数学变换方法在地震勘探中的应用.pdf

数学变换方法在地震勘探中的应用 刘 洋 王 典 刘 财 吉林大学 地球探测科学与技术学院 吉林 长春 130026 摘要 数学变换是地震勘探资料处理方法中的重要手段之一 从数学模型的求解到地震数据压缩的很 多方面都离不开数学变换 着重概述了现今地震勘探方法中几种常用数学变换的基本原理及方法 包括傅 立叶变换 小波变换 K L变换及Radon变换等 并介绍了各种方法在地震勘探领域的应用及发展趋势 关键词 数学变换 地震勘探 数学模型 地震数据压缩 中图分类号 P631 4 文献标识码 A 作者简介 刘洋 19792 男 吉林四平人 博士研究生 主要从事地震信号处理及参数反演研究 E mail liu2yang jlu edu cn The Application of Mathematical Transform in Seism ic Exploration L I U Yang WAN G D ian L I U Cai College of GeoExp loration S cience and T echnology J ilin U niversity Changchun130026 China Abstract M athematical transformis one of the important means in seism ic exploration data processing methods there must be mathematical transform s from solving mathematical models to compressingseism ic data The paper mainly summarizes the fundamental principleand method of several typicalmathematical transform s for example fourier transform wavelet transform K L transform and Radon transform etc Finally we introduce theapplication and developing trendof all the methods in the seism ic exploration domain Keywords mathematicaltransform seism icexploration mathematical model seism icdata compression 数学变换是当代科学发展中各个领域不可缺少 的方法 它为问题的解决提出了一个崭新的方面 在 地震勘探领域 数学变换方法也同样扮演着重要的 角色 从地震勘探数学模型的求解 偏移方法的改 进 信号的分离到地震数据滤波及提高地震数据的 信噪比到地震数据压缩等方面都有着广泛的应用 数学变换的应用潜力不断引起地球物理学家的关 注 新的数学变换不断被应用于地震勘探领域 它有 着广阔的理论研究和应用前景 本文以现今地震勘 探领域常用的数学变换为主 综述了相关的理论以 及主要的应用领域 作为进一步研究的预备和基础 1 傅立叶变换 111 基本形式及意义 傅立叶变换是在傅立叶级数的基础上发展起来 的 傅立叶级数则是Fourier在1807年求解热传导 方程时提出的 经过近200年的发展 傅立叶变换已 经在各学科领域得到了广泛应用 1 其正反变换为 x t X f e i2 f tdf X f X t e i2 f tdt 其物理意义是 在整个时间轴上的波x t 是由频率 为f的谐波X f e i2 f tdf 通过积分叠加得到的 其中 频率f从 连续变化到 而振幅与初相位由 X f df确定 由于对不同频率f 微分df是一样 的 所以只有X f 才真正反映出不同频率谐波的振 幅和初相位的变化 X f 为x t 的连续频谱 简称 为频谱 时间域的信号经过傅立叶变换到频率域可 以得到分解后各频率谐波成分的振幅与初相位 再 对频率域各成分进行相应的改造就可以修改原始信 号的性质 地震勘探中的频率滤波技术就是根据傅 立叶变换定义进行的处理手段之一 但是其主要缺 点是 一个函数要想做傅立叶变换除了满足狄利克 第35卷 专辑吉 林 大 学 学 报 地 球 科 学 版 Vol135 Sup1 2005年7月Journal of Jilin U niversity Earth Science Edition July 2005 雷条件以外 还要在 内满足绝对可积的 条件 其次函数还必须在整个数轴上有定义 这对于 许多物理可实现的函数来说是不满足要求的 112 傅立叶变换的应用 傅立叶变换有许多形式 如连续信号的傅立叶 变换 离散信号的傅立叶变换 无限长度信号的傅立 叶变换 有限长度信号的傅立叶变换 它们只是在形 式上有所差别 其实质是一致的 地震勘探中经常使 用的是有限长度的离散傅立叶变换 在实际计算时 一般采用快速傅立叶变换 FFT 技术 以大幅度提 高计算效率 频域滤波是一种以傅立叶变换为基础的过滤信 号的方法 根据傅立叶变换理论 时间域信号可以用 它的频谱来表示 二者是完全等价的 如果频谱上某 一个范围内的成分对应于时间域记录中的某种非期 望成分 那么在频率域中将这个范围之内的能量 拿 掉 然后再将其结果反变换回到时间域中 生成一 个新的时间域信号 这个运算过程就等效于在时间 域中消除掉了这个非期望的成分 这就是频率滤波 的数学基础 如图 1 a 为原始地震记录 b 为应用 频域带通滤波去除面波后的结果 以上介绍的是对一维信号的滤波方法 它主要 图1 带通滤波器去除面波对比图 Fig11 Comparison map of band pass f ilterremoving surface wave 利用的是信号和噪声的频谱差异来对记录中的噪声 进行压制 因此它们是一维信号的频率滤波方法 在 地震处理中主要用于单道运算 在地震处理中还广 泛应用二维滤波技术 主要应用于地震道集上相干 噪声的压制 二维滤波是一维滤波的推广 它是以二 维傅立叶变换为基础的 对于一个二维信号 例如地 震中的一个道集 地震波的振幅是反射时间t和某 个空间坐标x 例如炮集记录的炮检距 的函数 时 间域中的自变量t和x在二维变换域中分别对应于 各自的滤波变量 t由于是时间变量 对应的频率f 称作时间频率 通常简称频率 x由于是空间变量 对应的频率称作空间频率 一般用符号k表示 空间 频率有一个专门的名称 即常说的波数 因此二维滤 波又常称作f k滤波 通常一个时 空域中的相干 同相轴对应于f k域中的一个面积 与一维滤波的 原理一样 不难理解 对这个面积上的频率成分进行 压制 就等效于压制了t x域中的噪声 随着数学理论的发展 更多的傅立叶方法不断 应用到地震勘探中 如多重傅立叶变换及分数傅立 叶变换 但不论其如何发展 都是以最简单的傅立叶 变换为基础 只要掌握傅立叶变换的基础理论 便可 以进一步应用更多形式的傅立叶变换方法 2 拉普拉斯变换 一个函数当其除了满足狄氏条件外 还要在 内满足绝对可积的条件 其次函数还必 须在整个数轴上有定义 这对于许多物理可实现的 函数来说是不满足要求的 由此可见 傅立叶变换应 用范围受到相当大的限制 对于任意一个函数 t 能否经过适当改造使 其进行傅氏变换时克服上述缺点呢 当用单位函数 u t 乘以 t 可以使积分区间由 换成 0 用指数衰减函数e t乘以 t 就可能使其 变得绝对可积 结果发现 只要 选得适当 一般来 说 这个函数的傅立叶变换总是存在的 因此 对函 数 t 进行先乘以u t e t 0 再取傅立叶变换 2 吉 林 大 学 学 报 地 球 科 学 版 第35卷 运算 就产生了拉普拉斯 L aplace 变换 2 3 由于拉普拉斯变换没有如频谱一样的明确的物 理意义 因此它在地震勘探中的应用并没有傅立叶 变化那么广泛 但是它有现成的变换表可查 且对于 微分方程的求解比较简单 所以这种变换方法常用 在地震勘探问题的数学模型求解中 例如应用拉普 拉斯变换求解地震反射系数方程 3 小波变换 在地震资料处理中 傅里叶变换分析了信号能 量在各个频率成分中的分布情况 但是其频谱是在 整个时间 或空间 轴上的积分 因而信号中的突变 信息被丢掉了 显而易见 由傅里叶变换难以确定突 变点在时间 或空间 域内的位置 为了能在时域 或空域 和频域内同时分析信 号 Gabor引入了复型正弦函数作为基函数 将信号 f t L 2 R 的加窗傅里叶变换写为 Gf t f t g t u e i tdt 其中 g t u 为窗函数 它可在整个时窗 或空间 轴上平移以覆盖全部信号 u为位置参数 加窗傅氏变换的主要优点在于 通过窗中心的 平移 实现对信号的局部化分析 但由于窗函数g t u 具有唯一性 因而窗口的大小和形状亦是唯一 的 即在某一相平面的任何位置上 加窗傅氏变换的 分辨率都相同 因此 使人们无法根据信号的变化情 况调整分辨率 另外 由于测不准原则的限制 分辨 率单元的面积不可能无限小 因此 加窗傅氏变换的 分辨率无法在空间域或时间域达到最佳 我们再回到窗函数g t u 本身来讨论 当窗很 大时 分辨率高 而当窗很小时 分辨率降低 且有严 重的吉卜斯现象 由上述可知 要提高分辨率 降低截断效应 就 要有足够的窗口宽度来保证 但在实际问题中往往 不可能满足 这样 就提出了一个问题 有没有办法 使窗口宽度足够小 而又使分辨率足够高呢 为此 提出小波变换 4 9 311 基本原理 设 t 是小波基函数 且 t L 2 R L 2 R 表示可积函数空间 t 满足如下条件 C 2 d 0 0 f 0 14 61112 希尔伯特变换 当信号为连续时 根据式 14 有 Q f H f X f 所以h t t 1 t q t h t x t x t 1 t x t 15 令x 1 t x t 则称x为x t 的希尔伯特变 换 则希尔伯特变换因子为h t 1 t 612 资料处理的效果及分析 在实际的资料中 选取了不同类型的测井曲线 进行了处理 对横侧向电阻率曲线的处理效果比较 理想 处理后的分辨率有明显的提高 图 6 a 是TA 201井横侧向电阻率曲线1150 1200m井段的处理结果 曲线 为原始横侧向电阻 率曲线 曲线 为瞬时振幅曲线 曲线 为瞬时频率 曲线 曲线 为瞬时相位曲线 图 6 b 是TA 201井横侧向电阻率曲线1600 1650 m井段数据的处理结果 图6 TA201井横侧向电阻率曲线处理结果 Fig16 The processed result of resistivityin TA201 well 通过实际资料的处理与分析 可以看出 瞬时振 幅曲线和瞬时频率曲线对岩性变化非常敏感 尤其 是瞬时频率信息 它对岩性变化的敏感明显高于其 它曲线 这充分说明了砂泥岩薄互层地层对频率信 息有较强的改造作用 而瞬时相位曲线的变化不大 造成这种现象的原因可能是由于测井曲线是在短距 离进行观测的 同时说明了应用希尔伯特变换处理 测井曲线与地震资料应用的不同所在 实际上 地层 的情况是十分复杂的 影响曲线处理结果的因素也 是多方面的 上述的结果只是应用希尔伯特变换处 理测井曲线的一种尝试 有许多现象还不能解释清 楚 例如其它类型曲线的应用效果不如横侧向测井 资料 这有待于今后的进一步研究与探索 7 Hartley变换 Hartley变换早在1942年由Hartley提出 Bracewell于1983年讨论了其离散算法 并于1986 年给出了快速Hartley变换的实现方法 证明了它的 运算量约为快速Fourier的一半 Hartley变换在信 号处理和图像处理中已得到广泛应用 在地球物理 中Hartley变换也有所应用 其中主要用于波场正演 模拟 事实上 Fourier变换和Hartley变换有着本质 的联系 从这种联系出发 Hartley变换完全可用于 基于Fourier变换的叠前偏移方法中 与基于快速 Fourier变换的叠前偏移相比 基于快速Hartley变 换的叠前偏移完全在实数域中运算 具有节省计算 7专 辑 刘 洋 王 典 刘 财 数学变换方法在地震勘探中的应用 机内存和简化复运算的特点 711 Hartley变换的定义 设核 cas t cos t sin t 16 则 函数f t 的Hartley变换为 H f t cas t d t 17 反变换为 f t H cas t d 18 离散Hartley变换对为 H N 1 t 0 f t cas t N 19 f t N 1 0 H cas t N 20 其中N为离散点数 是2的整数幂 Hartley变换与傅氏变换的关系为 F e io w 21 H w Re F I m F 22 712 Hartley变换的应用 选取某地区实际炮集记录进行计算 图7 所用 的数据集共有482个CM P道集 对应的炮集中有很 多缺炮 每炮196道接收 最小偏移距 4875 m 炮 间距50m 道间距50m 记录采样4m s 记录中有相 当的噪音 低频面波也很严重 在计算中 裂步傅立 图7 实际资料的单炮记录及叠前深度偏移结果 Fig17 Field data and the result after prestack depth m igration 叶法 SSF 所用的内存为64 MB 裂步Hartley法 SSH 所用的内存为42 MB SSH法与SSF法的 CPU时间值比为1 118 8 展望 在未来的相当长一段时间里 地震勘探将仍然 是地球物理勘探领域的主要方法 随着新的地震勘 探方法的应用 相应的数学变换研究将成为人们努 力的主要内容和目标之一 原有数学变换将得到进 一步的改善 而新方法的应用也将成为必然 总之 为了更好地完成地震勘探任务 我们仍需进行不懈 的努力 以取得实质性的成果 参考文献 1 邹才能 张颖 等 油气勘探开发实用地震新技术 M 北京 石油工业出版社 2002 2 南京工学院数学研究组 工程数学 积分变换 M 北京 高等教育出版社 1978 3 徐凤君 地震勘探中的一个数学模型及