广东省湛江二中高考数学模拟试卷（二）理（含解析）.docVIP

2015年广东省湛江二中高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1集合a=x|y=lg（x1），则ab=（）a（0，+）b（2，+）cd2，+）2复数z=（i是虚数单位）的共扼复数是（）a1+ib1+ic1id1i3已知cos2=，则sin4cos4的值为（）abcd4如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）abcd5已知向量=（0，1，1），（4，1，0），|+|=且0，则=（）a2b2c3d36设az，且0a13，若512015+a能被13整除，则a=（）a0b1c11d127已知椭圆的两个焦点f1，f2在x轴上，p为此椭圆上一点，且满足，则此椭圆的离心率是（）a1b1c22d8若函数f（x）满足对于xn，m（mn）时有f（x）km恒成立，则称函数f（x）在区间n，m（mn）上是“被k限制”的，若函数f（x）=x2ax+a2在区间，a（a0）上是“被2限制”的，则实数a的取值范围是（）a（1，b（1，c（1，2d，2二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9不等式|2x+1|x4|6的解集为10由曲线y=x2与直线y=x+2围成的封闭图形的面积为11已知数列an，求an=12已知不等式（x+y）（+）9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为13若直线y=x+b与曲线y=3有公共点，则b的取值范围是（坐标系与参数方程选做题）14（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线c1的参数方程为（为参数）；在极坐标系（以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线c2的方程为，则c1与c2两交点的距离为（几何证明选讲选做题）15如图，a、b是两圆的交点，ac是小圆的直径，d和e分别是ca和cb的延长线与大圆的交点，已知ac=4，be=10，且bc=ad，则de=三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16已知函数（1）要得到y=f（x）的图象，只需把y=g（x）的图象经过怎样的变换？（2）设h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的最大值及对应的x的值；函数h（x）的单调递增区间17甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响（） 求甲获胜的概率；（） 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望18如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是边长为2的正方形，侧面pad底面abcd，且pa=pd=ad，e、f分别为pc、bd的中点（） 求证：ef平面pad；（） 求证：面pab平面pdc；（） 在线段ab上是否存在点g，使得二面角cpdg的余弦值为？说明理由19设sn是正项数列an的前n项和，且（1）求数列an的通项公式；（2）是否存在等比数列bn，使 a1b1+a2b2+anbn=（2n1）2n+1+2 对一切正整数n都成立？并证明你的结论（3）设，且数列cn的前n项和为tn，试比较与的大小20如图，已知抛物线c：y2=2px和m：（x4）2+y2=1，过抛物线c上一点h（x0，y0）（y01）作两条直线与m相切于a、两点，分别交抛物线为e、f两点，圆心点m到抛物线准线的距离为（）求抛物线c的方程；（）当ahb的角平分线垂直x轴时，求直线ef的斜率；（）若直线ab在y轴上的截距为t，求t的最小值21已知函数，ar（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，（x1x2），求证：1x1ax2a22015年广东省湛江二中高考数学模拟试卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1集合a=x|y=lg（x1），则ab=（）a（0，+）b（2，+）cd2，+）【考点】交集及其运算【专题】计算题；转化思想；综合法；集合【分析】利用对数函数定义域、均值定理、交集定义求解【解答】解：集合a=x|y=lg（x1）=x|x10=x|x1，=y|y=2，ab=2，+）故选：d【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数定义域、均值定理、交集定义的合理运用2复数z=（i是虚数单位）的共扼复数是（）a1+ib1+ic1id1i【考点】复数代数形式的混合运算；复数的基本概念【专题】计算题【分析】把给出的复数的分子展开平方运算，然后利用复数的除法运算进行化简，化为a+bi（a，br）的形式后可求其共轭复数【解答】解：z=所以故选b【点评】本题考查了复数的概念，考查了复数的代数形式的乘除运算，解答的关键是掌握复数的除法运算法则，是基础题3已知cos2=，则sin4cos4的值为（）abcd【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦【专题】三角函数的求值【分析】已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，原式利用平方差公式及同角三角函数间的基本关系化简，将得出关系式代入计算即可求出值【解答】解：cos2=cos2sin2=，sin4cos4=（sin2cos2）（sin2+cos2）=sin2cos2=（cos2sin2）=，故选：c【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键4如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）abcd【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题【分析】三视图复原的几何体是正四棱锥，求出底面面积，正四棱锥的高，即可求出体积【解答】解：如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等边三角形高为2的正四棱锥，故其体积v=4=故选c【点评】本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键5已知向量=（0，1，1），（4，1，0），|+|=且0，则=（）a2b2c3d3【考点】空间向量运算的坐标表示【专题】方程思想；综合法；空间向量及应用【分析】对|+|=两边平方，列出方程解出【解答】解：|=，|=， =1|+|=，（）2=29即2|2+2+|2=29，22212=0，0，=3故选：d【点评】本题考查了空间向量的数量积运算，是基础题6设az，且0a13，若512015+a能被13整除，则a=（）a0b1c11d12【考点】二项式定理的应用；整除的定义【专题】转化思想；推理和证明；二项式定理【分析】根据512015+a=（521）2015+a，把（521）2015+a 按照二项式定理展开，结合题意可得1+a能被13整除，由此求得a的范围【解答】解：512015+a=（521）2015+a =522015+522014522013+5211+a 能被13整除，0a13，故1+a=1+a能被13整除，故a=1，故选：b【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于基础题7已知椭圆的两个焦点f1，f2在x轴上，p为此椭圆上一点，且满足，则此椭圆的离心率是（）a1b1c22d【考点】椭圆的简单性质【专题】数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义及其性质即可得出【解答】解：，f1pf2=可得：|pf2|=|f1f2|=c，|pf1|=c，|pf2|+|pf1|=c+c=2a，=1，故选：b【点评】本题考查了椭圆的定义及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8若函数f（x）满足对于xn，m（mn）时有f（x）km恒成立，则称函数f（x）在区间n，m（mn）上是“被k限制”的，若函数f（x）=x2ax+a2在区间，a（a0）上是“被2限制”的，则实数a的取值范围是（）a（1，b（1，c（1，2d，2【考点】函数的值域【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】根据题意得a1；求出x，a时，f（x）的取值范围，再由f（x）2a，由得不等式组，求出a的取值范围【解答】解：根据题意，a0，且a，a1；f（x）=x2ax+a2=+，（）当，a，即a时，在x=时，f（x）取得最小值；又（）（a）=0，x=a时，f（x）取得最大值a2；f（x）的取值范围是，a2；又f（x）2a；，解得a2；a2；（）当，即1a时，f（x）在，a上是增函数，f（x）的最小值是f（）=1+a2，最大值是f（a）=a2；f（x）的值域是1+a2，a2；又f（x）2a；解得1a；综上，a的取值范围是a|1a2故选：c【点评】本题考查了新定义的问题以及函数的应用问题，解题时应根据题意，求出函数f（x）的取值范围，列不等式组，求出a的取值范围二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9不等式|2x+1|x4|6的解集为（11，3）【考点】绝对值不等式的解法【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求【解答】解：不等式|2x+1|x4|6等价于，或，或，解求得11x，解求得x3，解求得x综上可得，原不等式的解集为x|11x3，故答案为：（11，3）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题10由曲线y=x2与直线y=x+2围成的封闭图形的面积为【考点】定积分在求面积中的应用【专题】导数的概念及应用【分析】联立方程组求出积分的上限和下限，结合积分的几何意义即可得到结论【解答】解：作出两条曲线对应的封闭区域如图：由得x2=x+2，即x2x2=0，解得x=1或x=2，则根据积分的几何意义可知所求的几何面积s=（x3+x2+2x）|=，故答案为：【点评】本题主要考查积分的应用，作出对应的图象，求出积分上限和下限，是解决本题的关键11已知数列an，求an=4n2【考点】数列递推式【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】当n2时，利用an=snsn1化简计算可知anan1=4，进而可知数列an是首项为2、公差为4的等差数列，计算即得结论【解答】解：，当n2时，an=snsn1= ，整理得：anan1=4，又a1=，a1=2，数列an是首项为2、公差为4的等差数列，an=4n2，故答案为：4n2【点评】本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题12已知不等式（x+y）（+）9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为4【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】计算题；转化思想【分析】先将不等式恒成立转化为左边函数的最小值大于等于9恒成立；将不等式的左边展开，利用基本不等式求出最小值，令最小值大于等于9，解不等式求出a的范围，求出a的最小值【解答】解：对任意正实数x，y恒成立解得a4故答案为：4【点评】本题考查解决不等式恒成立问题常转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值13若直线y=x+b与曲线y=3有公共点，则b的取值范围是1，3【考点】直线与圆的位置关系【专题】数形结合；直线与圆【分析】曲线即 （x2）2+（y3）2=4（1y3），表示以a（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得 b=1+ b=1结合图象可得b的范围【解答】解：如图所示：曲线y=3，即 （x2）2+（y3）2=4（ 1y3，0x4），表示以a（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，b=1+，或b=1结合图象可得1b3，故答案为：1，3【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题（坐标系与参数方程选做题）14（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线c1的参数方程为（为参数）；在极坐标系（以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线c2的方程为，则c1与c2两交点的距离为【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化【专题】直线与圆【分析】根据同角三角函数关系消去参数，即可求出曲线c1的普通方程，曲线c2的极坐标方程，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程，利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（0，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦ab的长度【解答】解：由得x2+y2=9，曲线c1的普通方程为得x2+y2=9，（cossin）+2=0，xy+2=0，曲线c2的方程为，曲线c2的直角坐标方程为xy2=0圆c1的圆心为（0，0），圆心（0，0）到直线xy2=0的距离d=，又r=3，所以弦长ab=2=2则c1与c2两交点的距离为故答案为：【点评】本题主要考查了圆的参数方程，以及简单曲线的极坐标方程，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题（几何证明选讲选做题）15如图，a、b是两圆的交点，ac是小圆的直径，d和e分别是ca和cb的延长线与大圆的交点，已知ac=4，be=10，且bc=ad，则de=【考点】与圆有关的比例线段【专题】计算题；选作题【分析】设出未知量，根据两个三角形有两对角对应相等，得到两个三角形相似，写出比例式，得到关于未知量的方程，再在直角三角形中利用勾股定理做出所要的结果【解答】解：设bc=ad=x，连接abc=c，cae=ecaeced，则有，化简得到x=2，根据勾股定理，则故答案为：6【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形相似的判断和性质，考查利用方程思想解决平面几何知识，本题是一个基础题，解题时注意所设的不是要求的结果三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16已知函数（1）要得到y=f（x）的图象，只需把y=g（x）的图象经过怎样的变换？（2）设h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的最大值及对应的x的值；函数h（x）的单调递增区间【考点】函数y=asin（x+）的图象变换；余弦函数的定义域和值域；余弦函数的单调性；三角函数的最值【专题】计算题；数形结合；转化思想【分析】先对函数的解析式用余弦的二倍角公式化简，可变为（1）观察两个函数的解析式，易得将y=g（x）的图象向左平移个单位得到y=f（x）的图象；（2）先求出h（x）=f（x）g（x）的解析式，化简得h（x）=由余弦函数的性质求出函数h（x）的最大值及对应的x的值由余弦函数的性质令，解出x的取值范围即可得到函数的增区间【解答】解：（1）将y=g（x）的图象向左平移个单位得到y=f（x）的图象（2）=时取最大值由，所以递增区间为【点评】本题考查函数y=asin（x+）的图象变换，解答本题关键是掌握三角恒等变换公式对三角函数的解析式进行化简，然后再由余弦函数的性质求打三角函数的最值及求三角函数的单调区间17甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响（） 求甲获胜的概率；（） 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列【专题】计算题【分析】设ak，bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则p（ak）=，p（bk）=（k=1，2，3）（） 记“甲获胜”为事件c，则p（c）=p（a1）+p（）+p（），利用互斥事件的概率公式即可求解；（） 投篮结束时甲的投篮次数的可能值为1，2，3，求出相应的概率，即可得到的分布列与期望【解答】解：设ak，bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则p（ak）=，p（bk）=（k=1，2，3）（） 记“甲获胜”为事件c，则p（c）=p（a1）+p（）+p（）=+=；（） 投篮结束时甲的投篮次数的可能值为1，2，3p（=1）=p（a1）+p（）=p（=2）=p（）+p（）=p（=3）=p（）=的分布列为 1 2 3 p期望e=1+2+3=【点评】本题考查互斥事件概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，理解变量取值的含义，属于中档题18如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是边长为2的正方形，侧面pad底面abcd，且pa=pd=ad，e、f分别为pc、bd的中点（） 求证：ef平面pad；（） 求证：面pab平面pdc；（） 在线段ab上是否存在点g，使得二面角cpdg的余弦值为？说明理由【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（i）证明：连接ac，则f是ac的中点，e为pc 的中点，证明efpa，留言在线与平面平行的判定定理证明ef平面pad；（ii）先证明cdpa，然后证明papd利用直线与平面垂直的判定定理证明pa平面pcd，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面pab面pdc（iii）假设在线段ab上，存在点g，使得二面角cpdg的余弦值为，然后以o为原点，直线oa，of，op分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设g（1，a，0）（0a2）利用空间向量的坐标运算求出a值，即可得出结论【解答】证明：（）连结acbd=f，abcd为正方形，f为ac中点，e为pc中点在cpa中，efpa且pa平面pad，ef平面padef平面pad（）因为平面pad平面abcd，平面pad面abcd=adabcd为正方形，cdad，cd平面abcd所以cd平面padcdpa又pa=pd=ad，所以pad是等腰直角三角形，且apd=90即papdcdpd=d，且cd、pd面pdcpa面pdc又pa面pab，面pab面pdc.（） 如图，取ad的中点o，连结op，ofpa=pd，poad侧面pad底面abcd，面pad面abcd，po面abcd，而o，f分别为ad，bd的中点，ofab，又abcd是正方形，故ofadpa=pd=ad，papd，op=oa=1以o为原点，直线oa，of，op分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有a（1，0，0），f（0，1，0），d（1，0，0），p（0，0，1）若在ab上存在点g，使得二面角cpdg的余弦值为，连结pg，dg设g（1，a，0）（0a2）由（）知平面pdc的法向量为=（1，0，1）设平面pgd的法向量为=（x，y，z）=（1，0，1），=（2，a，0），由， =0可得，令x=1，则y=，z=1，故=（1，1），cos=，解得，a=所以，在线段ab上存在点g（1，0），使得二面角cpdg的余弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用及二面角的平面角及求法，考查逻辑推理能力19设sn是正项数列an的前n项和，且（1）求数列an的通项公式；（2）是否存在等比数列bn，使 a1b1+a2b2+anbn=（2n1）2n+1+2 对一切正整数n都成立？并证明你的结论（3）设，且数列cn的前n项和为tn，试比较与的大小【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列的求和【专题】证明题；综合题；转化思想【分析】（1）本题已知数列前n项和的表达式，求通项通常用an=snsn1，求通项，再验证n=1时，是否适合所求的通式，若符合就写成统一式，否则，写成分段的形式；（2）假设存在这样的等比数列bn，使 a1b1+a2b2+anbn=（2n1）2n+1+2 对一切正整数n都成立，故可先研究前两项，找出规律，提出猜想，再进行证明得出结论；（3）由（1），将an=2n+1代入，求出cn的表达式，再所其形式求出列cn的前n项和为tn，由和的形式与的比较即可得到它们的大小关系【解答】解：（1）由sn=+an 得sn+1=， 相减并整理得 （an+1+an）（an+1an2）=0 又由于an+1+an0，则an+1=an+2，故an是等差数列+a12，所以a1=3 故an=2n+1 4分（2）当n=1，2时，a1b1=22（211）+2=6，a1b1+a2b2=23（221）+2=26，可解得b1=2，b2=4，猜想bn=2n，使a1b1+a2b2+anbn=2n+1（2n1）+2成立证明：32+522+723+（2n+1）2n=2n+1（2n1）+2恒成立令s=32+522+723+（2n+1）2n 2s=322+523+724+（2n+1）2n+1 得：s=（2n+1）2n+122n+1+2=（2n1）2n+1+2，故存在等比数列bn符合题意8分（3）cn=（）则tn=c1+c2+cn（+）=（）故12分【点评】本题考查数列与不等式的综合，考查了数列递推式的应用，错位相减法求和的技巧放缩法证明不等式，解题的关键是熟练掌握错位相减法的技巧，放缩法的技巧，本题中第二问先研究前两项得出规律，提出猜想，再进行证明是研究规律不明显的问题时常用的思路，第三问中用到了放大的技巧，要注意不要放得过大，放缩法证明不等式技巧性很强，需要有有较高的观察能力与判断能力，既要放，又不能放得过了头，谨记20如图，已知抛物线c：y2=2px和m：（x4）2+y2=1，过抛物线c上一点h（x0，y0）（y01）作两条直线与m相切于a、两点，分别交抛物线为e、f两点，圆心点m到抛物线准线的距离为（）求抛物线c的方程；（）当ahb的角平分线垂直x轴时，求直线ef的斜率；（）若直线ab在y轴上的截距为t，求t的最小值【考点】圆与圆锥曲线的综合；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；抛物线的标准方程【专题】综合题【分析】（）利用点m到抛物线准线的距离为，可得，从而可求抛物线c的方程；（）法一：根据当ahb的角平分线垂直x轴时，点h（4，2），可得khe=khf，设e（x1，y1），f（x2，y2），可得y1+y2=2yh=4，从而可求直线ef的斜率；法二：求得直线ha的方程为，与抛物线方程联立，求出e，f的坐标，从而可求直线ef的斜率；（）法一：设a（x1，y1），b（x2，y2），求出直线ha的方程，直线hb的方程，从而可得直线ab的方程，令x=0，可得，再利用导数法，即可求得t的最小值法二：求以h为圆心，ha为半径的圆方程，m方程，两方程相减，可得直线ab的方程，当x=0时，直线ab在y轴上的截距（m1），再利用导数法，即可求得t的最小值【解答】解：（）点m到抛物线准线的距离为=，抛物线c的方程为y2=x（）法一：当ahb的角平分线垂直x轴时，点h（4，2），khe=khf，设e（x1，y1），f（x2，y2），y1+y2=2yh=4法二：当ahb的角平分线垂直x轴时，点h（4，2），ahb=60，可得，直线ha的方程为，联立方程组，得，同理可得，（）法一：设a（x1，y1），b（x2，y2），直线ha的方程为（4x1）xy1y+4x115=0，同理，直线hb的方程为（4x2）xy2y+4x215=0，直线ab的方程为，令x=0，可得，t关于y0的函数在1，+）上单调递增，当y0=1时，tmin=11法二：设点h（m