【导与练】高考数学 试题汇编 第二节 函数的基本性质 理（含解析）.doc

第二节函数的基本性质 函数的奇偶性考向聚焦函数的奇偶性是高考的一个重点内容,考查角度有三个:一是判断具体函数的奇偶性;二是已知函数(解析式中含有参数)的奇偶性,求参数的值;三是与函数的单调性、对称性、周期性等结合求参数的值或取值范围.通常以选择题、填空题的形式考查,为基础题和中档题,所占分值在4分左右.在高考试卷中函数的奇偶性持续考查1.(2011年广东卷,理4)设函数f(x)和g(x)分别是r上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是()(a)f(x)+|g(x)|是偶函数(b)f(x)-|g(x)|是奇函数(c)|f(x)|+g(x)是偶函数(d)|f(x)|-g(x)是奇函数解析:令h(x)=f(x)+|g(x)|,h(-x)=f(-x)+|g(-x)|,又f(x)为r上的偶函数,g(x)为r上的奇函数,故f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),h(-x)=f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|=h(x),故选a.答案:a.2.(2011年安徽卷,理3)设f(x)是定义在r上的奇函数,当x0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=()(a)-3(b)-1(c)1(d)3解析:法一:由f(x)是定义在r上的奇函数,故f(1)=-f(-1)=-(2+1)=-3.故选a.法二:设x0,则-x0),因此f(1)=-212-1=-3,故选a.答案:a.3.(2010年新课标全国卷,理8)设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x0),则x|f(x-2)0=()(a)x|x4(b)x|x4(c)x|x6(d)x|x2解析:根据f(x)=x3-8(x0)可以画出如图(1)的图象,又因为f(x)为偶函数可得图(2),y=f(x)向右平移2个单位可得y=f(x-2)的图象,如图(3),由图(3)易知f(x-2)0时,可得x4,故选b.答案:b.4.(2012年上海数学,理9,4分)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=.解析:设h(x)=f(x)+x2,据题意知,h(-x)+h(x)=0,即f(-x)+f(x)=-2x2,所以f(-1)+f(1)=-2,又f(1)=1,所以f(-1)=-3,因此g(-1)=f(-1)+2=-1.答案:-15.(2011年浙江卷,理11)若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=.解析:法一:f(x)=x2-|x+a|为偶函数,f(-x)=f(x).(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|对xr恒成立,|a-x|=|a+x|对xr恒成立,a=0.法二:由于f(x)是偶函数,所以必有f(-1)=f(1),即1-|a-1|=1-|a+1|,所以|a-1|=|a+1|,两边平方可求得a=0,即实数a=0.答案:0函数的单调性考向聚焦函数单调性是高考的热点内容,通常从以下几个方面进行考查:一是求具体函数的单调区间或判断增减性;二是单调性的应用,例如根据单调性比较大小、求函数的最值、判断函数零点个数等;三是与函数的奇偶性、周期性等结合起来进行考查,且主要涉及抽象函数,有一定的综合性.高考试卷中一般是以选择题、填空题的形式出现,为基础题和中档题,所占分值5分左右,并且持续重点考查6.(2012年广东卷,理4,5分)下列函数中,在区间(0,+)上为增函数的是()(a)y=ln(x+2)(b)y=-x+1(c)y=(12)x(d)y=x+1x解析:y=ln(x+2),定义域为(-2,+),在(0,+)上递增,y=-x+1,定义域为-1,+),在(0,+)上递减,y=(12)x,定义域为r,在(0,+)上递减,y=x+1x,定义域为(-,0)(0,+),在(0,1)上递减,在(1,+)上递增.答案:a.7.(2012年陕西卷,理2,5分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为()(a)y=x+1(b)y=-x3(c)y=1x (d)y=x|x|解析:y=x+1是非奇非偶函数但为增函数,y=-x3是奇函数但为减函数,y=1x是奇函数,定义域上不单调,y=x|x|为奇函数也为增函数.答案:d.8.(2012年浙江卷,理9,5分)设a0,b0,()(a)若2a+2a=2b+3b,则ab(b)若2a+2a=2b+3b,则ab(d)若2a-2a=2b-3b,则a0,b0,则当2a+2a=2b+3b时,一定有2a+2a2b+2b,此时ab,故选a.答案:a. 本题主要考查函数的单调性的应用.不等式等基础知识.构造函数f(x)=2x+2x,研究它的单调性是求解的关键. 9.(2011年新课标全国卷,理2)下列函数中,既是偶函数又在(0,+)单调递增的函数是()(a)y=x3(b)y=|x|+1(c)y=-x2+1(d)y=2-|x|解析:y=|x|+1,y=-x2+1,y=2-|x|是偶函数.其中y=|x|+1在(0,+)单调递增.故选b.答案:b.10.(2010年安徽卷,理9)动点a(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间t=0时,点a的坐标是(12,32),则当0t12时,动点a的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是()(a)0,1(b)1,7(c)7,12(d)0,1和7,12解析:如图,数形结合.由题意知t=12秒,则动点a转过30圆心角用时1秒,又t=0时a(12,32),aod=60,由图形看出,由a到b与由c到a时,y为t的增函数,所求单调增区间为0,1和7,12.故选d.答案:d.11.(2012年上海数学,理7,4分)已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数).若f(x)在区间1,+)上是增函数,则a的取值范围是.解析:记u=|x-a|,因为函数f(x)在区间1,+)上单调递增,又y=eu单调递增,所以函数u(x)在1,+)上单调递增,由其图象知,a1.答案:(-,112.(2011年江苏卷,2)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是.解析:由2x+10得x-12,f(x)的定义域为(-12,+),由复合函数的单调性知f(x)的单调增区间为(-12,+).答案:(-12,+)函数的周期性及性质的综合应用考向聚焦函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性的综合是高考的一个重点内容,主要涉及对一些抽象函数的考查,有求值问题,也有对函数单调性、对称性的判断以及其他方面的一些性质的研究等.对函数性质的综合考查,一般以选择题或填空题的形式出现,具有一定的难度,往往在选择题或填空题较靠后的位置,所占分值为5分左右,并且在高考试卷中常考常新备考指津复习中要注意以下几个方面的训练:一是掌握给出函数周期的一些基本形式,能够根据题目条件迅速获得函数周期;二是明确函数的奇偶性、对称性与函数周期性之间的关系;三是强化借助函数图象研究函数性质的方法与技巧的训练13.(2012年福建卷,理7,5分)设函数d(x)=1,x为有理数,0,x为无理数,则下列结论错误的是()(a)d(x)的值域为0,1(b)d(x)是偶函数(c)d(x)不是周期函数(d)d(x)不是单调函数解析:本小题主要考查分段函数及函数性质,对a,由于函数值只有0和1,所以值域为0,1;对b,若x为有理数(或无理数),则-x也是有理数(或无理数),f(-x)=f(x)=1(或f(-x)=f(x)=0).函数为偶函数;对c,不妨取t=2,则x+2不改变x的属性.f(x+2)=f(x),即f(x)为周期函数;对d,显然不符合单调性定义.故选c.答案:c.14.(2012年重庆卷,理7,5分)已知f(x)是定义在r上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的()(a)既不充分也不必要的条件(b)充分而不必要的条件(c)必要而不充分的条件(d)充要条件解析:法一:根据函数的性质,当f(x)在0,1上递增时,可得f(x)的图象如下:由图象知f(x)在0,1上递增时,f(x)在3,4上递减,反之当f(x)在3,4上递减时,f(x)在0,1上递增.法二:因f(x)在0,1递增,f(x) 是偶函数,故f(x)在-1,0上递减,任取x1、x2-1,0且x1f(x2),又f(x)的周期是2,故f(x1+4)f(x2+4)且x1+4,x2+43,4,所以f(x)在3,4上递减,同理可得,f(x)在3,4上递减时,f(x)在-1,0上递减,故f(x)在0,1上递增.答案:d.15.(2011年山东卷,理10)已知f(x)是r上最小正周期为2的周期函数,且当0x2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为()(a)6(b)7(c)8(d)9解析:当x0,2)时,令f(x)=x3-x=0,即x(x2-1)=0,x1=0,x2=1.t=2,f(0)=f(0+2)=f(0+4)=f(0+6)=0.f(1)=f(1+2)=f(1+4)=0,即在区间0,6上函数图象与x轴的交点共7个,故选b.答案:b. 本小题考查对周期函数的理解与应用,考查三次方程根的求法、转化与化归思想及推理能力,难度较小.求解本题的关键是将f(x)=x3-x进行因式分解,结合周期函数的性质求出f(x)=0在区间0,6上的根,然后将方程f(x)=0的根转化为函数图象与x轴的交点问题.16.(2010年安徽卷,理4)若f(x)是r上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=()(a)-1(b)1(c)-2(d)2解析:由f(x)是r上周期为5的奇函数知f(3)=f(-2)=-f(2)=-2,f(4)=f(-1)=-f(1)=-1,f(3)-f(4)=-1,故选a.答案:a.17.(2012年江苏数学,10,5分)设f(x)是定义在r上且周期为2的函数,在区间-1,1上,f(x)=ax+1,-1x0,bx+2x+1,0x1,其中a,br.若f(12)=f(32),则a+3b的值为.解析:本题考查函数的周期性、分段函数的解析式.由题意f(12)=f(32)=f(-12),所以b2+232=-12a+1,32a+b=-1又f(-1)=f(1),b=-2a解得