广东省新会一中高三数学二轮复习 大题专训练资料 理 新人教A版.doc

理科数学解答题专项训练(二) 专项一:三角函数（三角公式的应用，三角函数的性质）1、已知a、b、c三点的坐标分别为、 （1）若的值； （2）若1解：（1）， （2）由专项二：数学应用题（概率统计、函数建模）3、从2008年9月12日含有三聚氰胺的 “三鹿”婴儿毒奶粉事件曝光后，国家质检部门加大了对各种乳制品的检查力度。现随机抽取某品牌乳制品企业的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件。已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元。设1件产品的利润（单位：万元）为。（）求的分布列及1件产品的平均利润。（）为了提高乳制品的质量，国内某名牌乳制品企业经技术革新，虽然仍有四个等级的产品，但次品率降为1，一等品率提高为70。如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，求三等品率最多是多少？3、解：（1）的取值：6、2、1、-2（1分）p（=6）=0.63；p（=2）=0.25；p（=1）=0.1；p（=-2）=0.02； （4分）的分布列：621p0.630.250.10.02e=60.63+20.25+10.1+（-2）0.02=4.34（6分）2）设三等品率最多为x。621p0.70.29-xx0.01（9分）e=60.7+2（0.29-x）+1x+（-2）0.014.73x0.03三等品率最多为3（12分）4、某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a元的奖品；点数之和为11或10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或8点获三等奖，奖价值为30元的奖品；点数之和小于8点的不得奖。求：（1）同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率；（2）如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求a的值。4解：（1）设掷两颗正方体骰子所得的点数记为（x，y），其中，则获一等奖只有（6，6）一种可能，其概率为：； 2分获二等奖共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5种可能，其概率为：； 5分设事件a表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖”，则有：p（a）=； 6分30-a-70030p（2）设俱乐部在游戏环节收益为元，则的可能取值为,0,7分其分布列为：则：e=； 11分由e=0得：a=310，即一等奖可设价值为310 元的奖品。 12分5、（09华附、省实、广雅联考）某投资公司计划投资、两种金融产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资金额成正比例，其关系如图1，产品的利润与投资金额的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资金额单位：万元）（1）分别将、两产品的利润表示为投资金额的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入、两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？ 图1图25解：（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元由题意设，由图知， 又， 从而， （2）设产品投入万元，则产品投入()万元，设企业利润为万元，令，则当时，此时 答：当产品投入6万元，则产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为2.8万元专项三、立体几何（几何证明、几何计算，向量的运用）6、已知斜三棱柱，在底面上的射影恰为的中点，又知。（i）求证：平面；（ii）求到平面的距离；（iii）求二面角的余弦值。6解：（i）因为平面，所以平面平面，又，所以平面，得，又所以平面；4分（ii）因为，所以四边形为 菱形，故，又为中点，知。取中点，则平面，从而面面， 过作于，则面，在中，故，即到平面的距离为。（iii）过作于，连，则，从而为二面角的平面角，在中，所以，在中，故二面角的大小为。12分解法2：（i）如图，取的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，由，知，又，从而平面；4分（ii）由，得。设平面的法向量为，所以，设，则所以点到平面的距离。8分（iii）再设平面的法向量为，所以，设，则，故，7、（09中山）如图，是直角梯形，90，1，2，又1，120，直线与直线所成的角为60.（）求证：平面平面;（）求二面角的大小;（）求三棱锥的体积.本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。7解法一：（），又（4分）（）取的中点，则，连结，从而作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，从而为二面角的平面角直线与直线所成的角为在中，由余弦定理得在中，在中，在中，故二面角的平面角大小为（10分）（）由（）知，为正方形（13分）解法二：（）同解法一 （4分）（）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）由题意有，设，则由直线与直线所成的解为，得，即，解得，设平面的一个法向量为，则，取，得平面的法向量取为设与所成的角为，则显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角大小为（10分）（）取平面的法向量取为，则点a到平面的距离，（13分）8、（09茂名一中）如图，直角梯形abce中，d是ce的中点，点m和点n在ade绕ad向上翻折的过程中，分别以的速度，同时从点a和点b沿ae和bd各自匀速行进，t 为行进时间，0。edcabmn（1） 求直线ae与平面cde所成的角；（2） 求证：mn/平面cde。8解：（1）因，所以ad平面cde，ed是ae在平面cde上的射影，aed=450，所以直线ae与平面cde所成的角为4504分（2）解法一：如图，取ab、ad所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系axyz.zyxmebcdan则 5分设， 得9分由，得，而是平面cde的一个法向量，且平面cde，所以mn/平面cde14分解法二：设在翻转过程中，点m到平面cde的距离为，点n到平面cde的距离为，则，同理qpnmedcba所以，故mn/平面cde14分解法三：如图，过m作mq/ad交ed于点q，过n作np/ad交cd于点p，连接mn和pq5分设ade向上翻折的时间为t，则，7分因，点d是ce的中点，得，四边形abcd为正方形，ade为等腰三角形. 10分在rtemq和rtdnp中，me=nd，meq=ndp=450，所以rtemqrtdnp，所以mq/np且mq=np，的四边形mnpq为平行四边形，所以mn/pq，因平面cde，平面cde，所以mn/平面cde14分专项四：解析几何专项训练（求动点轨迹方程，研究曲线的几何意义等综合性题）9、在平面直角坐标系内有两个定点和动点p，坐标分别为 、，动点满足，动点的轨迹为曲线，曲线关于直线的对称曲线为曲线，直线与曲线交于a、b两点，o是坐标原点，abo的面积为，（1）求曲线c的方程；（2）求的值。9解：（1）设p点坐标为，则 ，化简得，所以曲线c的方程为；（2）曲线c是以为圆心，为半径的圆 ，曲线也应该是一个半径为的圆，点关于直线的对称点的坐标为，所以曲线的方程为，该圆的圆心到直线的距离为 ，或，所以，或。10、已知一动圆m,恒过点f，且总与直线相切,（）求动圆圆心m的轨迹c的方程；（）探究在曲线c上,是否存在异于原点的两点,当时,直线ab恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.10解：(1) 因为动圆m,过点f且与直线相切,所以圆心m到f的距离等于到直线的距离.所以,点m的轨迹是以f为焦点, 为准线的抛物线,且, 所以所求的轨迹方程为5分(2) 假设存在a,b在上,所以,直线ab的方程:,即 即ab的方程为:,即 即:，令,得，所以,无论为何值,直线ab过定点(4,0)11、已知长方形abcd, ab=2,bc=1.以ab的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.()求以a、b为焦点，且过c、d两点的椭圆的标准方程;oabcd图8()过点p(0,2)的直线交()中椭圆于m,n两点,是否存在直线,使得以弦mn为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.11解：()由题意可得点a,b,c的坐标分别为.1分设椭圆的标准方程是.2分则3分4分.5分椭圆的标准方程是6分oabcd图8()由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.7分设m,n两点的坐标分别为联立方程: 消去整理得, 8分有9分若以mn为直径的圆恰好过原点,则,10分,即所以,即11分得12分直线的方程为,或.13分存在过p(0,2)的直线:使得以弦mn为直径的圆恰好过原点. 14分专项五：数列（求数列通项，求数列前n项和等综合题）12、已知数列的前项和为，若， （1）证明数列为等差数列，并求其通项公式; （2）令，当为何正整数值时，：若对一切正整数，总有，求的取值范围。12解：（1）令，即 由 ，即数列是以为首项、为公差的等差数列， （2），即 ，又时，各项中数值最大为，对一切正整数，总有恒成立，因此13、已知，数列满足， （）求证：数列是等比数列； （）当n取何值时，取最大值，并求出最大值；（iii）若对任意恒成立，求实数的取值范围13解：（i）， 即又，可知对任何，所以， 是以为首项，公比为的等比数列（ii）由（i）可知= （） 当n=7时，； 当n7时，当n=7或n=8时，取最大值，最大值为 （iii）由，得 （*） 依题意（*）式对任意恒成立， 当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意 当t0时，由，可知（） 而当m是偶数时，因此t0时，由（）, （） 设 （） =,的最大值为所以实数的取值范围是14、（09广州调研题20）把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图所示的数表：设（i、jn*）是位于这个数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数. 数表中第行共有个正整数.（1）若2010，求i、j的值；1 23456 7 89 10 11 12 13 14 15 （2）记n*), 试比较与的大小, 并说明理由.14解：（1）数表中前行共有个数，即第i行的第一个数是， 2分 ，2010， i11 4分令,解得 6分（2） 7分 当时, , 则;当时, , 则;当时, , 则;当时, 猜想: . 11分下面用数学归纳法证明猜想正确. 当时, 即成立; 假设当时, 猜想成立, 即, 则,.即当时，猜想也正确.由、得当时, 成立.当时,. 13分综上所述, 当时, ; 当时,. 14分另法( 证明当时, 可用下面的方法):当时, c + c + c+ c .专项五：函数、导数、方程、不等式综合15、1. 已知函数的图象为曲线e.() 若曲线e上存在点p，使曲线e在p点处的切线与x轴平行，求a,b的关系；() 说明函数可以在和时取得极值，并求此时a,b的值；() 在满足(2)的条件下，在恒成立，求c的取值范围.15解： (1) ,设切点为,则曲线在点p的切线的斜率,由题意知有解，即. (2)若函数可以在和时取得极值，则有两个解和，且满足. 易得. (3)由(2)，得. 根据题意，()恒成立. 函数（）在时有极大值（用求导的方法），且在端点处的值为.