江西省师大附中高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

江西省师大附中2015届高三上学 期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合m=1，2，4，6，8，n=1，2，3，5，6，7，则mn中元素的个数为（）a2b3c5d72（5分）若a0，b0，则p=与q=a+b的大小关系为（）apqbpqcpqdpq3（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）单调递增的是（）ay=x3by=x2+1cy=|x|+1dy=2|x|4（5分）曲线y=在点（3，2）处的切线与直线axy+1=0垂直，则a的值为（）abc2d25（5分）ac为平行四边形abcd的一条对角线，则=（）a（2，4）b（3，7）c（1，1）d（1，1）6（5分）已知t0，若（2x2）dx=8，则t=（）a1b2c2或4d47（5分）已知变量x，y满足条件则2x+y的最小值是（）a6b4c3d28（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）ab4c2d9（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）a90b120c135d15010（5分）已知x0，y0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）a3b4cd11（5分）已知函数f（x）=，若存在x1，x2r且x1x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）aa0ba0ca3d0a312（5分）已知函数f（x）=1+x，设f（x）=f（x+4），且函数f（x）的零点均在区间a，b（ab，a，bz）内，圆x2+y2=ba的面积的最小值是（）ab2c3d4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知等差数列an的前n项和为sn，若a3+a4+a5=12，则s7的值为14（5分）若不等式ax23x+50的解集为x|mx1，则实数m=15（5分）已知函数的图象与直线y=m有且只有两个交点，且交点的横坐标分别为x1，x2（x1x2），那么x1+x2=16（5分）已知函数f（x）=aln（x+1）x2，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且pq，不等式恒成立，则实数a的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）设p：实数x满足（xa）（x3a）0，其中a0q：实数x满足（1）若a=1且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围18（12分）设向量=（cosxsinx，1），=（2sinx，1），其中0，xr，已知函数f（x）=的最小正周期为4（）求的值；（）若sinx0是关于t的方程2t2t1=0的根，且，求f（x0）的值19（12分）已知函数f（x）=m+logax（a0且a1）的图象过点（8，2），点p（3，1）关于直线x=2的对称点q在f（x）的图象上（）求函数f（x）的解析式；（）令g（x）=2f（x）f（x1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值20（12分）如图，在四棱锥sabcd中，侧棱sa底面abcd，adbc，abc=90，sa=ab=bc=2，ad=1m是棱sb的中点（1）求证：am面scd；（2）设点n是线段cd上的一点，且在方向上的射影为a，记mn与面sab所成的角为，问：a为何值时，sin取最大值？21（12分）已知数列an满足an12an+an+1=0（nn*且n2），且a1=2，a3=4数列bn的前n项和为sn=2bn1（nn*）（1）求数列an，bn的通项公式；（2）符号x表示不超过实数x的最大整数，记cn=log2（an1），tn为数列cn的前n项和，求22（12分）已知函数f（x）=lnxmx+m，mr（1）是否存在实数m，使得不等式f（x）0在（0，+）上恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由（2）求证：（其中nn*，e是自然对数的底数）江西省师大附中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合m=1，2， 4，6，8，n=1，2，3，5，6，7，则mn中元素的个数为（）a2b3c5d7考点：集合中元素个数的最值；交集及其运算 专题：集合分析：根据m与n，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可解答：解：m=1，2，4，6，8，n=1，2，3，5，6，7，mn=1，2，6，即mn中元素的个数为3故选：b点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）若a0，b0，则p=与q=a+b的大小关系为（）apqbpqcpqdpq考点：不等式比较大小 专题：不等式的解法及应用分析：利用作差法即可得到结论解答：解：pq=ab=（b2a2），a0，b0，a+b0，ab0，若a=b，则pq=0，此时p=q，若ab，则pq0，此时pq，综上pq，故选：b点评：本题主要考查不等式的大小比较，利用作差法是解决本题的关键3（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）单调递增的是（）ay=x3by=x2+1cy=|x|+1dy=2|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：分别判断每个函数的奇偶性和单调性解答：解：a函数y=x3为奇函数，在（0，+）上单调递增，所以a不合适b函数y=x2+1为偶数，但在（0，+）上单调递减，所以b不合适c函数y=|x|+1为偶函数，在（0，+）上单调递增，所以c合适d函数y=2|x|为偶函数，在（0，+）上单调递减，所以d不合适故选c点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见基本函数的奇偶性和单调性4（5分）曲线y=在点（3，2）处的切线与直线axy+1=0垂直，则a的值为（）abc2d2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；导数的概念及应用分析：欲求出实数a，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决解答：解：y=，y=，曲线y=在点（3，2）处的切线与直线axy+1=0垂直，根据导数几何意义得：a=故选：a点评：本小题主要考查垂直直线的斜率关系、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识属于基础题5（5分）ac为平行四边形abcd的一条对角线，则=（）a（2，4）b（3，7）c（1，1）d（1，1）考点：平面向量的坐标运算 专题：平面向量及应用分析：利用平行四边形的性质、向量相等、向量的三角形法则和运算即可得出解答：解：由平行四边形的性质可得=（1，3）（2，4）=（1，1）故选d点评：熟练掌握平行四边形的性质、向量相等、向量的三角形法则和运算是解题的关键6（5分）已知t0，若（2x2）dx=8，则t=（）a1b2c2或4d4考点：定积分 专题：函数的性质及应用分析：先求出一次函数的f（x）=2x2的原函数，然后根据定积分的定义建立等式关系，解之即可解答：解：0t（2x2）dx=（x22x）|0t=t22t=8，（t0）t=4或t=2（舍）故选：d点评：此题考查定积分的性质及其计算，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数，属于基础题7（5分）已知变量x，y满足条件则2x+y的最小值是（）a6b4c3d2考点：简单线性规划 专题：数形结合分析：本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值解答：解：作出不等式組所表示的平面区域如图作直线l0：2x+y=0把直线向上平移可得过点a时2x+y最小由 可得a（1，1）2x+y的最小值3故选c点评：本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的试题近年来2015届高考线性规划问题2015届高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，体现了数形结合思想的应用8（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）ab4c2d考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由三视图可知：该三棱锥的侧面pbc底面abc，pd交线bc，aebc，且ae=3，pd=2，cd=3，db=1，ce=eb=2据此即可计算出其体积解答：解：由三视图可知：该三棱锥的侧面pbc底面abc，pd交线bc，aebc，且ae=3，pd=2，cd=3，db=1，ce=eb=2vpabc=4故选b点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键9（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）a90b120c135d150考点：余弦定理 专题：计算题分析：设长为7的边所对的角为，根据余弦定理可得cos的值，进而可得的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180，即可得答案解答：解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为，则最大角与最小角的和是180，有余弦定理可得，cos=，易得=60，则最大角与最小角的和是180=120，故选b点评：本题考查余弦定理的运用，解本题时注意与三角形内角和定理结合分析题意10（5分）已知x0，y0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）a3b4cd考点：基本不等式 专题：计算题分析：首先分析题目由已知x0，y0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值解答：解：考察基本不等式，整理得（x+2y）2+4（x+2y）320即（x+2y4）（x+2y+8）0，又x+2y0，所以x+2y4故选b点评：此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意11（5分）已知函数f（x）=，若存在x1，x2r且x1x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）aa0ba0ca3d0a3考点：分段函数的应用 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由题意可得，在定义域内，f（x）不是单调的考虑x1时，函数的单调性，即可求得结论解答：解：当x1时，y=x2+2x，由二次函数的图象和性质，可知为增函数，则当x1时，f（x）=2ax5不为增函数即可满足条件即有a0故选b点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键12（5分）已知函数f（x）=1+x，设f（x）=f（x+4），且函数f（x）的零点均在区间a，b（ab，a，bz）内，圆x2+y2=ba的面积的最小值是（）ab2c3d4考点：圆的标准方程；函数的零点 专题：计算题；导数的概念及应用；直线与圆分析：利用导数研究函数f（x）的单调性，得函数f（x）是r上的增函数再用零点存在性定理，得f（x）在r上有唯一零点x0（1，0），结合函数图象的平移知识可得数f（x）的零点必在区间（5，4）由此不难得到ba的最小值，进而得到所求圆面积的最小值解答：解：f（x）=1+x，当x1或x1时，f（x）=1x+x2x3+x2012=0而当x=1时，f（x）=20130f（x）0对任意xr恒成立，得函数f（x）是（，+）上的增函数f（1）=（11）+（）+（）0，f（0）=10函数f（x）在r上有唯一零点x0（1，0）f（x）=f（x+4），得函数f（x）的零点是x04（5，4）a5且b4，得ba的最小值为4（5）=1圆x2+y2=ba的圆心为原点，半径r=圆x2+y2=ba的面积为r2=（ba），可得面积的最小值为故选：a点评：本题给出关于x的多项式函数，求函数零点所在的区间长度的最小值着重考查了函数的零点、圆的标准方程和利用导数研究函数的性质等知识点，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知等差数列an的前n项和为sn，若a3+a4+a5=12，则s7的值为28考点：等差数列的前n项和 专题：计算题分析：利用等差数列的性质可求得a4，而s7=7a4，从而可求得s7的值，解答：解：an为等差数列，a3+a4+a5=12，3a4=12，a4=4，又s7=7a4=28故答案为：28点评：本题考查等差数列的前n项和，着重考查利用等差数列的性质，属于中档题14（5分）若不等式ax23x+50的解集为x|mx1，则实数m=考点：一元二次不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：由不等式的解集，得到方程ax23x+5=0的解为1和m，将x=1与x=m代入求出m的值，解答：解：不等式ax23x+50的解集为x|mx1，1和m为ax23x+5=0的解，将x=1代入方程得：a3+5=0，即a=2，方程化为2x23x+5=0，将x=m代入方程得：2m23m+5=0，解得：m=1（不合题意，舍去）或m=，故答案为：点评：此题考查了一元二次不等式的解法，根据题意得出方程ax23x+5=0的解为1和b是解本题的关键15（5分）已知函数的图象与直线y=m有且只有两个交点，且交点的横坐标分别为x1，x2（x1x2），那么x1+x2=考点：正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：作出函数，由图象平移的知识和三角函数的对称性可得x1+x2的值解答：解：函数f（x）=sin（x+）（x0，）的图象，可看作函数y=sinx的图象向左平移得到，相应的对称轴也向左平移，x1+x2=2（）=，故答案为：点评：本题考查三角函数图象的变化和性质，利用对称性是解决问题的关键，属中档题16（5分）已知函数f（x）=aln（x+1）x2，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且pq，不等式恒成立，则实数a的取值范围是15，+）考点：不等式；函数恒成立问题 专题：计算题；压轴题分析：由于 表示点（p+1，f（p+1） 与点（q+1，f（q+1）连线的斜率，故函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，故有 f （x）=2x1 在（1，2）内恒成立，即 a2x2+3x+1在（1，2）内恒成立，由此求得a的取值范围解答：解：由于 表示点（p+1，f（p+1） 与点（q+1，f（q+1）连线的斜率，因实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内不等式恒成立，函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立由函数的定义域知，x1，f（x）=2x1 在（1，2）内恒成立即 a2x2+3x+1在（1，2）内恒成立由于二次函数y=2x2+3x+1在1，2上是单调增函数，故 x=2时，y=2x2+3x+1 在1，2上取最大值为15，a15，故答案为15，+）点评：本题考查斜率公式的应用，函数的恒成立问题，以及利用函数的单调性求函数的最值三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）设p：实数x满足（xa）（x3a）0，其中a0q：实数x满足（1）若a=1且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：分别化简p：ax3a，q：2x3（1）当a=1时，p：1x3要使pq为真，则须满足，解得即可（2）由p是q的必要不充分条件，可得（2，3）（a，3a）即，解得即可解答：解：依题意知：p：ax3a，即2x3（1）当a=1时，p：1x3要使pq为真，则须满足，解得：2x3；（2）p是q的必要不充分条件（2，3）（a，3a），解得：1a2点评：本题考查了简易逻辑的有关知识，不等式的解法，属于基础题18（12分）设向量=（cosxsinx，1），=（2sinx，1），其中0，xr，已知函数f（x）=的最小正周期为4（）求的值；（）若sinx0是关于t的方程2t2t1=0的根，且，求f（x0）的值考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的图像与性质分析：（）利用三角函数的恒等变换以及两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式为，再根据周期求得的值（）求得 方程2t2t1=0的两根，可得，可得x0的值，从而求得f（x0）的值解答：解：（） =2sinxcosx2sin2x+1=sin2x+cos2x=，因为 t=4，所以，=（6分）（） 方程2t2t1=0的两根为 ，因为 ，所以 sinx0（1，1），所以，即又由已知 ，所以 （14分）点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题19（12分）已知函数f（x）=m+logax（a0且a1）的图象过点（8，2），点p（3，1）关于直线x=2的对称点q在f（x）的图象上（）求函数f（x）的解析式；（）令g（x）=2f（x）f（x1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值考点：基本不等式；函数解析式的求解及常用方法 专题：函数的性质及应用分析：（）首先求出点p关于直线x=2的对称点，然后把点（8，2）和p的对称点的坐标代入函数f（x）的解析式联立解方程组可求f（x）的解析式；（）把f（x）的解析式代入函数g（x）=2f（x）f（x1），整理后把得到的函数中对数式的真数运用基本不等式求出最小值，然后借助于对数函数的单调性可求函数g（x）的最小值解答：解析：（）点p（3，1）关于直线x=2的对称点q的坐标为q（1，1）结合题设知，可得，即，解得m=1，a=2，故函数解析式为f（x）=1+log2x（）g（x）=2f（x）f（x1）=2（1+log2x）1+log2（x1）=（x1），当且仅当即x=2时，“=”成立，而函数y=log2x在（0，+）上单调递增，则，故当x=2时，函数g（x）取得最小值1点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了利用基本不等式求函数最小值，利用基本不等式求最值一定要注意应满足的条件，即“一正、二定、三相等”，是中档题20（12分）如图，在四棱锥sabcd中，侧棱sa底面abcd，adbc，abc=90，sa=ab=bc=2，ad=1m是棱sb的中点（1）求证：am面scd；（2）设点n是线段cd上的一点，且在方向上的射影为a，记mn与面sab所成的角为，问：a为何值时，sin取最大值？考点：直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）根据已知条件容易发现，取bc中点e，连接ae，me，则能够证明平面ame平面scd，所以am面scd；（2）先找到mn与面sab所成的角，根据已知条件，过n作nfad，则nf平面sab，连接mf，mn，则fmn=，而sin=，而根据已知条件知nf=a所以根据条件求出mn即可，可以用a来表示mn分别延长ba，cd相交于g，则有：，所以可求出ga=2，而根据，可以用a表示出bf，这时候在mbf中可根据余弦定理求出mf，所以在rtmnf中，可求出mn，即用a表示出mn=，所以sin=，显然当，即a=时，sin最大解答：解：（1）证明：如图，取bc中点e，连接ae，me，则：mesc，ce=1；ad=1，adce；四边形adce是平行四边形；aecd；又sc，cd平面scd，me，ae平面scd；me平面scd，ae平面scd，meae=e；平面ame平面scd，am平面ame；am平面scd；（2）过n作nfad；sa底面abcd，saad，即adsa；又adab，saab=a；ad平面sab；nf平面sab；连接mf，mn，则：fmn是mn与面sab所成的角；fmn=；由题意知nf=a，延长ba交cd延长线于g，则：；ga=2；由得：；fb=42a；在mbf中，由余弦定理得：mf2=fb2+bm22fbbmcos45=4a212a+10；在rtmnf中，mn=；sin=；，即a=时，sin取最大值点评：考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质，以及余弦定理，配方法求二次函数的最值21（12分）已知数列an满足an12an+an+1=0（nn*且n2），且a1=2，a3=4数列bn的前n项和为sn=2bn1（nn*）（1）求数列an，bn的通项公式；（2）符号x表示不超过实数x的最大整数，记cn=log2（an1），tn为数列cn的前n项和，求考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）根据数列an满足an12an+an+1=0（nn*且n2），可得：数列an是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出由数列bn的前n项和为sn=2bn1（nn*）当n2时，bn=snsn1，化为bn=2bn1当n=1时，b1=2b11，b1=1利用等比数列的通项公式即可得出（2）由（1）知an=n+1，可得cn=log2n当2kn2k+1时，log2n=k，kn利用等比数列的前n项和公式与“错位相减法”即可得出解答：解：（1）数列an满足an12an+an+1=0（nn*且n2），数列an是等差数列，设公差为d，a1=2，a3=4a3a1=2d=42，解得d=1an=2+（n1）=n+1由数列bn的前n项和为sn=2bn1（nn*）当n2时，bn=snsn1=（2bn1）（2bn11），化为bn=2bn1当n=1时，b1=2b11，b1=1数列bn是等比数列，（2）由（1）知an=n+1