数根k 则ak2 bk c 0 f 0 c f 1 a b c均为奇数 a b必为偶数 当k为偶数时 令k 2n n z 则ak2 bk 4n2a 2nb 2n 2na b 必为偶数 则ak2 bk c必为奇数 与 式相矛盾 原命题成立 当k为奇数时 令k 2n 1 n z 则ak2 bk 2n 1 2na a b 是一奇数与一偶数乘积 必为偶数 则ak2 bk c为奇数也与 式矛盾 假设不成立 f x 0无整数根 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法 在高等数学中有着重要的用途 因而成为高考的热点之一 近几年的高考试题中 不但要求能用数学归纳法去证明现有的结论 而且加强了对不完全归纳法应用的考查 既要求能归纳发现结论 又要求能证明结论的正确性 因此 初步形成 归纳 猜想 证明 的思维模式 就显得特别重要 数学归纳法的应用 解析 1 因为对任意的n n 点 n sn 均在函数y bx r b 0且b 1 b r均为常数 的图象上 所以sn bn r 当n 1时 a1 s1 b r 当n 2时 an sn sn 1 bn r bn 1 r bn bn 1 b 1 bn 1 又因为 an 为等比数列 所以r 1 公比为b an b 1 bn 1 2 数列1 2 2 3 3 3 n n n 中的第2012项为 a 61b 62c 63d 64 3 有以下结论 1 已知p3 q3 2 求证p q 2 用反证法证明时 可假设p q 2 2 已知a b r a b 1 求证方程x2 ax b 0的两根的绝对值都小于1 用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1 即假设 x 1 下列说法中正确的是 a 1 与 2 的假设都错误b 1 与 2 的假设都正确c 1 的假设正确 2 的假设错误d 1 的假设错误 2 的假设正确 解析 用反证法证题时一定要将对立面找全 在 1 中应假设p q 2 故 1 的假设是错误的 而 2 的假设是正确的 故选d 答案 d 4 下列四个图形中 着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项 则这个数列的一个通项公式为 a an 3n 1b an 3nc an 3n 2nd an 3n 1 2n 3解