【全程复习方略】高考数学 6.7数学归纳法课时提升作业 理 北师大版.doc

【全程复习方略】2014版高考数学 6.7数学归纳法课时提升作业 理 北师大版一、选择题1.在用数学归纳法证明凸n边形内角和定理时，第一步应验证( )(a)n1 时成立(b)n2 时成立(c)n3 时成立(d)n4 时成立2.已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k(k2且为偶数)时命题为真，则还需证明( )(a)nk1 时命题成立(b)nk2 时命题成立(c)n2k2 时命题成立(d)n2(k2)时命题成立3.某个命题与正整数n有关，若nk(kn+)时命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，那么可以推得( )(a)n6时该命题不成立(b)n6时该命题成立(c)n4时该命题不成立(d)n4时该命题成立4.用数学归纳法证明不等式(nn+)成立，其初始值至少应取( )(a)7(b)8(c)9(d)105.(2013宝鸡模拟)用数学归纳法证明：时，由k到k+1左边需增添的项是( )(a)(b)(c)(d)6.用数学归纳法证明(nn0,n0n*)，则n的最小值等于( )(a)1(b)2(c)3(d)47.(2013南昌模拟)对于不等式n+1(nn+)，某同学的证明过程如下：(1)当n=1时，1+1，不等式成立.(2)假设当n=k(k1,kn+)时，不等式成立，即时，f(2k+1)-f(2k)等于_.三、解答题13.(2013佛山模拟) 用数学归纳法证明：14.(2013合肥模拟)设f(x)=,x1=1,xn=f(xn-1)(n2,nn+).(1)求x2,x3,x4的值.(2)归纳xn的通项公式，并用数学归纳法证明.15.(能力挑战题)设f(n)=1+.是否存在关于正整数n的函数g(n)，使等式f(1)+f(2)+f(n-1)=g(n)f(n)-1对于n2的一切正整数都成立？证明你的结论.答案解析1.【解析】选c.凸多边形至少有三边，所以应验证n3 时成立.2.【解析】选b.因n 是正偶数，故只需证命题对所有正偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选b.3.【解析】选c.由nk(kn+)成立，可推得当nk1时该命题也成立因而若n4成立，必有n5成立现知n5不成立，所以n4一定不成立.4.【思路点拨】用等比数列的前n项和求出不等式的左边，解不等式即可得到初始值.【解析】选b.，整理得2n128，解得n7，所以初始值至少应取8.5.【解析】选d.左边需添加的式子为6.【解析】选c.当n=1时，左边=1，右边=11=1，不等式不成立；当n=2时，左边= =3，右边=，不等式不成立，当n=3时，左边=7，右边=9，不等式成立，当n=4时，左边=15，右边=16,不等式成立，所以n的最小值等于3.7.【解析】选d.从n=k到n=k+1的推理时没有运用归纳假设，因此证明不正确.8.【思路点拨】先求出当n=1,2,3时f(n)的值，由此猜想m的最大值，再用数学归纳法证明结论成立.【解析】选b.由于f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，即m的最大值为36.当n=1时，可知猜想成立.假设当n=k(k1,kn+)时，猜想成立，即f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除；当n=k+1时，f(k+1)=(2k+9)3k+1+9=(2k+7)3k+9+36(k+5)3k-2，因此f(k+1)也能被36整除，故所求m的最大值为36.9【解析】由条件知n的第一个值为2，所以第一步应验证的不等式是2.答案：210.【解析】当n=k时，左边为(k+1)(k+2)(k+k),而当n=k+1时，左边为(k+2)(k+3)(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)，左边增乘的式子为=2(2k+1).答案：2(2k+1)11.【解析】c12(1a1)2(1)，c22(1a1)(1a2)2(1)(1)，c32(1a1)(1a2)(1a3)2(1)(1)(1)，故由归纳推理得cn.答案：12【解析】f(2k+1)-f(2k)=答案：13.【证明】当n1时，左边，右边=左边右边，等式成立；假设nk(k1,kn+)时，等式成立，即当nk1时，左边所以当nk1时，等式成立由可得对任意nn+，等式成立14.【解析】(1)x2=f(x1)=,x3=,x4=f(x3)=.(2)归纳xn=.证明:当n=1时，x1=与已知相符,假设当n=k(k1，kn+)时，xk=,当n=k+1时，xk+1=.由可知当nn+时成立，xn=.15.【解析】当n=2时，得g(2)=2，当n=3时，得g(3)=3，猜想g(n)=n(n2,nn+).用数学归纳法证明猜想成立.(1)当n=2时，左边=f(1)=1，右边=2f(2)-1=1，左边=右边，所以等式成立.(2)假设当n=k(k2,kn+)时等式成立，即f(1)+f(2)+f(k-1)=g(k)f(k)-1，那么当n=k+1时，f(1)+f(2)+f(k-1)+f(k)=kf(k)-1+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)f(k+1)-k=(k+1)f(k+1)-1,也就是说当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可知，等式对n2的一切正整数都成立.故存在关于正整数n的函数g(n)=n，使等式对n2的一切正整数都成立.【变式备选】已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，an1f(an1)试比较与1的大小，并说明理由【解析】1.理由如下：f(x)x21，an1f(an1)，an1(an1)21.令g(x)=(x+1)2-1,则函数g(x)x22x在区间1，)上是增加的，于是由a11，得a2(a11)21221，进而得a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当n1时，a12111，结论成立；假设nk(k1且kn+)时结论成立，即ak2k1，则当nk1时，由g(x)(x1)21在区间1，)上是增加的知，ak1(ak1)2122k12k11，即nk1时，结论也成立由知，对任意nn+，都有an2n1，即1an2n，=1()n1.【方法技巧】“归纳猜想证明”类问题