高中数学 第三章 函数方程同步学习过程 新人教A版必修1.docVIP

第三章函数的应用3.1函数方程学习过程知识点一：函数的零点（1）定义：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。（2）函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与x轴交点的横坐标即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点(3)函数零点的求法：求函数的零点：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点（4）说明：函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零。（5）函数零点的性质如果函数在区间上的图像是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根。知识点二：二次函数的零点与的根之间的关系（），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点。（），方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个零点。（），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。知识点三：二分法（1）定义：对于在区间上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。（2）用二分法求函数零点近似值的步骤：给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：确定区间，验证，给定精度；求区间的中点；计算：若=0，则就是函数的零点；若0，则令b=（此时零点）；若0，则令a=（此时零点）。判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或b）；否则重复步骤24。学习结论（1） 函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与x轴交点的横坐标。（2） 函数的零点是一个实数。（3）用二分法求函数零点近似值时注意精确度，按“精确度为”要求得到的近似值不是唯一的，即若|a-b|，则a,b上任何一个实数值x0均可作为所求的近似值。典型例题例1.求下列函数的零点.（1）y=x2x+20；（2）y=（x22）（x23x+2）.解析：（1）令y=0，即x2x+20=0，解得x1=5，x2=4.所求函数的零点为5，4。（2）令y=0，即（x22）（x23x+2）=0.解得x1=，x2=，x3=1，x4=2，所求函数的零点为，1，2。例2.设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a0），方程f（x）x=0的两个根x1，x2满足0x1x2。（1）当x（0，x1）时，求证：xf（x）x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证：x0.证明：（1）x1，x2是方程f（x）x=0的两根，且f（x）=ax2+bx+c（a0），f（x）x=a（xx1）（xx2）=a（x1x）（x2x）.0x1x2，且x1x2，a0，a（x1x）（x2x）0，即f（x）x0，a（x1x）（x2x）a（x1x）=x1x，即f（x）xx1x.故0f（x）xx1x，即xf（x）x1.（2）f（x）x=ax2+（b1）x+c，且f（x）x=0的两根为x1，x2，二次函数f（x）x=0的对称轴为x=.=+.又由已知，得x0=，=x0+.又x2，0.故=x0+x0，即x0.例3.求方程x3+x2-2x-2=0的一个正实数解（精确到0.1）。解析：列表：x01234f(x)-2-262870 由表可知，f(1)f(2)0，说明该方程在区间（1，2）内有正实数解. 取区间（1，2）的中点x1=1.5，由计算器可算得f(1.5)=0.6250,因为f(1)f(1.5)0，所以x0(1,1.5). 再取(1,1.5)的中点x2=1.25,由计算器可算得f(1.25)=-0.9840，因为f(1.25)f(1.5)0,所以x0(1.25,1.5). 同理可知x0(1.375,1.5),x0(1.375,1.43