【全程复习方略】高中数学 1.1.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用课时提升作业（二）新人教A版选修23.doc

课时提升作业(二)分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用一、选择题(每小题3分,共18分)1.由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中,偶数的个数为()a.15b.12c.10d.5【解析】选d.分三类,第一类组成一位整数,偶数有1个;第二类组成两位整数,其中偶数有2个;第三类组成3位整数,其中偶数有2个.由分类加法计数原理知共有偶数5个.2.如图,用5种不同的颜色涂这些正方形,让每个正方形都涂上一种颜色,且相邻的正方形的颜色不同,若颜色可反复使用,则不同的涂色方法有()a.120种b.240种c.320种d.625种【解析】选c.不同的涂色方法有5444=320种.3.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取三个不同数字组成三位数,则三位数的个数为()a.120b.80c.90d.100【解题指南】分三步,即分百位、十位、个位.【解析】选d.分三步:第一步,取1个数字排在百位上,不能取0,有5种方法;第二步,从余下的五个数字中取1个作十位,有5种方法;第三步,从余下的4个数字中取1个作个位,有4种方法.根据分步乘法计数原理,共有554=100种方法,即得100个三位数.4.(2014三明高二检测)如图,在一花坛a,b,c,d四块区域内种花,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的两块种不同的花,则不同的种法总数为()a.48b.60c.72d.84【解析】选d.先分类再分步,当a,c同种花时有433=36种不同种法,当a,c不同种花时有4322=48种不同种法,所以种法总数为36+48=84.5.(2013烟台高二检测)如图所示,m,n,p,q为海上四个小岛,现在要建造三座桥,将这四个小岛连接起来,则不同的建桥方法有()a.8种b.12种c.16种d.20种【解题指南】桥有三座,可分两类:从一个岛出发向其他三岛各建一桥;一个岛最多建两座桥.【解析】选c.第一类,从一个岛出发向其他三岛各建一桥,共有4种方法;第二类,一个岛最多建两座桥,建法为,将岛的名称m,n,p,q分别填入四个中,则分成四个步骤,第一步,先填第一个,有4种方法,再填第二、三、四个,分别有3,2,1种方法,注意到mnpq与qpnm两类是同一种建桥方法,则第二类建桥法共有432112=12(种),由分类加法计数原理得,建桥方法共有4+12=16(种).6.(2012安徽高考)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为()a.1或3b.1或4c.2或3d.2或4【解析】选d.设6位同学分别用a,b,c,d,e,f表示.若任意两位同学之间都进行交换,共进行5+4+3+2+1=15(次)交换,现共进行了13次交换,说明有2次交换没有发生,此时可能有两种情况:(1)由3人构成的2次交换,如ab和ac之间的交换没有发生,则收到4份纪念品的有b,c两人.(2)由4人构成的2次交换,如ab和ce之间的交换没有发生,则收到4份纪念品的有a,b,c,e四人,故选d.二、填空题(每小题4分,共12分)7.若一个m,n均为非负整数的有序数对(m,n),在做m+n的加法时各位均不会进位,则称(m,n)为“简单”的有序数对,m+n称为有序数对(m,n)的值,那么值为1942的“简单”的有序数对的个数是.【解析】可分类进行:个位2有3种0+2,1+1,2+0;十位4有5种0+4,1+3,2+2,3+1,4+0;百位9有10种0+9,1+8,2+7,3+6,4+5,5+4,6+3,7+2,8+1,9+0;千位1有2种0+1,1+0,所以值为1942的“简单”的有序数对的个数是35102=300(种).答案:3008.(2014天津高二检测)古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配,用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配,共可配成组.【解析】分两类:第一类,由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配,则有56=30组不同的结果;同理,第二类也有30组不同的结果,共可得到30+30=60组.答案:609.(2014合肥高二检测)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”,在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是.【解析】第1类,当平面为正方体的一个面时,此平面与两顶点确定的直线构成4个“正交线面对”,正方体共有6个面,所以可得64=24个“正交线面对”.第2类,当平面为正方体的一个对角面时,此平面与两个顶点确定的直线构成2个“正交线面对”,正方体共有6个对角面,所以可得62=12个“正交线面对”.所以共有24+12=36个“正交线面对”.答案:36三、解答题(每小题10分,共20分)10.有一项活动,需要从3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加.(1)若只需一人参加,有多少种不同选法?(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同的选法?(3)若需一名老师、一名同学参加,有多少种不同选法?【解题指南】第(1)问属于分类问题,用分类加法计数原理;第(2)问属于分步问题,用分步乘法计数原理;第(3)问是综合类问题,需先分类再分步.【解析】(1)有三类:3名老师中选一人,有3种方法;8名男同学中选一人,有8种方法;5名女同学中选一人,有5种方法.由分类加法计数原理知,有3+8+5=16种选法.(2)分三步:第一步选老师,有3种方法;第二步选男同学,有8种方法;第三步选女同学,有5种方法.由分步乘法计数原理,共有385=120种选法.(3)可分两类,每一类又分两步.第一类,选一名老师再选一名男同学,有38=24种选法;第二类,选一名老师再选一名女同学,共有35=15种选法.由分类加法计数原理,共有24+15=39种选法.11.把一个圆分成3个扇形,现在用5种不同的颜色给3个扇形涂色,要求相邻扇形的颜色互不相同,问(1)有多少种不同的涂法?(2)若分割成4个扇形呢?【解析】(1)不同的涂色方法是543=60(种).(2)如图所示,分别用a,b,c,d记这四个扇形,先考虑给a,c涂色,分两类:第1类,给a,c涂同种颜色,共5种涂法;再给b涂色,有4种涂法;最后给d涂色,也有4种涂法.由分步乘法计数原理知,此时共有544种涂法.第2类,给a,c涂不同颜色,共有54种涂法;再给b涂色,有3种涂法;最后给d涂色,也有3种涂法.此时共有5433种涂法.由分类加法计数原理知,共有544+5433=260种涂法.【拓展提升】求解与几何图形有关的计数问题的技巧一要熟悉几何图形性质及点、线、面位置关系;二要按同一标准分类,避免重、漏;三若直接求解困难或头绪繁多时,可从反面去求解.一、选择题(每小题4分,共16分)1.把10个苹果分成三堆,要求每堆至少1个,至多5个,则不同的分法共有()a.4种b.5种c.6种d.7种【解析】选a.用数组x,y,z表示三堆苹果的个数.采用列举法:由于每堆至少1个,至多5个,故可以有1,4,5,2,3,5,2,4,4,3,3,44种分法.2.用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须全部使用,且同一数字不能相邻,这样的四位数有()a.36个b.18个c.9个d.6个【解析】选b.分三步完成,第一步,确定哪一个数字被使用2次,有3种方法;第二步,把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上,有3种方法;第三步,将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上,有2种方法.故有332=18个不同的四位数.3.如图所示,用不同的五种颜色分别为a,b,c,d,e五部分着色,相邻部分不能用同一种颜色,但同一种颜色可以反复使用,也可不使用,则符合这些要求的不同着色的方法共有()abcdea.500种b.520种c.540种d.560种【解析】选c.按照分步计数原理,先为a着色共有5种,再为b着色共有4种(不能与a相同),接着为c着色有3种(不与a,b相同),同理依次为d,e着色各有3种,所以不同着色的方法共有n=5433=540(种).4.电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,则不同的选择有()a.28800种b.21760种c.2400种d.100种【解析】选a.分两类情况:(1)幸运之星在甲信箱中抽,先确定幸运之星,再在两信箱中各确定一名幸运伙伴有302920=17400种结果.(2)幸运之星在乙信箱中抽,同理有201930=11400种结果.因此共有不同结果17400+11400=28800种.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2014济南高二检测)用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色,要求“眼睛”(如图a,b所示区域)用相同颜色,则不同的涂色方法共有种.【解析】第1步涂眼睛有6种涂法,第2步涂鼻子有6种涂法,第三步涂嘴有6种涂法,所以共有63=216种涂法.答案:2166.将一个三位数的三个数字顺序颠倒,将所得到的数与原数相加,若和中没有一个数字是偶数,则称这个数为“奇和数”.那么,所有的三位数中,“奇和数”有个.【解析】设此三位数的百位、十位、个位数字分别为a,b,c,则a+c之和必为大于10的奇数,且b+b+1小于10,b可以取0,1,2,3,4.此和一定是一个四位数.a取2时,c取9,a取3时,c取8,a取4时,c取7,9,a取5时,c取6,8,a取6时,c取5,7,9,a取7时,c取4,6,8,a取8时,c取3,5,7,9,a取9时,c取2,4,6,8,上面a,c的组合就有20种.另b有5种取法,“奇和数”有205=100(个).答案:100三、解答题(每小题13分,共26分)7.集合a=1,2,-3,b=-1,-2,3,4,从a,b中各取1个元素,作为点p(x,y)的坐标.(1)可以得到多少个不同的点?(2)这些点中,位于第一象限的有几个?【解析】(1)可分为两类,a中元素为x,b中元素为y或a中元素为y,b中元素为x,共得到34+43=24个不同的点.(2)第一象限内的点,即x,y均为正数,所以只能取a,b中的正数,共有22+22=8个不同的点.8.把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.(1)43251是这个数列的第几项?(2)这个数列的第96项是多少?(3)求这个数列的各项和.【解析】将由1,2,3,4,5这五个数字组成无