2018人教B版数学选修4-5课件3.2　用数学归纳法证明不等式贝努利不等式

1 会用数学归纳法证明简单的不等式 2 会用数学归纳法证明贝努利不等式 3 了解贝努利不等式的应用条件 1 用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中 有多种多样的方法 其中数学归纳法是最常用的方法之一 在运用数学归纳法证不等式时 推导 k 1 成立时 比较法 分析法 综合法 放缩法等方法常被灵活地应用 做一做1 1 欲用数学归纳法证明 对于足够大的正整数n 总有2n n3 n0为验证的第一个值 则 A n0 1B n0为大于1小于10的某个整数C n0 10D n0 2解析 n 1时 2 1 n 2时 41000 故选C 答案 C 做一做1 2 用数学归纳法证明 n N n 1 时 由n k k 1 时不等式成立推证n k 1时 左边应增加的项数是 A 2k 1B 2k 1C 2kD 2k 1解析 增加的项数为 2k 1 1 2k 1 2k 1 2k 2k 答案 C 2 用数学归纳法证明贝努利不等式 1 定理1 贝努利不等式 设x 1 且x 0 n为大于1的自然数 则 1 x n 1 nx 2 定理2 设 为有理数 x 1 若01 则 1 x 1 x 当且仅当x 0时等号成立 名师点拨当指数推广到任意实数且x 1时 若01 则 1 x 1 x 当且仅当x 0时等号成立 应用数学归纳法证明不等式 从 n k 到 n k 1 证明不等式成立的技巧有哪些 剖析 在用数学归纳法证明不等式的问题中 从 n k 到 n k 1 的过渡 利用归纳假设是比较困难的一步 它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样 只需拼凑出所需要的结构来 而证明不等式的第二步中 从 n k 到 n k 1 只用拼凑的方法 有时也行不通 因为对不等式来说 它还涉及 放缩 的问题 它可能需通过 放大 或 缩小 的过程 才能利用上归纳假设 因此 我们可以利用 比较法 综合法 分析法 等来分析从 n k 到 n k 1 的变化 从中找到 放缩尺度 准确地拼凑出所需要的结构 题型一 题型二 题型三 用数学归纳法证明数列型不等式 1 求数列 an 的通项公式 2 求证 对一切正整数n 不等式a1a2 an 2n 恒成立 分析 由题设条件知 可用构造新数列的方法求得an 第 2 问的证明 可以等价变形 视为证明新的不等式 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n k到n k 1的变形 为满足题目的要求 常常要采用 放 与 缩 等手段 但是放缩要有度 这是一个难点 解决这类问题一是要仔细观察题目的结构 二是要靠经验积累 题型一 题型二 题型三 用数学归纳法比较大小 分析 先通过n取比较小的值进行归纳猜想 确定证明方向 再用数学归纳法证明 题型一 题型二 题型三 当n 1时 21 2 12 1 当n 2时 22 4 22 当n 3时 23 852 25 当n 6时 26 64 62 36 故猜测当n 5 n N 时 2n n2 下面用数学归纳法进行证明 1 当n 5时 显然成立 2 假设当n k k 5 且k N 时 不等式成立 即2k k2 k 5 则当n k 1时 2k 1 2 2k 2 k2 k2 k2 2k 1 2k 1 k 1 2 k 1 2 2 k 1 2 因为 k 1 2 2 题型一 题型二 题型三 反思利用数学归纳法比较大小 关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系 猜测出证明方向 再利用数学归纳法证明结论成立 题型一 题型二 题型三 用数学归纳法证明探索型不等式 题型一 题型二 题型三 1 当n 1时 显然成立 2 假设当n k k N 且k 1 时 题型一 题型二 题型三 反思用数学归纳法解决探索型不等式的思路是 观察 归纳 猜想 证明 即先通过观察部分项的特点进行归纳 判断并猜测出一般结论 然后用数学归纳法进行证明 1234 1 下列选项中 满足1 2 2