九年级数学下册 26 二次函数小结与复习课件 （新版）华东师大版.ppt

第26章二次函数 学练优九年级数学下 hs 教学课件 小结与复习 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 要点梳理 1 二次函数的概念 一般地 形如 a b c是常数 的函数 叫做二次函数 y ax2 bx c a 注意 1 等号右边必须是整式 2 自变量的最高次数是2 3 当b 0 c 0时 y ax2是特殊的二次函数 2 二次函数的图象 二次函数的图象是一条 它是对称图形 其对称轴平行于 轴 注意 二次函数y ax2 bx c的图象的形状 大小 开口方向只与a有关 抛物线 轴 y 3 二次函数的解析式 y ax2 bx c a 0 1 一般式 2 顶点式 y a x h 2 k a 0 3 交点式 y a x x1 x x2 a 0 4 二次函数的平移 一般地 平移二次函数y ax2的图象可得到二次函数y a x h 2 k的图象 y ax2 上 下平移 y ax2 左 右平移 左 右平移 上 下平移 上 下移且左 右移 注意 抓住顶点坐标的变化 熟记平移规律 左加右减 上加下减 5 二次函数的y ax2 bx c的图象与性质 a 0开口向上 a 0开口向下 x h h k y最小 k y最大 k 在对称轴左边 x y 在对称轴右边 x y 在对称轴左边 x y 在对称轴右边 x y y最小 y最大 6 二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系 0 0 0 x x1 x x2 没有实数根 xx2 x x1的一切实数 所有实数 x1 x x2 无解 无解 x 考点讲练 例1已知抛物线y ax2 bx c的开口向下 顶点坐标为 2 3 那么该抛物线有 a 最小值 3b 最大值 3c 最小值2d 最大值2 解析 由抛物线的开口向下 可得a 0 所以抛物线有最大值 最大值为 3 故选b b 1 抛物线y x 2 2 2的顶点坐标是 a 2 2 b 2 2 c 2 2 d 2 2 2 已知二次函数y x2 x c的顶点在x轴上 则c 3 二次函数y x2 bx 3的对称轴是直线x 2 则b c 4 例2抛物线y ax2 bx c a 0 与x轴的公共点是 1 0 3 0 则这条抛物线的对称轴为 解析抛物线与x轴的两个交点是一对对称点 其实只要抛物线上两点 x1 y0 x2 y0 的纵坐标相等 这两点就是一对关于抛物线对称轴对称的对称点 对称轴计算公式是直线 因此这条抛物线的对称轴是直线 直线x 1 4 已知二次函数y ax2 bx c中 函数y与自变量x的部分对应值如下表 则 抛物线的对称轴是 当y 5时 x的取值范围是 在此抛物线上有两点a 3 y1 b 4 5 y2 试比较y1和y2的大小 y1 y2 填 或 直线x 2 0 x 4 例3已知二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 则下列结论 错误的有 ac 0 b 0 a b c 0 a b c 0 2a b 0 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 由抛物线的开口向下 可知a 0 由对称轴在y轴的右侧可知a b异号 即b 0 由抛物线与y轴交于正半轴 可知c 0 所以ac 0 由对称轴x 1可知 2a b 0 当x 1时 a b c 0 当x 1时 a b c 0 所以错误的结论有 共3个 故选c c 方法归纳 向上 向下 y 左 右 正 负 二次函数y ax2 bx c的图象与a b c的关系 5 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 给出以下结论 abc 0 b2 4ac0 其中所有正确结论的序号是 a b c d 解析 由抛物线的开口向下 可知a 0 由对称轴在y轴的右侧可知a b异号 即b 0 由抛物线与y轴交于正半轴 可知c 0 所以abc 0 又抛物线与x轴有两个交点 所以 b2 4ac 0 因对称轴小于x 1 可得b 2a0 故正确答案为a a 例4在同一直角坐标系中 一次函数y ax b和二次函数y ax2 bx的图象可能为 解析 由y ax2 bx可知 抛物线经过原点 故可排除b c选项 又y ax b经过一三象限时 a 0 此时抛物线y ax2 bx的开口向上 故选a a 方法归纳 此类问题通常从比较简单的图象 直线或双曲线 出发 获得与抛物线有关的字母的取值情况 然后由字母的取值情况来判断抛物线的大致位置 如果一致则有可能共存于统一坐标系中 如不一致 则说明不可能共存于统一坐标系中 6 函数与 k 0 在同一坐标系上的图象正确的是 解析 由y k x k 可得y kx k2 因k2 0 即一次函数y k x k 交于y轴的负半轴 只有答案c符合要求 故选c c 例5你能求出图中抛物线的解析式吗 解析图象中提供了我们解题的很多信息 如可知道抛物线与x轴的两个交点坐标是 1 0 和 3 0 还可以知道对称轴是直线x 2及顶点坐标是 1 4 你有几种方法可以求这条抛物线的解析式 你最喜欢哪一种 方法一 设抛物线的解析式为y a x h 2 k 由图象可知抛物线的对称轴为直线x 1 与x轴相交于点 1 0 3 0 顶点坐标为 1 4 有y a x 1 2 4 代入 1 0 a 1 1 2 4 0 a 1 抛物线的解析式为y x 1 2 4 解 方法二 设抛物线的解析式为y a x x1 x x2 由图象可知抛物线与x轴相交于点 1 0 3 0 顶点坐标为 1 4 有y a x 1 x 3 代入 1 4 4 a 1 1 1 3 a 1 抛物线的解析式为y x 1 x 3 方法归纳 知道顶点坐标 通常设顶点式y a x h 2 k 知道抛物线与x轴的两个交点坐标 通常设交点式y a x x1 x x2 知道抛物线上的三点坐标 可选用一般式y ax2 bx c 三种情况都可以时选用最熟悉的方法 7 已知二次函数当x 1时 有最大值 6 且其图象过点 2 8 则二次函数的解析式是 y 2 x 1 2 6 解 设抛物线的解析式为y a x x1 x x2 由图象可知抛物线与x轴相交于点 6 0 2 0 与y轴的交点为 0 3 有y a x 1 x 3 代入 0 3 3 a 0 6 0 2 a 0 25 抛物线的解析式为y 0 25 x 6 x 2 例6结合二次函数y ax2 bx c图象 解答下列问题 写出方程ax2 bx c 0的根 写出不等式ax2 bx c 0的解集 写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 若方程ax2 bx c k有两个不相等的实数根 求k的取值范围 解析 本题结合图象从中发现信息进行解题 解 1 由图象可知 函数y ax2 bx c的图象与x轴相交于 1 0 3 0 两点 方程的根为x1 1 x2 3 2 由图象可知当 1 x 3时 函数的图象位于x轴的上方 所以不等式的解集为 1 x 3 3 由图象可知 在x轴的右侧 y随着x的增大而减小 y随着x的增大而减小的x的取值范围为x 1 4 要使得有ax2 bx c k两个不相等的实数根 即直线x k与二次函数图象有两个交点 k的取值范围为k 5 方法归纳 根据二次函数的图象求一元二次方程的近似解或不等式的解集 要注意观察图象与x轴的交点 一元二次方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标的值 不等式的解集就是当函数值大于0或小于0时自变量的取值范围 9 已知抛物线y ax2 bx c的图象如图所示 则关于x的方程ax2 bx c 8 0的根的情况是 a 有两个不相等的正实数根b 有两个异号实数根c 有两个相等的实数根d 没有实数根 c 解析 y ax2 bx c 8相当于将y ax2 bx c向下平移8个单位 此时y ax2 bx c 8与x轴只有一个交点 即ax2 bx c 8 0有两个相等的实数根 故选c x1 1 x2 3 1 x 3 k 4 10 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 根据图象解答下列问题 1 方程ax2 bx c 0的两个根是 2 不等式ax2 bx c 0的解集是 3 若方程ax2 bx c k没有实数根 则k的取值范围是 例7某商场试销一种成本为每件60元的服装 规定试销期间销售单价不低于成本单价 且获利不得高于45 经试销发现 销售量y 件 与销售单价x 元 符合一次函数y kx b 且x 65时 y 55 x 75时 y 45 1 求一次函数的表达式 2 若该商场获得利润为w元 试写出利润w与销售单价x之间的关系式 销售单价定为多少元时 商场可获得最大利润 最大利润是多少元 3 若该商场获得利润不低于500元 试确定销售单价x的范围 解析 1 将x 65 y 55和x 75 y 45代入y kx b中解方程组即可 2 根据利润等于每件利润乘以销售量得到利润w与销售单价x之间的关系式 综合顶点式和自变量的取值范围可求得最大利润 3 令利润w 500 将二次函数转化为一元二次不等式 然后求解集并作出判断 2 w x 60 x 120 x2 180 x 7200 x 90 2 900 抛物线的开口向下 当x 90时 w随x的增大而增大 而60 x 60 1 45 即60 x 87 当x 87时 w有最大值 此时w 87 90 2 900 891 3 由w 500 得500 x2 180 x 7200 解得70 x 110 60 x 87 故销售单价的范围为70 x 87 方法归纳 求解与二次函数有关的最优化问题时 关键是要通过分析题意 运用二次函数及其性质建立数学模型 然后再利用配方法或公式法求得最大值 一定要注意 顶点横坐标在自变量的取值范围内时 二次函数在顶点处取得最值 定点横坐标不在自变量取值范围时 要根据题目条件 具体分析 才能求出符合题意的最值 11 一家电脑公司推出一款新型电脑 投放市场以来3个月的利润情况如图所示 该图可以近似看作为抛物线的一部分 请结合图象 解答以下问题 1 求该抛物线对应的二次函数解析式 2 该公司在经营此款电脑过程中 第几月的利润最大 最大利润是多少 3 若照此经营下去 请你结合所学的知识 对公司在此款电脑的经营状况 是否亏损 何时亏损 作预测分析 2 y x2 14x x 7 2 49 即当x 7时 利润最大 y 49 万元 3 没有利润 即y x2 14x 0 解得x1 0 舍去 或x2 14 而这时利润为滑坡状态 所以第15个月 公司亏损 例8如图 梯形abcd中 ab dc abc 90 a 45 ab 30 bc x 其中15 x 30 作de ab于点e 将 ade沿直线de折叠 点a落在f处 df交bc于点g 1 用含有x的代数式表示bf的长 2 设四边形debg的面积为s 求s与x的函数关系式 3 当x为何值时 s有最大值 并求出这个最大值 解析 1 由 abc 90 a 45 可知ae de x 根据轴对称的性质得到ef ae x 所以可求bf的长 2 利用梯形的面积公式就可以确定s与x的函数关系式 3 将二次函数化为顶点式 然后确定最值 解 1 由题意 得ef ae de bc x ab 30 bf 2x 30 2 f a 45 cbf abc 90 bgf f 45 bg bf 2x 30 所以s def s gbf de2 bf2 x2 2x 30 2 x2 60 x 450 3 s x2 60 x 450 x 20 2 150 a 0 15 20 30 当x 20时 s有最大值 最大值为150 方法归纳 与面积有关的二次函数问题 一般以图形中某一动线段的长为未知数 利用三角形 四边形的有关性质以及图形之间的相互关系 可以构建图形面积和相关线段长或线段长与线段长之间的二次函数关系 处理这类问题 关键是根据题意和几何图形的特点求出其面积的二次函数表达式 再通过配方成顶点式或利用最值公式求解 解 1 由题意 得羊圈的长为25m 宽为 40 25 2 7 5 m 故羊圈的面积为25 7 5 187 5 m2 2 设羊圈与墙垂直的一边为xm 则与墙相对的一边长为 40 2x m 羊圈的面积s x 40 2x 2x2 40 x 2 x 10 2 200 0 x 20 因为0 10 20 所以当x 10时 s有最大值 此时s 200 故张大伯的设计不合理 羊圈与墙垂直的两边长为10m 而与墙相对的一边长为 40 2x m 20m 例9如图 四边形abcd为菱形 点d的坐标是 以点c为定点的抛物线y ax2 bx c恰好经过x轴上a b两点 1 求a b c三点的坐标 2 求经过a b c三点的抛物线解析式 解析 利用菱形的四条边相等及对边平行结合直角坐标系可求出a b c三点的坐标 根据三点的坐标可以通过设一般式y ax2 bx c来求抛物线的解析式 因为点c是抛物线的顶点 所以也可以通过设顶点式y a x h 2 k来求抛物线的解析式 解 1 过点c作cm x轴 垂足为m m 由抛物线的对称性可知 am bm 在rt aod和rt bmc中 od mc ad bc rt aod rt bmc oa mb ma 设菱形的边长为2m 在rt aod中 有解得m 1 dc 2 oa 1 ob 3 a b c三点的坐标分别为 1 0 3 0 2 设抛物线的解析式为代入a点坐标 1 0 得 抛物线的解析式为 13 如图1 抛物线y ax2 bx c与x轴交于点a 1 0 b 3 0 两点 与y轴交于点c 0 3 1 求该抛物线的解析式 2 在该抛物线的对称轴上是否存在点q 使得 qac的周长最小 若存在 求出点q的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 设抛物线的解析式为y a x x1 x x2 由图象可知抛物线与x轴相交于点 1 0 3 0 与y轴交于点 0 3 有y a x 1 x 3 代入 0 3 3 a 0 1 0 3 a