【拿高分 选好题】（新课程）高中数学二轮复习 第一部分 18个必考问题 专项突破《必考问题8 数列的综合应用》热点命题 苏教版.doc

必考问题8数列的综合应用【真题体验】1(2010江苏，8)函数yx2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak1，k为正整数，a116，则a1a3a5_.解析在点(ak，a)处的切线方程为：ya2ak(xak)，当y0时，解得x，所以ak1，故an是a116，q的等比数列，即an16n1，a1a3a5164121.答案212(2011湖北)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升解析法一设自上第一节竹子容量为a1，则第九节容量为a9，且数列an为等差数列a1a2a3a43，a7a8a94，即4a510d3，3a59d4，联立解得a5.法二设自上第一节竹子容量为a1，依次类推，数列an为等差数列又a1a2a3a44a16d3，a7a8a93a121d4.解得a1，d，a5a14d4.答案3(2010南通押题卷)设sn为数列an的前n项之和，若不等式aa对任何等差数列an及任何正整数n恒成立，则的最大值为_解析a10时，不等式恒成立，当a10时，将ana1(n1)d，snna1代入上式，并化简得：2，所以，即max.答案4(2012苏锡常镇调研)设u(n)表示正整数n的个位数，anu(n2)u(n)，则数列an的前2 012项和等于_解析由题意可知，数列an的项为：0,2,6,2,0,0,2，4，8，0,0,2,6,2，是以10为周期的周期数列，且一个周期内的10项的和为0，故s2 012a1a22.答案25(2012苏中三市调研)已知正方体c1的棱长为18，以c1各个面的中心为顶点的凸多面体为c2，以c2各个面的中心为顶点的凸多面体为c3，以c3各个面的中心为顶点的凸多面体为c4，依次类推记凸多面体cn的棱长为an，则a6_.解析正方体的各面中心构成正八面体，棱长是正方体棱长的倍，正八面体的各面中心构成正方体，棱长为正八面体的倍，因为a118，所以a218，a36，a46，a52，a62.答案2【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)通过适当的代数变形后，转化为等差数列或等比数列的问题(2)求数列的通项公式及其前n项和的基本的几种方法(3)数列与函数、不等式的综合问题【应对策略】能够掌握有关数列问题的基本代数变换方法以及求数列的通项公式、前n项和的基本方法，此外，还要注意到数列与函数、不等式等知识的联系.必备知识1数列求和的一般方法数列求和的方法主要有错位相减法、倒序相加法、公式法、拆项并项法、裂项相消法等2数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型an，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式必备方法1数列求和的方法归纳(1)转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化为n个等差数列或等比数列，然后应用公式求和；(2)错位相减法：适用于anbn的前n项和，其中an是等差数列，bn是等比数列；(3)裂项法：求an的前n项和时，若能将an拆分为anbnbn1，则a1a2anb1bn1；(4)倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和容易求出，那么这样的数列求和可采用此法其主要用于求组合数列的和这里易忽视因式为零的情况；(5)试值猜想法：通过对s1，s2，s3，的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出sn，然后用数学归纳法给出证明易错点：对于sn不加证明；(6)并项求和法：先将某些项放在一起先求和，然后再求sn.例如对于数列an：a11，a23，a32，an2an1an，可证其满足an6an，在求和时，依次6项求和，再求sn.2复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式注意函数与方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用命题角度一可转为等差数列、等比数列的数列问题命题要点 证明新构造的数列为等差或等比数列【例1】 已知数列an满足a11，a23，an23an12an(nn*)(1)证明：数列an1an是等比数列；(2)求数列an的通项公式；(3)若数列bn满足4b114b214bn1(an1)bn(nn*)，证明bn是等差数列审题视点 听课记录审题视点 (1)利用定义证明；(2)可利用(1)的结论，进行累加；(3)求出bn是等差数列的等价条件(1)证明因为an23an12an，所以an2an12(an1an)因为a11，a23，a2a120，所以2(nn*)，所以an1an是以a2a12为首项，2为公比的等比数列(2)解由(1)，得an1an2n(nn*)，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1(nn*)(3)证明因为4b114b214bn1(an1)bn，所以4(b1b2bn)n2nbn，所以2(b1b2bn)nnbn同理2(b1b2bn1)(n1)(n1)bn1，得(n1)bn1nbn20同理nbn2(n1)bn120，得nbn22nbn1nbn0，即bn22bn1bn0，所以2bn1bn2bn(nn*)，所以bn是等差数列 按定义证明an成等差(比)数列，可以考虑改证它的等价定义，即2an1anan2(aanan2)【突破训练1】 在数列an中，a11，a22，且an1(1q)anqan1(n2，q0，q1)(1)求证：数列an1an为等比数列；(2)若a6，a3，a9成等差数列，问对任意的nn*，an3，an，an6是否成等差数列？说明理由解(1)由an1(1q)anqan1(n2)，得an1anq(anan1)又a2a11，q0，所以an1an成等比数列(2)由(1)得an1anqn1(q1)，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1qn2qn3q111.因为2a3a6a9，所以a3a6a9a3，即q5q2q2q8，因为q0，所以q311q6.又因为anan3(q31)，an6an(1q6)所以anan3an6an，即2anan3an6.所以，对任意的nn*，an3，an，an6成等差数列命题角度二数列与恒成立问题命题要点 利用数列与不等式恒成立相结合，求解参数的值或范围【例2】 (2011常州调研)已知数列an满足a11，a21，当n3，nn*时，.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在kn*，使得nk时，不等式sn(21)an84对任意实数0,1恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由审题视点 听课记录审题视点 (1)从递推分式变形推证为常数列；(2)利用函数的单调性讨论恒成立问题解(1)当n3时，nn*时，3，.当n2时，是常数列n2时，2，an2n5.an(2)sn当n1时，不等式sn(21)an84可化为，不满足条件当n2时，sn(21)an84可化为2(2n1)n26n50.令f()2(2n1)n26n5，由已知得，f()0对于0,1恒成立，当且仅当化简得，解得，n1或n5.满足条件的k存在，k的最小值为5. 数列通项公式的还原方法比较多样，可以构造特殊数列，也可以立足于运算、归纳，最后补充证明【突破训练2】 已知数列an满足：a1n22n(其中常数0，nn*)(1)求数列an的通项公式；(2)当4时，是否存在互不相同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列？若存在，给出r，s，t满足的条件；若不存在，请说明理由；(3)设sn为数列an的前n项和，若对任意nn*，都有(1)snan2n恒成立，求实数的取值范围解(1)a13.当n2时，由a1n22n.得a1(n1)22(n1)得2n1，所以an(2n1)n1(n2)因为a13适合上式，所以an(2n1)n1(nn*)(2)当4时，an(2n1)4n1，若存在ar，as，at成等比数列，则(2r1)4r1(2t1)4t1(2s1)242s2.整理得(2r1)(2t1)4rt2s(2s1)2，由奇偶性知rt2s0.所以(2r1)(2t1)(rt1)2，即(rt)20.这与rt矛盾，故不存在这样的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列(3)sn3572(2n1)n1，当1时，sn357(2n1)n22n，当1时，sn3572(2n1)n1， sn35273(2n1)n，(1)sn32(23n1)(2n1)n 32(2n1)n.要对任意nn*，都有(1)snan2n恒成立当1时，左(1)snanan2n12，结论显然成立当1时，左(1)snan32(2n1)nan 32.因此，对任意nn*，都有n恒成立当01时，只要n对任意nn*恒成立只要有即可，解得1或.因此，当01时，结论成立当2时，n对任意nn*恒成立不可能当12时，只要n对任意nn*恒成立只要有即可，解得1.因此当1时，结论成立综上可得，实数的取值范围为.命题角度三数列中的不等关系命题要点 证明不等式；比较大小；数列的单调性【例3】 (2012南师附中模拟)如果无穷数列an满足下列条件：an1；存在实数m，使得anm，其中nn*，那么我们称数列an为数列(1)设数列bn的通项为bn5n2n，且是数列，求m的取值范围；(2)设cn是各项为正数的等比数列，sn是其前n项和，c3，s3，证明：数列sn是数列；(3)设数列dn是各项均为正整数的数列，求证：dndn1.审题视点 听课记录审题视点 (1)要求m的取值范围，可通过求bn的取值求得；(2)从给出新的信息入手证明sn是否满足是数列的两个条件；(3)可采用反证法(1)解bn1bn52n，当n3，bn1bn0，故数列bn单调递减；当n1,2时，bn1bn0，即b1b2b3，则数列bn中的最大项是b37，所以m7.(2)证明cn是各项正数的等比数列，sn是其前n项和，c3，s3，设其公比为q0，c3.整理得6q2q10，解得q，q(舍去)c11，cn，sn22，对任意的nn*，有22sn1，且sn2，故sn是数列(3)证明假设存在正整数k使得dkdk1成立，有数列dn的各项均为正整数，可得dkdk11，即dk1dk1.因为dk1，所以dk22dk1dk2(dk1)dkdk2，由dk22dk1dk及dkdk1得dk22dk1dk1dk1，故dk2dk11.因为dk2，所以dk32dk2dk12(dk11)dk1dk12dk3，由此类推，可得dkmdkm(mn*)又存在m，使dkm，mm，使dkm0，这与数列dn的各项均为正数矛盾，所以假设不成立，即对任意nn*，都有dkdk1成立 不等式证明是数列问题中的常见题型，一般方法是利用不等式证明的常规方法，如综合法、分析法等直接证明方法，也可以应用反证法等间接证明方法【突破训练3】 (2012苏中三市调研)已知，是方程x2x10的两个根，且.数列an，bn满足a11，a2，an2an1an，bnan1an(nn*)(1)求b2a2的值；(2)证明：数列bn是等比数列；(3)设c11，c21，cn2cn1cn(nn*)，证明：当n3时，an(1)n1(cn2cn)解因为，是方程x2x10的两个根，所以1，1，所以21.(1)由b2a3a2a1a2a21a22a2，得b2a22.(2)因为，又b1a2a10，所以bn是首项为，公比为的等比数列(3)由(2)可知an1an()n1.同理，an1an(anan1)又a2a10，于是an1an0.由，得an n1.下面我们只要证明：n3时，(1)n1(cn2cn) n1.因为.又c11，c21，c32，则当n3时，(1)2(c1c3)(2)12，所以(1)n1(cn2cn)是以2为首项，为公比的等比数列(1)n1(cn2cn)是它的第n2项，所以(1)n1(cn2cn) 2 n3 n1an.命题角度四数列与新定义、探索性问题的综合命题要点 数列中的探索性问题；数列中的新定义的应用【例4】 (2012无锡期末)设数列an的前n项积为tn，已知对n，mn*，当nm时，总有tnmq(nm)m(q0是常数)(1)求证：数列an是等比数列；(2)设正整数k，m，n(kmn)成等差数列，试比较tntk和(tm)2的大小，并说明理由；(3)探究：命题p：“对n，mn*，当nm时，总有tnmq(nm)m(q0是常数)”是命题t：“数列an是公比为q(q0)的等比数列”的充要条件吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由审题视点 听课记录审题视点 (1)利用定义，给出证明；(2)比较tntk与(tm)2的大小要注意公比q的取值；(3)可先从充分性入手，再证是不是必要条件解(1)设m1，则有tn1qn1，因为ti0(in*)，所以有a1qn1，即ana1qn1，所以当n2时q，所以数列an是等比数列(2)当q1时，ana1(nn*)，所以tna，所以tntkaaaat当q1时，ana1qn1，tna1a2anaq12(n1)aq，所以tntkaqaqaq，taqm(m1)因为nk2m且kmn，所以aa，m2mm2m，所以若q1，则tmtkt，若q1，则tmtkt.(3)由(1)知，充分性成立；必要性：若数列an成等比数列，则ana1qn1，所以当q1时，tnaq，则aqaq，tnmq(nm)maqq(nm)m aq aq.所以，“对n，mn*，当nm时总有tnmq(nm)m成立；同理可证当q1时也成立所以命题p是命题t的充要条件 数列中的比较大小与其它比较大小的方法类似，也是差比法或商比法另外探索充要条件要从充分性、必要性两个方面判断与寻找【突破训练4】 (2011镇江调研)已知等比数列an的首项a12 011，公比q，数列an前n项和记为sn，前n项积记为(n)(1)证明：s2sns1；(2)判断|(n)|与|(n1)|的大小；n为何值时，(n)取得最大值；(3)证明an中的任意相邻三项按从小到大排列，总可使其成为等差数列；如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为d1，d2，d3，dn，证明：数列dn为等比数列(参考数据2101 024)解(1)sna1，n是奇数时，nn，n1时，n最小，s1最大；n是偶数时，nn，n2时，n最大，s2最小；综上：s2sns1，(2)|(n)|a1a2a3an|，|an1|2 011n.1，当n10时，|(n1)|(n)|，当n11时，|(n1)|(n)|，|(n)|max|(11)|，但(11)0，(10)0，(9)0，(12)0，(n)的最大值是(9)，(12)中的较大者a10a11a1231，(12)(9)，当n12时，(12)最大(3)对an，an1，an2进行调整，|an|随n增大再减小，an奇数项均正，偶数项均负当n是奇数时，调整为an1，an2，an；则an1ana1na1n1a1，2an22a1n1a1.an1an2an2，an2，an1，an2，an成等差数列；当n是偶数时，调整为an，an2，an1，则an1ana1na1n1a1，2an22a1n1a1.an1an2an2，an，an2，an1成等差数列，|an|中的任意相邻三项按从小到大排列，总可使其成为等差数列n是奇数时，公差dnan2an1a1a1；当n是偶数时，公差dan2ana1a1，无论n是奇数还是偶数，都有dna1，则.数列dn是以d1a1，公比为的等比数列8已知sn求an要注意分