高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积（一）课件 苏教版必修4.ppt

第二章 平面向量 2 4向量的数量积 一 学习目标 1 了解平面向量数量积的物理背景 即物体在力f的作用下产生位移s所做的功 2 掌握平面向量数量积的定义和运算律 理解其几何意义 3 会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 1 如图 一个物体在力f的作用下产生位移s 且力f与位移s的夹角为 那么力f所做的功w是多少 答w f s cos 2 向量的数量积与数乘向量的区别是什么 答向量的数量积a b是一个实数 不考虑方向 数乘向量 a是一个向量 既有大小 又有方向 预习导引 同向 反向 2 向量的数量积 内积 1 定义 已知两个非零向量a和b 它们的夹角是 我们把数量 a b cos 叫做向量a和b的数量积 或内积 记作a b 即a b a b cos 2 规定 零向量与任一向量的数量积为 0 3 数量积的几何意义a b的几何意义是数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的乘积 要点一平面向量数量积的基本概念例1下列判断 若a2 b2 0 则a b 0 已知a b c是三个非零向量 若a b 0 则 a c b c a b共线 a b a b a b 0 则a与b的夹角为锐角 若a b的夹角为 则 b cos 表示向量b在向量a方向上的投影长 其中正确的是 解析对于 由于a2 0 b2 0 所以 若a2 b2 0 则a b 0 故 正确 对于 若a b 0 则a b 又a b c是三个非零向量 所以a c b c 所以 a c b c 正确 a b共线 a b a b 所以 错 对于 应有 a b a b 所以 错 对于 应该是a a a a 2a 所以 错 对于 a2 b2 2 a b 2a b 故 正确 对于 当a与b的夹角为0 时 也有a b 0 因此 错 对于 b cos 表示向量b在向量a方向上的投影的数量 而非投影长 故 错 综上可知 正确 答案 规律方法对于这类概念 性质 运算律的问题的解答 关键是要对相关知识深刻理解 特别是那些易与实数运算相混淆的运算律 如消去律 乘法结合律等 当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等 跟踪演练1已知a b c是三个非零向量 则下列问题中真命题的个数为 a b a b a b a b反向 a b a b a b a b a b a b a c b c 解析 a b a b cos 由a b a b 及a b为非零向量可得cos 1 0或 a b 且以上各步均可逆 故命题 是真命题 若a b反向 则a b的夹角为 a b a b cos a b 且以上各步均可逆 故命题 是真命题 当a b时 将向量a b的起点确定在同一点 则以向量a b为邻边作平行四边形 则该平行四边形必为矩形 于是它的两条对角线长相等 即有 a b a b 反过来 若 a b a b 则以a b为邻边的四边形为矩形 a b 故命题 是真命题 当 a b 但a与c的夹角和b与c的夹角不等时 就有 a c b c 反过来由 a c b c 也推不出 a b 故命题 是假命题 综上 在四个命题中 前3个是真命题 第4个是假命题 答案3 要点二平面向量数量积的基本运算例2已知 a 3 b 6 当 a b a b a与b的夹角是60 时 分别求a b 解 当a b时 若a与b同向 则它们的夹角 0 a b a b cos0 3 6 1 18 若a与b反向 则它们的夹角 180 a b a b cos180 3 6 1 18 当a b时 它们的夹角 90 a b 0 当a与b的夹角是60 时 规律方法 1 非零向量共线的充要条件是a b a b 因此 当a b时 有0 或180 两种可能 2 非零向量a b a b 0 3 两个向量的数量积a b a b cos 与它们的夹角有关 夹角范围是 0 跟踪演练2若向量a b c满足a b c 0 且 a 3 b 1 c 4 求a b b c c a 解方法一由已知得 c a b c a b 可知向量a与b同向 而向量c与它们反向 a b b c c a 3cos0 4cos180 12cos180 3 4 12 13 要点三与向量的模有关的问题例3已知 a 3 b 4 求 a b 的取值范围 解方法一 a b a b a b 1 a b 7 即 a b 的取值范围是 1 7 方法二 a b 2 a2 b2 2a b a2 b2 2 a b cos 25 24cos 为两向量a b的夹角 0 a b 2 1 49 a b 1 7 规律方法运用向量不等式 a b a b a b 注意等号成立的条件 方法二中将模平方 这是处理向量模的问题的基本方法 也是常用的方法 并且平方后往往涉及数量积的运算 跟踪演练3已知向量a b满足 a 2 b 3 a b 4 求 a b 解 a b 4 a b 2 42 a2 2a b b2 16 a 2 b 3 a2 a 2 4 b2 b 2 9 代入 式得4 2a b 9 16 得2a b 3 又 a b 2 a2 2a b b2 4 3 9 10 要点四向量的夹角与垂直问题例4已知单位向量e1 e2的夹角为60 求向量a e1 e2 b e2 2e1的夹角 解 e1 e2为单位向量且夹角为60 又 0 180 120 a与b的夹角为120 跟踪演练4已知a b都是非零向量 且a 3b与7a 5b垂直 a 4b与7a 2b垂直 求a与b的夹角 解由已知 a 3b 7a 5b 0 即7a2 16a b 15b2 0 a 4b 7a 2b 0 即7a2 30a b 8b2 0 代入 中任一式得a2 b2 0 180 60 1 2 3 4 1 已知 a 8 b 4 a b 120 则向量b在a方向上的投影为 解析b在a方向上的投影为 b cos a b 4 cos120 2 2 2 若向量a b满足 a b 1 a与b的夹角为120 则a a a b 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 答案 25 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 课堂小结 1 两向量a与b的数量积是一个实数 不是一个向