质数与合数的判断方法与题.doc

小学数学教材对互质数是这样定义的：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。”这里所说的“两个数”是指自然数。“公约数只有 1”，不能误说成“没有公约数。”判别方法：（1）两个质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。（2）一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。例如，3与10、5与 26。（3）1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。（4）相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。（5）相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。（6）大数是质数的两个数是互质数。如97与88。（7）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。如 7和 16。（8）两个数都是合数（二数差又较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。如357与715，357=3717，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。（9）两个数都是合数（二数差较小），这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数，这两个数是互质数。如85和78。85787，7不是78的约数，这两个数是互质数。（10）两个数都是合数，大数除以小数的余数（不为“0”且大于“ 1”）的所有质因数，都不是小数的约数，这两个数是互质数。如 462与 221 462221220，20225。2、5都不是221的约数，这两个数是互质数。（11）减除法。如255与182。25518273，观察知 73182。182（732）36，显然 3673。73（362）1，（255，182）1。所以这两个数是互质数。三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况：一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。如2、3、4。另一种不是两两互质的。如6、8、9。质数与合数一、趣题引入 甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪，三人各自中靶的环数之积都是60，按个人中靶的总环数由高到低排，依次是甲、乙、丙。靶子上4环的那一枪是谁打的？（环数是不超过10的自然数） 二、知识点 如果一个比1大的自然数只有两个约数：1和本身，那么这个自然数就叫质数。（质数也叫素数。） 例如：43=143。43只有1和43两个约数，所以43是质数。100以内的质数极为常用，它们是： 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。在自然数中，如果除了1和本身两个约数，还有其它的约数，这个自然数就叫做合数。例如：6的约数有1，2，3，6，那么6是合数。应特别注意：1既不是质数也不是合数，这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和1。偶数中只有2是质数，而且是所有质数中最小的一个。除2以外所有的偶数都是合数，除2以外所有的质数都是奇数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形成，这几个质数就叫做这个合数的质因数，例如，因为70=257，所以2，5，7是70的质因数。 把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：60=2235=2235，把60这个合数用2235或2235的形式来表示，就是把60分解质因数。 三、例题分析 例1：两个质数的积是46，求这两个质数的和。 分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数 只有2，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决。 解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一个质数为462=23，所以2与23的和是25。 例2：用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？ 分析：首先考虑个位是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以各位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为243，423，253，523，453，543，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数。 解:如果组成的三位数的个位数字是2, 4, 5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数。 说明 质数的判断方法是，当一个数比较小时，用定义直接判断，但这个数比较大时，通常采用查质数表，因此最好记住100以内的所有质数。在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除，如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数一定是质数。 例如，判断100以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数。判断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数，为什么不必去试除比97小的所有的质数呢？因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就一定不能被4，6，8，9，10等数（分别为2，3，5的倍数）整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除，9711=89，9713=76，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此判断100以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7去试除。 判断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；判断300以内的质数，只需用20以内的八个质数去试除；判断500以内的质数，只需要2到23的质数去试除，其余可用类似的方法推出，同学们可以思考一下1000以内的质数如何判断？ 例3：将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。 分析：如果采用观察，计算调整的方法是比较麻烦的，要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，根据质因数的个数，进行适当的搭配，使能找出问题的答案。 解：将八个数分析质因数： 40=235 44=2211 45=325 63=327 65=513 78=2313 99=3211 105=357 这八个数分解质因数后一共有6个2，8个3，4个5，2个7，2个11，2个13。因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有3个2，4个3，2个5，1个7，1个11，1个13，这样可以得到两组分别为：40，63，65，99和44，45，78，105。 例4：360有多少个约数？ 分析：如果先求360的所有约数，再数出它们的个数显然比较麻烦。为此，先将360分解质因数：360=23325，360的任意一个约数均由若干个2成3成5组成，我们将360的所有约数列成下面的数阵： 这个数阵共6行，每行4个约数，所以360共有46=24个约数。而24=（3+1）（2+1）（1+1），这里3，2，1恰好是360分解质因数式子中2，3，5的个数，从而得到下面关于约数个数的一个重要结论： 一个大于1的整数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积。用数字式子表示为： 如果A分解质因数为： A= 则A的全体约数的个数为： （r1+1）（r2+1）（rn+1） （学过乘法原理的同学，不妨从乘法原理的角度去理解此公式的由来。） 例5：有30个约数的最小自然数是多少？ 分析：设所求的数为A，则A有30个约数，因为30=301=215=310=56=235，要使A最小，一般使A的质因数的幂指数尽可能小，质因数的个数尽可能少，所以A必为下列形式： A=a1a22a34 其中a1，a2，a3为互不相同的质数。 要使A最小，a1，a2，a3应尽可能小，显然a3=2，a2=3，a1=5，这样 A=24325=720 解：因为30=301=152=103=65=532，而且题中要求有30个约数的最小的数，所以这个数是能表示为A=a1a22a34，其中a1，a2，a3为互不相等的质数，为了使A最小，a3=2，a2=3，a1=5，所以A=24325=720。 例6：引例。 分析：三人三枪中靶环数之积均为60，即每人每枪中靶环数均为60的约数。将60分解质因数为60=2235，又因为每枪环数不超过10，所认将60写成三个不超过10的自然数的乘积有且只有以下四种情况： 60=345 （1） 60=265 （2） 60=2310 （3） 60=1610 （4） 其中总环数分别为12，13，15，17，出现4环的情形（1）总环数最少，所以4环是丙打的。 解：因为60=345=265=2310=1610， 所以三个人各自打的环数有下面4种可能： （1）3，4，5 （2）2，6，5 （3）2，3，10 （4）1，6，10 其中出现4环的情形（1）总环数最少，所以4环是丙打的。 例7：九个连续自然数中至多有四个质数，例如1至9中有2，3，5，7四个质数。请在200以内再找出五组这样的质数。 分析：9个连续自然数中至多有5个奇数，在两位数中，个位是5的数必能被5整除，而且三个连续的奇数必有一个能被3整除，所以只有当个位数字为5的两位数又有能被3整除时，其余的四个奇数才有可能是质数。当找到一组这样的两位以上质数时，另一组与这组对应的数的差必定是30的倍数。按照上述办法找出后，再根据质数的判断方法去筛选就可得到结果。 首先容易得出3，5，7，11；5，7，11，13；在两位数中，按照上面的方法可得出以下各组数： 11， 13， 15， 17， 19； 41， 43， 45， 47， 49； 71， 73， 75， 77， 79； 101，103，105，107，109； 131，133，135，137，139； 161，163，165，167，169； 191，193，195，197，199； 根据质数的判断方法可以得出两位数中还有11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199这三组符合条件。 解：200以内另外五组这样的质数为： 例8：有一个2n+1位整数（n是整数，n1） 解法1：我们观察这个数的数字特征，可以看出，它的各个数位数字和是3的倍数。 由于n+1是整数，得3 | 3（n+1），所以3是原数的约数，显然3是1和原数以外的约数， 从上面的解法中，可以看到“整除”知识在判断质数与合数时有很大用处，要想迅速找到一个整数的约数，就要对数的整除特征非常熟悉，这对提高筛选的速度大有好处。 解法2：还可以把这个数分解一下，把这个数中间的“3”拆开。 把这个数字拆开的主要目的是能提出公因数做因数分解。这种方法不但能说明一个数是合数，还提供了分解因数的一种方法。 对于质数来讲，由于它至今没有统一的数学式子来表示，人们对它的了解仍是很不全面。已经知道：质数有无限多个（这在初中可以证明），并且一般来说，随着数值越大就越来越稀少。有人统计过五千以内的质数分布情况： 1-1000中有168个质数， 1001-2000中有135个质数， 2001-3000中有127个质数， 3001-4000中有120个质数， 4001-5000中有119个质数。 四、练习 1、 由1,2,3,4,5,6,7,8,9。这九个数字组成的九位数是质数吗？ 2、 把下列八个数，分为两组，每组四个数，使两组数的积相等，问如何分？ 14，33，35，75，39，30，143，169 3、 2340有多少个约数？ 4、 有一个质数，它加上10是质数，加上14也是质数，把它求出来。 5、 两个质数的和是33，求这两个质数的积。 6、 求用1,2,4,5,8中的三个数字组成最大的三位质数。 7、 有四个人，他们的年龄一个比一个大一岁，他们的年龄乘积等于43680，求这四个人的年龄？ 8、 求有18个约数的最小自然数？ 9、 三个质数的乘积恰好等于它们的和的11倍，求这三个质数。 10、 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数。求这两个整数。 五、习题参考答案及思路分析 1、 不是。因为它一定能被3整除。 2、 第一组：35，30，39，143 第二组：14，75，33，169 （答案不唯一） 3、2340=2232513 它的约数个数为（2+1）（2+1）（1+1）（1+1）=36个 4、设所求的质数为A，则A+10，A+14仍为质数。 101（mod3），若A2（mod3），则3|A+10不可。又142（mod3），若A1（mod3），则3|A+14也不可。只能A0（mod3）。能被3整除且为质数的数只有3符合。 所以所求的数为3。 5、因为这两个质数和是33，为奇数，所以这两个质数必定是一个为奇数，另一个为偶数。由于偶质数只有2，所以另一个奇质数为33-2=31。312=62。这两个质数的积为62。 6、个位是2，4，8，5的三位数一定能被2或5整除，不是质数，所以个位只能是1。将个位数字是1的三位数从大到小逐个试验： 851=2327，851不是质数。 841=2929，841不是质数。 821不能被2至29的任何一个质数整除，所以821是所求的最大的三位质数。 7、因为这四