高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的坐标运算(一)学案 苏教版必修4.doc

23.2平面向量的坐标运算(一)学习目标1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来知识链接1点的坐标与向量的坐标有何区别？答(1)向量a(x，y)中间用等号连接，而点的坐标a(x，y)中间没有等号(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)2相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？答由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同3求向量的坐标需要知道哪些条件？答求向量的坐标，需要知道点a和点b的坐标预习导引1平面向量的坐标表示(1)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数x，y使得axiyj，则有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a(x，y)(2)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若a(x，y)，则(x，y)，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)2平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差(3)若a(x，y)，r，则a(x，y)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.要点一平面向量的坐标表示例1已知a(2,1)，b(3,4)，求ab，ab,3a4b的坐标解ab(2,1)(3,4)(1,5)，ab(2,1)(3,4)(5，3)，3a4b3(2,1)4(3,4)(6,3)(12,16)(6,19)规律方法(1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算跟踪演练1已知a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab.解(1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7)(2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1)(3)ab(1,2)(2,1).例2已知o是坐标原点，点a在第一象限，|4，xoa60，求向量的坐标解设点a(x，y)，则x|cos 604cos 602，y|sin 604sin 606，即a(2，6)，(2，6)规律方法求点和向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标跟踪演练2在直角坐标系xoy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，|a|2，|b|3，|c|4，分别求它们的坐标解设a(a1，a2)，b(b1，b2)，c(c1，c2)，则a1|a|cos 452，a2|a|sin 452；b1|b|cos 1203，b2|b|sin 1203；c1|c|cos(30)42，c2|c|sin(30)42.因此a(，)，b，c(2，2)要点二平面向量的坐标运算例3已知a(1,2)，b(1，1)，c(3，2)，且有cpaqb.试求实数p，q的值解a(1,2)，b(1，1)，c(3，2)，paqbp(1,2)q(1，1)(pq,2pq)cpaqb，解得故所求实数p，q的值分别为1,4. 规律方法(1)根据平面向量基本定理，任意向量都可以用平面内不共线的两个向量表示，同样，任意向量的坐标都可用所选基向量的坐标表示出来(2)相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程(组)跟踪演练3已知a(2，4)，b(1,3)，c(3,4)，若23，求点m的坐标解由a(2，4)，b(1,3)，c(3,4)，得(23，44)(1，8)，(13,34)(4，1)，232(1，8)3(4，1)(2，16)(12，3)(14，19)设点m的坐标为(x，y)，则(x3，y4)由向量相等坐标相同可得解得点m的坐标为(11，15)要点三平面向量坐标的应用例4已知点o(0,0)，a(1,2)，b(4,5)，且t，试问：(1)t为何值时，p在x轴上？p在y轴上？p在第二象限？(2)四边形oabp可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的t值；若不可能，请说明理由解由题可知(1,2)，(3,3)，(1,2)t(3,3)(13t,23t)(1)若p在x轴上，则有23t0，t；若p在y轴上，则有13t0，t；若p在第二象限，则有解得t.(2)(13t，23t)(4,5)(33t,33t)若四边形oabp是平行四边形，则有，即有方程组显然无解，因此，四边形oabp不可能是平行四边形规律方法已知含参的向量等式，依据某点位置探求参数的问题，本质是运用坐标运算，用已知点的坐标和参数表示出该点坐标，利用该点的位置确定横坐标、纵坐标满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)跟踪演练4已知m(1,5)，n(5,17)，点p在直线mn上，有|3|，求点p的坐标解设点p的坐标为(x，y)，(x1，y5)，(5x,17y)(1)当3时有(x1，y5)3(5x,17y)，由此解得x4，y14.所以点p的坐标为(4,14)(2)当3时，有(x1，y5)3(5x,17y)，由此解得x7，y23.所以点p的坐标为(7,23)由(1)(2)可知点p的坐标为(4,14)或(7,23). 1已知向量a(1,2)，b(3,1)，则ba_.答案(2，1)解析ba(3,1)(1,2)(2，1)2已知向量(3，2)，(5，1)，则向量的坐标是_答案解析(8,1)，.3已知四边形abcd的三个顶点a(0,2)，b(1，2)，c(3,1)，且2，则顶点d的坐标为_答案解析设d点坐标为(x，y)，则(4,3)，(x，y2)，由2，得d(2，)4已知向量a(2，3)，b(1,2)，p(9,4)，若pmanb，则mn_.答案7解析由题意可得(9,4)m(2，3)n(1,2)(2mn，3m2n)，由解得故mn7.1.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系关系图如图所示：2向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个向量终点的坐标相同3向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误一、基础达标1已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab_.答案(1,2)2已知向量a(2,4)，b(1,1)，则2ab_.答案(5,7)解析2ab(4,8)(1,1)(5,7)3已知m(3，2)，n(5，1)，且，则点p的坐标为_答案解析设p(x，y)，由(x3，y2)(8,1)，x1，y.4已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(3,4)，且c1a2b，则1，2的值分别为1_，2_.答案12解析由解得5已知平面上三点a(2，4)，b(0,6)，c(8,10)，则的坐标是_答案(3,6)6已知a(1，2)，b(2,3)，c(2,0)，d(x，y)，且2，则xy_.答案解析(2,0)(1，2)(1,2)，(x，y)(2,3)(x2，y3)，又2，即(2x4,2y6)(1,2)，解得xy.7已知abc中，a(7,8)，b(3,5)，c(4,3)，m、n是ab、ac的中点，d是bc的中点，mn与ad交于点f，求.解因为a(7,8)，b(3,5)，c(4,3)所以(4，3)，(3，5)又因为d是bc的中点，有()(3.5，4)，而m、n分别为ab、ac的中点，所以f为ad的中点，故有(1.75,2)二、能力提升8在平行四边形abcd中，ac为一条对角线若(2,4)，(1,3)，则_.答案(3，5)解析，(1，1)(3，5)9向量(7，5)，将按向量a(3,6)平移后得向量，则的坐标形式为_答案(7，5)解析与方向相同且长度相等，故(7，5)10已知点a(1,3)，b(4，1)，则与向量同方向的单位向量为_答案解析(3，4)，所以|5，所以同方向的单位向量是.11向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若cab(，r)，则_.答案4解析以向量a、b的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)，因为cab(，r)，所以解得2且，因此，4.12如图，已知四边形abcd为平行四边形，o为对角线ac，bd的交点，(