再谈优化——最短路径问题.doc

课题名称再谈数学中的优化问题最短路径教师姓名蔡璐颖年级初二学科数学教学背景分析（一）对课标的理解与把握数学课程标准指出，“无论是设计、实施课堂教学方案，还是组织各类教学活动，不仅要重视学生会的知识技能，而且要激发学生的学习兴趣，通过独立思考或者合作交流感悟数学的基本思想，引导学生在参与数学活动的过程中积累基本经验，帮助学生形成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等良好的学习习惯”本节课设计考虑以已有知识为基础，让学生经历数学知识应用过程提，高分析和解决问题的能力；鼓励学生自主探索与合作交流，注重形成探索解决新问题思路的方法 （二） 教学内容分析最短路径在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等图形变化进行研究.本节课安排在学习轴对称性质和等腰三角形之后，以数学史中的一个经典问题将军饮马问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，是对轴对称性质的理解和运用，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题，体现了数学化的过程和转化思想，发展数学抽象能力.（三） 学生情况分析学生已经学习了轴对称和等腰三角形，最短路径从本质上说是最值问题，最值问题有很多贴近学生的生活实际，作为初中生，已经涉及到的最值问题有“两点之间”和“直线外一点与直线之间”，相对比较简单.刚上初二学生已经初步具备抽象能力，但还处于经验水平阶段，对于线段和最小问题，由于两条线段长度都在发生变化，对情景的抽象比较容易，但对于问题的抽象存在一定困难.将问题与已有经验建立联系学生是有这个意识的，如何建立联系将问题转化，一些学生会存在理解和操作上的困难.教学目标1.能够将实际生活中的最短路径问题转化成数学中抽象的几何图形，将路径和最小问题用数学符号中的点、直线等表达；2.经历“数学抽象、独立思考、画图尝试、交流感悟、理性思考”的探索过程，能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想；3.在探索过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神；感悟解决问题的方法，提高探索和解决问题的能力.教学重点和难点教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为两点之间线段最短问题教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题教学资源、教学手段和主要教学方法多媒体课件（ppt和几何画板）、圆规、三角板、激光笔、小镜片多媒体、教具辅助教学自主探究、合作交流、对话式教学法教学设计思路情景导入问题再续数学抽象独立探索合作交流追根溯源迁移运用感悟转化系列推广归纳总结 教学过程教学环节教师为主的活动学生为主的活动设计意图一、情境导入，问题再续 二、数学抽象，独立探索三、合作交流，追根溯源 四、迁移运用，感悟转化五、系列推广，归纳总结教师出示幻灯片：情景1: 老虎到狐狸洞 情景2: 行人过人行横道提出问题：观察这两个情景，选择哪条路最近？理由是什么？教师创设一个探究情景：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？【问1】要解决这个问题首先需要做什么？（如图1，演示几何画板）【问2】用自己的语言说说问题是什么？ （如图2）【问3】怎么找到点C位置呢？巡视，观察学生所画图形，关注找点C的不同方式.让学生展示自己的画法【问4】运用轴对称后，为什么“两点之间线段最短”能说明“AC+BC”最短？【问5】怎样证明“AC+BC”最短？【问6】怎么想到用轴对称找点C的位置？教师几何画板展示两种特殊化、简单化的情况.教师提供其他视角：光的反射教师演示.【阶段梳理】探索“将军饮马”问题经历了怎样的过程？教师改变情境1创设新的探索情境：将军的前方有一片草地，马儿吃完草后去饮水，又回到原驻地，如图所示，将军怎么走路径最短？教师巡视，关注学生是否理解问题并运用所学解决问题.请学生展示找两个点的画法. 【问】我们研究了“点与点、点与线、两点一线、两线一点”，你能在它们的基础上提出不同的最短路径问题吗？【小结】本节课探索中你有怎样的想法和收获？【作业】A 基本要求：梳理问题1和2的画法和方法；B 略高要求：解决课堂上同学或老师提出的其他最短路径问题（选择两个）学生观察，表达自己想法 学生说出理由分别是“两点之间、线段最短”和“垂线段最短”学生将实际问题抽象成数学问题，画出图形图1图2明确问题：在l上求作一点C，使AC+BC最小学生独立思考，画图尝试；交流（为什么这样找点C）学生在黑板上画图（预案3个或更多）预案学生说明自己找点C的方式，说出“它使得路径最短的依据”能够在l上任找一点D（与点C不重合），运用轴对称性质将两条路径和转移到三角形中，依据“两边之和大于第三边”比较大小观察几何画板的演示，调整完善自己的认识和理解学生观察学生表达出自己想法，如，数学抽象，用轴对称“化折线为直线”等学生独立解决，画出图形预设学生思考，并交流想法学生思考并提出问题预设：增加一个点，将点移动到角的外部等 可以从“运用知识、方法、探究过程”和“如何提出问题、解决问题”方面总结有画面感，更容易吸引学生注意力，学生的参与度高，引出后续问题经历将实际问题数学化的过程，即将实际问题中的地点、河抽象成数学中的点、直线等图形，将问题表达成线段和最小形式，从而将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.鼓励学生明确问题并表达发挥学生的主体作用；培养学生在探索中寻找解决问题办法的能力 通过对不同画法的分析、对比，调动学生思维的积极性，为学生从感知阶段过渡到理性思考提供机会引导学生从位置上和数量关系上观察变化，充分感知提倡学生跨学科认识问题提供学生对自己的想法进行反思的机会，感悟解决问题的着眼点和思考方式学生感受提出问题的方式获得解决问题的转化方式，能与已知问题建立联系引导学生改变图形的相对位置或数量形成新的最短路径问题.加深对问题转化的理解，如何转化的认识，通过小结为学生创造分享交流的空间板书设计 13.4 再谈优化最短路径 学生板书小结 问题1 问题2 实际问题 抽象数学问题（线段和最小）转化 轴对称折转直已知问题（两点之间）学习效果评价预期看到学生将两点在直线同侧转化为异侧，在第二环节中的独立思考阶段，会巡视观察有多少百分比的学生能够用轴对称将问题转化，后面会设计3个观察点，其一是学生交流后增加多少，其二是探索1结束后，其三是探索2结束后；预期看到学生能否提出新的问题，提出问题是否有策略，观察点会设计最后提升环节，后续会在作业及课堂中，看学生提出问题的方式有什么特点；预期看到学生面对新问题时，能否在它与已知问题之间找到联系和转化方式，在后续课堂都会有相应的观察.教学设计特点及反思 本节课设计考虑以学生为主体，在此基础上 1.重视培养思维能力，跨学科新视角本节课教师抛出将军饮马问题后，让学生经历数学抽象的过程，将问题图形化、符号化，给学生充分的时间画图尝试，学生与已有的经验、方法结合时会出现不同的画法，教师运用学生这些资源追问学生想法或请其他同学提出问题，达到调整学生思考解决问题是否合理的目的，而通过几何画板的动画特点，让学生看到思考新问题时如何将其简单化特殊化的过程，从中受到启发，寻找合理的方式进行探索，让学生经历数学抽象和运用数学知识解决问题的过程，领悟探究过程中用到的数学思想方法；从物理学科