2018_2019高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式导学案新人教A版.docx

1.1.2 基本不等式学习目标1.了解两个正数的算术平均与几何平均2理解定理1和定理2.3掌握利用基本不等式求一些函数的最值及解决实际的应用问题.一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究探究1函数f(x)x的最小值是2吗？探究2在基本不等式中，为什么要求a0，b0?探究3利用求最值的条件是怎样的？探究4你能给出基本不等式的几何解释吗？名师点拨1.常用基本不等式(1)(ab)20a2b22ab(a，bR)(2)均值不等式(a，bR)这两个不等式都是在ab时，等号成立而(1)只要求a，bR，而公式(2)条件加强了，要求a0，b0.注意区别(3)利用基本不等式还可以得到以下不等式：a2(a0，当且仅当a1时取等号)当ab0时，2(当且仅当ab时取等号)a2b22ab(a，bR，当且仅当ab时，等号成立)2均值不等式的应用应用均值不等式中等号成立的条件，可以求最值(1)x，yR，且xym(m为定值)，那么当xy时，xy有最小值2；(2)x，yR，且xyn(n为定值)，那么当xy时，xy有最大值.在应用均值不等式求最值时，应强调“一正、二定、三相等”否则会得出错误的结果.例1 已知a，b，c为正实数，求证：(1)8；(2)abc.变式练习1设a，b，cR，求证： (abc)例2 已知x0，y0，且1，求xy的最小值变式练习2求函数f(x)(x0)的最大值及此时x的值例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元仓库底面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？变式练习3某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由参考答案探究1【提示】函数f(x)x的最小值不是2.当x0时，f(x)x2 2；(当且仅当x1时取等号)当x0时，f(x)x2.(当且仅当x1时取等号)显然f(x)无最小值，也无最大值.探究2【提示】对于不等式，如果a，b中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，当a，b都为负数时，不等式不成立；当a，b中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义探究3【提示】利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值探究4【提示】如图，以ab为直径的圆中，DC，且DCAB.因为CD为圆的半弦，OD为圆的半径，长为，根据半弦长不大于半径，得不等式.显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当ab时，等号成立因此，基本不等式的几何意义是圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高例1 精讲详析本题考查基本不等式在证明不等式中的应用，解答本题需要分析不等式的特点，先对ab，bc，ca分别使用基本不等式，再把它们相乘或相加即可(1)a，b，c为正实数，ab20，bc20，ca20，由上面三式相乘可得(ab)(bc)(ca)88abc.即8.(2)a，b，c为正实数，ab2，bc2，ca2，由上面三式相加可得(ab)(bc)(ca)222.即abc.变式练习1证明：a2b22ab， 2(a2b2)(ab)2.又a，b，cR，|ab|(ab)同理：(bc)，(ac)三式相加，得 (abc)当且仅当abc时取等号.例2 精讲详析本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值x0，y0，1，xy(xy)1061016.当且仅当，又1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.变式练习2解：f(x)1.因为x0，所以2x2，得(2x)2，因此f(x)12，当且仅当2x，即x2时，式子中的等号成立由于x0，因而x时，等号成立因此f(x)max12，此时x.例3 精讲详析本题考查基本不等式的应用，解答此题需要设出铁栅和砖墙的长，然后根据投资费用列出关系式，借助基本不等式即可解决设铁栅长为x m，一堵砖墙长为y m，则有Sxy，由题意，得40x245y20xy3 200，由基本不等式，得3 200220xy12020xy12020S，S6160，即(16)(10)0.160，100，从而S100.因此S的最大允许值是100 m2，取得此最大值的条件是40x90y，而xy100，由此求得x15，即铁栅的长应是15 m.变式练习3解：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为36x6(x1)6(x2)619x(x1)，设平均每天所支付的总费用为y1元，则y11 80069x10 8092 10 80910 989，当且仅当9x，(2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x35)天购买一次面粉平均每天支付的总费用为y2元，则y29x(x1)90061 8000.99x9 729(x35)，令f(x)x(x35)，x2x135，则f(x