山东省德州市乐陵一中高中数学 3.4.4基本不等式（第4学时）学案 新人教A版必修5.doc

344基本不等式（第4课时）35*学习目标*1拓展基本不等式的内涵，了解均值不等式不等式链；2能综合应用均值不等式解决一些较复杂的问题。*要点精讲*1均值不等式（不等式链）：若，则。其中，分别称为正数的调和平均数（h）、几何平均数（g）、算术平均数（a）、平方平均数（p），即有。基本功能有：（1），将平方和与两数和互化；（2），将和与积互化；（3），将和与倒数和互化；（4）重要变形：，其中为正数。2含有参变量的恒成立问题，常用分离参量的方法，转化为最值问题得以解决。*范例分析*例1（1）已知为正数，则的最小值为 ；（2）已知为正数，且，则的最小值为 ；（3）已知为正数，且，则的最小值为 ；例2（1）已知x2+y2=4,则的最小值为（ ）a.2b. c.22d.2+2（2）若实数m，n，x，y满足，（ab）则的最大值是（ ）（a） （b） （c） （d）（3）若为正数，则的最小值是（ ）a、3 b、 c、4 d、例3（1）设，且恒成立，则的最大值是（ ）a、2 b、3 c、4 d、5（2）若都是正实数，且不等式恒成立，则的最小值是（ ） 2 1（3）若对任意的，恒成立，则实数的最大值为 ，实数的最小值为 。例4、记。（1）是否存在，使？请说明理由；（2）若对任意的，恒有，请求出的取值范围。请思考：若改，（2）的结论如何？规律总结1.应用不等式解决数学问题时，关键在于要善于把等量关系转化为不等量关系，以及不等关系的转化等，把问题转化为不等式的问题求解.2.与不等式相关联的知识较多，如函数与不等式、方程与不等式、数列与不等式、解析几何与不等式，要善于寻找它们之间的联系，从而达到综合应用的目的.3.化归思想在解决不等式问题中占有重要位置，等式和不等式之间的转化、不等式和不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等，对于这些转化，一定要注意条件.4引进待定系数巧用基本不等式，体现了一定的数学智慧。*基础训练*一、选择题1已知，全集为，集合，则满足（ ）a、 b、 c、 d、2若，则（ ）a、 b、 c、 d、3已知不等式(x+y)( + )9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )a.2 b.4 c.6 d.84.已知a、b是不相等的正数，x=，y=，则x、y的关系是（ ）a.xyb.yxc.xyd.不能确定5设且则之间的大小关系是（ ）a b c d 二、填空题6函数的值域为 。7的三边成等比数列，则的取值范围是 。8三个同学对问题“关于的不等式25|5|在1，12上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 三、解答题9已知函数，且成等差数列。（1）求实数的值；（2）若是两两不等的正数，且成等比数列，试判断与的大小关系，并证明你的结论。10（1）证明：一次函数，若，则对任意的，都有；（2）试证明：若，则。四、能力提高11已知，且，则的最小值为（ ）a、1 b、2 c、3 d、412已知，求的最小值。344基本不等式（综合应用）例1解：（1）当时，最小值为4；（2）当时，最小值为1；（3），由，得，当时，最小值为8；例2解：（1）方法1：令，则，再令，则，当且仅当取等号。选c。方法2：。（2）方法1，当且仅当时，的最大值是；选b。方法2，令，则；选b。评注：若由，则错选a，为什么？方法3，设，则。选b。（3），当且仅当时等号成立。例3解：（1）令，则恒成立，因为，故的最大值为。（2）原问题转化为m恒成立.从而m的最小值就是的最大值.x0，y0，=.=.m的最小值为.（3）因为，所以实数的最小值为；又，所以实数的最大值为1。评注：分离参数法是求参数的范围问题常用的方法，化归是解这类问题常用的手段.例4解：（1），因为，所以。当时，存在满足条件；当或时，这样的不存在。（2）由知，对任意的成立，只需不大于的最小值。方法1，因为，从而，故。方法2，根据分子、分母为齐次式的特点，令，则，当且仅当时取等号，故。评注：（2）中方法1，由于系数的特殊性，很巧妙地利用基本不等式进行了放缩，但对于更一般的系数，如根号下的系数2改为3，怎么办？引入待定系数，再用基本不等式：，则，只需，即，就有，从而。*参考答案*15 aabbc；3提示：不等式(x+y)()9对任意正实数x，y恒成立，则 9， 2或4(舍去)，所以正实数a的最小值为4，选b4提示：x2=（+）2=（a+b+2），y2=a+b=（a+b+a+b）（a+b+2）=x2，又x0，y0.yx.5提示：令，则在上为增函数； 在上为减函数；从而，当且仅当时等号成立。6令，则，由得，当时，最大值为；当时，最小值为。或，所以。7；提示：，。8；提示：由25|5|，而，等号当且仅当时成立；且，等号当且仅当时成立；所以，等号当且仅当时成立；故。9解：（1）由已知，得