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第三章函数的应用3.1函数方程学习过程知识点一:函数的零点(1)定义:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。(2)函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与x轴交点的横坐标即:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点(3)函数零点的求法:求函数的零点:(代数法)求方程的实数根;(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点(4)说明:函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零。(5)函数零点的性质如果函数在区间上的图像是连续不断的曲线,并且有,那么,函数在区间内有零点,即存在,使得,这个c也就是方程的根。知识点二:二次函数的零点与的根之间的关系(),方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点。(),方程有两相等实根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个零点。(),方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点。知识点三:二分法(1)定义:对于在区间上连续不断,且满足的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。(2)用二分法求函数零点近似值的步骤:给定精度,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下:确定区间,验证,给定精度;求区间的中点;计算:若=0,则就是函数的零点;若0,则令b=(此时零点);若0,则令a=(此时零点)。判断是否达到精度;即若,则得到零点零点值(或b);否则重复步骤24。学习结论(1) 函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与x轴交点的横坐标。(2) 函数的零点是一个实数。(3)用二分法求函数零点近似值时注意精确度,按“精确度为”要求得到的近似值不是唯一的,即若|a-b|,则a,b上任何一个实数值x0均可作为所求的近似值。典型例题例1.求下列函数的零点.(1)y=x2x+20;(2)y=(x22)(x23x+2).解析:(1)令y=0,即x2x+20=0,解得x1=5,x2=4.所求函数的零点为5,4。(2)令y=0,即(x22)(x23x+2)=0.解得x1=,x2=,x3=1,x4=2,所求函数的零点为,1,2。例2.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),方程f(x)x=0的两个根x1,x2满足0x1x2。(1)当x(0,x1)时,求证:xf(x)x1;(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,求证:x0.证明:(1)x1,x2是方程f(x)x=0的两根,且f(x)=ax2+bx+c(a0),f(x)x=a(xx1)(xx2)=a(x1x)(x2x).0x1x2,且x1x2,a0,a(x1x)(x2x)0,即f(x)x0,a(x1x)(x2x)a(x1x)=x1x,即f(x)xx1x.故0f(x)xx1x,即xf(x)x1.(2)f(x)x=ax2+(b1)x+c,且f(x)x=0的两根为x1,x2,二次函数f(x)x=0的对称轴为x=.=+.又由已知,得x0=,=x0+.又x2,0.故=x0+x0,即x0.例3.求方程x3+x2-2x-2=0的一个正实数解(精确到0.1)。解析:列表:x01234f(x)-2-262870 由表可知,f(1)f(2)0,说明该方程在区间(1,2)内有正实数解. 取区间(1,2)的中点x1=1.5,由计算器可算得f(1.5)=0.6250,因为f(1)f(1.5)0,所以x0(1,1.5). 再取(1,1.5)的中点x2=1.25,由计算器可算得f(1.25)=-0.9840,因为f(1.25)f(1.5)0,所以x0(1.25,1.5). 同理可知x0(1.375,1.5),x0(1.375,1.43
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