【全程复习方略】高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式单元质量评估(四) 新人教A版选修45(1).docVIP

【全程复习方略】2013-2014学年高中数学（人教a版）选修4-5第四讲 用数学归纳法证明不等式 单元质量评估(四)（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.用数学归纳法证明等式1+2+3+(n+3)=(n+3)(n+4)2(nn+)时,第一步验证n=1时,左边应取的项是()a.1 b.1+2c.1+2+3 d.1+2+3+42.(2013佛山高二检测)设s(n)=1n+1n+1+1n+2+1n2,则()a.s(n)共有n项,当n=2时,s(2)=12+13b.s(n)共有n+1项,当n=2时,s(2)=12+13+14c.s(n)共有n2-n项,当n=2时,s(2)=12+13+14d.s(n)共有n2-n+1项,当n=2时,s(2)=12+13+143.设凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线的条数f(n+1)为()a.f(n)+n+1 b.f(n)+nc.f(n)+n-1 d.f(n)+n-24.设012764(nn+)成立时,起始值至少应取()a.7 b.8 c.9 d.1011.若k棱柱有f(k)个对角面,则k+1棱柱的对角面的个数为()a.2f(k) b.f(k)+k-1c.f(k)+k d.f(k)+212.用数学归纳法证明12+cos+cos3+cos(2n-1)=sin2n+12cos2n-12sin(k,kz,nn+),在验证n=1时,左边计算所得的项是()a.12b.12+cosc.12+cos+cos3d.12+cos+cos2+cos3二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.观察下式:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72;,则可得出第n个式子为.14.(2013丹东高二检测)设f(n)=1+1n1+1n+11+1n+n,用数学归纳法证明f(n)3.在“假设n=k时成立”后,f(k+1)与f(k)的关系是f(k+1)=f(k) .15.已知1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c对一切nn+都成立,那么a=,b=,c=.16.有以下四个命题:(1)2n2n+1(n3).(2)2+4+6+2n=n2+n+2(n1).(3)凸n边形内角和为f(n)=(n-1)(n3).(4)凸n边形对角线条数f(n)=n(n-2)2(n4).其中满足“假设n=k(kn+,kn0)时命题成立,则当n=k+1时命题也成立.”但不满足“当n=n0(n0是题中给定的n的初始值)时命题成立”的命题序号是.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)求证:两个连续正整数的积能被2整除.18.(12分)证明:tantan2+tan2tan3+tan(n-1)tann=tanntan-n(n2,nn+).19.(12分)(2013盐城高二检测)数列an满足sn=2n-an(nn+).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an.(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.20.(12分)设函数fn(x)=cn2+cn3x+cn4x2+cnnxn-2(nn,n2),当x-1,且x0时,证明:fn(x)0恒成立.21.(12分)(能力挑战题)在平面内有n条直线,每两条直线都相交,任何三条直线不共点,求证:这n条直线分平面为n2+n+22个部分.22.(12分)(能力挑战题)已知y=f(x)满足f(n-1)=f(n)-lgan-1(n2,nn),且f(1)=-lga,是否存在实数,使f(n)=(n2+n-1)lga,对任意nn+都成立?证明你的结论.答案解析1.【解析】选d.因为1+3=4,所以左边应取的项是1+2+3+4.2.【解析】选d.s(n)共有n2-n+1项,当n=2时,s(2)=12+13+14.3.【解析】选c.凸n+1边形的对角线的条数等于凸n边形的对角线的条数,加上多的那个点向其他点引的对角线的条数(n-2)条,再加上原来有一边成为对角线,共有f(n)+n-1条对角线,故选c.4.【解析】选b.a1=2cos,a2=2+2cos=2cos2,a3=2+2cos2=2cos4,猜想an=2cos2n-1.5.【解析】选d.由假设a4k能被4整除,则当n=k+1时,应该证明a4(k+1)=a4k+4能被4整除.6.【解析】选d.由已知得k=2,4,6,2000时命题成立.故排除a,b,c,应选d.7.【解析】选b.偶数k的后继偶数为k+2,故应再证n=k+2时等式成立.【误区警示】解答本题易忽视k的限制条件:k2且为偶数,而错选a.8.【解析】选a.由34(k+1)+1+52(k+1)+1=8134k+1+2552k+1+2534k+1-2534k+1=5634k+1+25(34k+1+52k+1),故选a.9.【解析】选d.第k个偶数应是2k,所以应假设n=2k时,命题成立,再证n=2(k+1)时也成立.10.【解析】选b.原不等式可化为1-(12)n1-1212764,即21-12n12764,即2-12n-112764,所以16412n-1,即12612n-1,所以n-16,故n7,n的最小值为8.【拓展提升】应用数学归纳法时第一步应注意的问题(1)用数学归纳法证明某命题对于全体正整数都成立时,应取n0=1.(2)用数学归纳法证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,要根据题目要求确定n0的值.11.【解析】选b.如图所示是k+1棱柱的一个横截面,显然从k棱柱到k+1棱柱,增加了从ak+1发出的对角线k-2条,即相应对角面k-2个,以及a1ak棱变为对角线(变为相应的对角面).故f(k+1)=f(k)+(k-2)+1=f(k)+k-1.12.【解析】选b.当n=1时,左边最后一项为cos(21-1)=cos,即左边所得项是12+cos.13.【解析】各式的左边是第n个自然数到第3n-2个连续自然数的和,右边是2n-1的平方,故可得出第n个式子是:n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)214.【解析】当n=k时,f(k)=1+1k1+1k+11+1k+k;当n=k+1时,f(k+1)=1+1k+11+1k+21+12k+2,所以f(k)应乘1+12k+11+12k+2kk+1.答案:1+12k+11+12k+2kk+115.【解析】取n=1,2,3得1=31(a-b)+c,1+23=32(2a-b)+c,1+23+332=33(3a-b)+c,解得a=12,b=14,c=14.答案:12141416.【解析】当n取第一个值时经验证(2),(3),(4)均不成立,(1)不符合题意,对于(4)假设n=k(kn+,kn0)时命题成立,则当n=k+1时命题不成立.所以(2)(3)正确.答案:(2)(3)17.【证明】设nn+,则要证明n(n+1)能被2整除.(1)当n=1时,1(1+1)=2,能被2整除,即命题成立.(2)假设n=k(k1,kn+)时,命题成立,即k(k+1)能被2整除.那么当n=k+1时,(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1),由归纳假设k(k+1)及2(k+1)都能被2整除.所以(k+1)(k+2)能被2整除.故n=k+1时命题也成立.由(1)(2)可知,命题对一切nn+都成立.18.【证明】(1)当n=2时,左边=tantan2,右边=tan2tan-2=2tan1-tan21tan-2=21-tan2-2=2tan21-tan2=tan2tan1-tan2=tantan2=左边,等式成立.(2)假设当n=k(k2,kn+)时等式成立,即tantan2+tan2tan3+tan(k-1)tank=tanktan-k.当n=k+1时,tantan2+tan2tan3+tan(k-1)tank+tanktan(k+1)=tanktan-k+tanktan(k+1)=tank1+tantan(k+1)tan-k=1tantan(k+1)-tan1+tan(k+1)tan1+tan(k+1)tan-k=1tantan(k+1)-tan-k=tan(k+1)tan-(k+1),所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2)知,当n2,nn+时等式恒成立.19.【解析】(1)当n=1时,a1=s1=2-a1,所以a1=1.当n=2时,a1+a2=s2=22-a2,所以a2=32.当n=3时,a1+a2+a3=s3=23-a3,所以a3=74.当n=4时,a1+a2+a3+a4=s4=24-a4,所以a4=158.由此猜想an=2n-12n-1(nn+).(2)当n=1时,a1=1,结论成立.假设n=k(k1且kn+)时,结论成立,即ak=2k-12k-1,那么n=k+1(k1且kn+)时,ak+1=sk+1-sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.所以2ak+1=2+ak,所以ak+1=2+ak2=2+2k-12k-12=2k+1-12k,这表明n=k+1时,结论成立,综上可得an=2n-12n-1(nn+).20.【证明】要证fn(x)0恒成立,因为x-1,且x0,所以只需证cn0+cn1x+cn2x2+cnnxn1+nx,即证(1+x)n1+nx,当n=2时,显然成立.假设当n=k(k2)时成立,即(1+x)k1+kx,则当n=k+1时,有(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,即当n=k+1时,不等式也成立.所以对任意nn,n2,(1+x)n1+nx成立,即fn(x)0恒成立.21.【证明】(1)当n=1时,一条直线把平面分成两部分,而f(1)=12+1+22=2,所以命题成立.(2)假设当n=k(k1)时命题成立,即k条直线把平面分成f(k)=k2+k+22个部分.则当n=k+1时,即增加一条直线l,因为任何两条直线都相交,所以l与k条直线都相交,有k个交点;又因为任何三条直线不共点,所以这k个交点不同于k条直线的交点,且k个交点也互不相同,如此k个交点把直线l分成k+1段,每一段把它所在的平面区域分为两部分,故新增加了k+1个平面部分.所以f(k+1)=f(k)+k+1=k2+k+22+k+1=k2+k+2+2k+22=(k+1)2+(k+1)+22.所以当n=k+1时命题也成立.由(1)(2)可知当nn+时,命题成立,即平面上通过同一点的n条直线分平面为n2+n+22个部分.22.【解析】f(n)=f(n-1)+lgan-1.令n=2,f(2)=f(1)+lga=-lga+lga=0.又f(1)=(-1)lga,所以+-1=-1,4+2-1