广东省广州市实验中学高一数学上学期期中试卷（含解析）.doc

2015-2016学年广东省广州市实验中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设a=x|x10，b=x|log2x0，则ab等于（）ax|0x1bx|x1cx|x0d2三个数a=0.62，b=log20.6，c=20.6之间的大小关系是（）aacbbabccbacdbca3设集合a=x|1x2，b=y|1y4，则下述对应法则f中，不能构成a到b的映射的是（）af：xy=x2bf：xy=3x2cf：xy=x+4df：xy=4x24已知函数f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）=x2+，则f（1）=（）a2b0c1d25函数f（x）=lnx+2x6的零点所在的大致区间是（）a（0，1）b（1，2）c（2，3）d（3，4）6若全集u=0，1，2，3，4且ua=2，4，则集合a的真子集共有（）个a8个b7个c4个d3个7函数的图象的大致形状是（）abcd8下列函数中既是偶函数又是（，0）上是增函数的是（）ay=bcy=x2d9已知是r上的减函数，则a的取值范围是（）a（0，1）bcd10若f（x）是r上的减函数，且f（x）的图象经过点a（0，4）和点b（3，2），则当不等式|f（x+t）1|3的解集为（1，2 ） 时，t的值为（）a1b0c1d2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分11已知，则f（x）=12函数f（x）=ax1+3的图象一定过定点p，则p点的坐标是13若函数y=f（x1）的定义域为（1，2，则函数y=f（log2x）的定义域为14函数y=的值域是15已知函数f（x）=，则f（x）的值域是16设偶函数f（x）=a|x+b|在（0，+）上单调递增，则f（b2）与f（a+1）的大小关系为三、解答题：本大题共6小题，共30分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17化简或求值：（1）（）+（0.008）（2）+log3318已知a=x|ax2a4，b=x|x25x60，若ab=a，求a的取值范围19（1）判断函数f（x）=在x（0，+）上的单调性并证明你的结论？（2）猜想函数在x（，0）（0，+）上的单调性？（只需写出结论，不用证明）（3）利用题（2）的结论，求使不等式在x1，5上恒成立时的实数m的取值范围？20已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）f（y），且f（1）=1，f（27）=9，当0x1时，0f（x）1（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在0，+）上的单调性，并给出证明；（3）若a0且f（a+1），求a的取值范围21已知二次函数f（x）=x216x+q+3：（1）若函数在区间1，1上存在零点，求实数q的取值范围；（2）问：是否存在常数t（t0），当xt，10时，f（x）的值域为区间d，且d的长度为12t22已知函数f（x）=lg，f（1）=0，当x0时，恒有f（x）f（）=lgx（1）求f（x）的表达式及定义域；（2）若方程f（x）=lgt有解，求实数t的取值范围；（3）若方程f（x）=lg（8x+m）的解集为，求实数m的取值范围2015-2016学年广东省广州市实验中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设a=x|x10，b=x|log2x0，则ab等于（）ax|0x1bx|x1cx|x0d【考点】对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算【专题】计算题【分析】解对数不等式求出集合b，再根据两个集合的交集的定义求出ab【解答】解：a=x|x10=x|x1，b=x|log2x0=x|0x1，ab=x|0x1，故选a【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，两个集合的交集的定义，属于中档题2三个数a=0.62，b=log20.6，c=20.6之间的大小关系是（）aacbbabccbacdbca【考点】对数值大小的比较【专题】函数的性质及应用【分析】分别根据指数幂和对数的性质分别判断a，b，c的大小即可【解答】解：00.621，log20.60，20.61，0a1，b0，c1，bac，故选：c【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数和对数函数的性质是解决本题的关键3设集合a=x|1x2，b=y|1y4，则下述对应法则f中，不能构成a到b的映射的是（）af：xy=x2bf：xy=3x2cf：xy=x+4df：xy=4x2【考点】映射【专题】应用题【分析】按照映射的定义，一个对应能构成映射的条件是，a中的每个元素在集合b中都有唯一的确定的一个元素与之对应 判断题中各个对应是否满足映射的定义，从而得到结论【解答】解：对于对应f：xy=x2，当1x2 时，1x24，在集合a=x|1x2任取一个值x，在集合b=y|1y4中都有唯一的一个y值与之对应，故a中的对应能构成映射对于对应f：xy=3x2，当1x2 时，13x24，在集合a=x|1x2任取一个值x，在集合b=y|1y4中都有唯一的一个y值与之对应，故b中的对应能构成映射对于对应f：xy=x+4，当1x2 时，2x+43，在集合a=x|1x2任取一个值x，在集合b=y|1y4中都有唯一的一个y值与之对应，故b中的对应能构成映射对于对应f：xy=4x2 ，当x=2 时，y=0，显然y=0不在集合b中，不满足映射的定义，故d中的对应不能构成a到b的映射故选d【点评】本题考查映射的定义，一个对应能构成映射时，必须使a中的每个元素在集合b中都有唯一的确定的一个元素与之对应4已知函数f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）=x2+，则f（1）=（）a2b0c1d2【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】由奇函数定义得，f（1）=f（1），根据x0的解析式，求出f（1），从而得到f（1）【解答】解：f（x）是定义在r上的奇函数，f（x）=f（x），f（1）=f（1），又当x0时，f（x）=x2+，f（1）=12+1=2，f（1）=2，故选：a【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题5函数f（x）=lnx+2x6的零点所在的大致区间是（）a（0，1）b（1，2）c（2，3）d（3，4）【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题【分析】可得f（2）=ln220，f（3）=ln30，由零点判定定理可得【解答】解：由题意可得f（1）=40，f（2）=ln220，f（3）=ln30，f（4）=ln4+20，显然满足f（2）f（3）0，故函数f（x）=lnx+2x6的零点所在的区间为（2，3）故选c【点评】本题考查函数零点的判定定理，涉及对数值得运算和大小比较，属基础题6若全集u=0，1，2，3，4且ua=2，4，则集合a的真子集共有（）个a8个b7个c4个d3个【考点】子集与真子集【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】由补集概念求得a，然后直接写出其真子集得答案【解答】解：u=0，1，2，3，4且ua=2，4，则集合a=0，1，3集合a的真子集为231=7，故选：b【点评】本题考查了补集及其运算，计算集合真子集的个数，n个元集合有2n个子集，有2n1个非空子集，有2n1个真子集有2n1真子集是解答本题的关键属于基础题7函数的图象的大致形状是（）a abcd【考点】函数的图象【专题】数形结合【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案【解答】解：y=当x0时，其图象是指数函数y=ax在y轴右侧的部分，因为a1，所以是增函数的形状，当x0时，其图象是函数y=ax在y轴左侧的部分，因为a1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，c符合题意故选c【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题8下列函数中既是偶函数又是（，0）上是增函数的是（）ay=bcy=x2d【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明【专题】计算题【分析】根据幂函数奇偶性与单调性与指数部分的关系，我们逐一分析四个答案中幂函数的性质，即可得到答案【解答】解：函数y=，既是偶函数，在区间（，0）上单调递减，故a不正确；函数，是非奇非偶函数，故b不正确；函数y=x2，是偶函数，但在区间（，0）上单调递增，故c正确；函数，是非奇非偶函数，故d不正确；故选c【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数单调性的判定和幂函数的性质，属于基础题9已知是r上的减函数，则a的取值范围是（）a（0，1）bcd【考点】函数单调性的性质【专题】计算题【分析】由题意可得0a1，且3a10，（3a1）1+4aa，于是可求得a的取值范围【解答】解：f（x）=是r上的减函数，0a1，且3a10，（3a1）1+4aa，由得：a故选b【点评】本题考查函数单调性的性质，难点在于对“f（x）=是r上的减函数”的理解与应用，易错点在于忽视“（3a1）1+4aa”导致解的范围扩大，考查思维的缜密性，属于中档题10若f（x）是r上的减函数，且f（x）的图象经过点a（0，4）和点b（3，2），则当不等式|f（x+t）1|3的解集为（1，2 ） 时，t的值为（）a1b0c1d2【考点】绝对值不等式的解法；函数单调性的性质【专题】综合题【分析】由不等式|f（x+t）1|3，求出f（x+t）的范围，然后根据f（x）的图象经过点a（0，4）和点b（3，2），得到f（0）=4和f（3）=2的值，求出的f（x+t）的范围中的4和2代换后，得到函数值的大小关系，根据函数f（x）在r上单调递减，得到其对应的自变量x的范围，即为原不等式的解集，根据已知不等式的解集（1，2），列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值【解答】解：由不等式|f（x+t）1|3，得到：3f（x+t）13，即2f（x+t）4，又因为f（x）的图象经过点a（0，4）和点b（3，2），所以f（0）=4，f（3）=2，所以f（3）f（x+t）f（0），又f（x）在r上为减函数，则3x+t0，即tx3t，解集为（t，3t），不等式的解集为（1，2），t=1，3t=2，解得t=1故选c【点评】此题考查了绝对值不等式的解法，以及函数单调性的性质把不等式解集中的2和4分别换为f（3）和f（0）是解本题的突破点，同时要求学生熟练掌握函数单调性的性质二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分11已知，则f（x）=x2+4x+5（x1）【考点】函数解析式的求解及常用方法【专题】换元法【分析】求解析式常用方法：换元法、待定系数法、方程组法根据题意选择用换元法求该函数的解析式【解答】解：设，则t1，所以=可变形为f（t）=t2+4t+5所以f（x）=x2+4x+5（x1）【点评】该题考察函数解析式的求解中的换元法，注意换元时是将看成一个整体换元12函数f（x）=ax1+3的图象一定过定点p，则p点的坐标是（1，4）【考点】指数函数的单调性与特殊点【专题】综合题【分析】通过图象的平移变换得到f（x）=ax1+3与y=ax的关系，据y=ax的图象恒过（0，1）得到f（x）恒过（1，4）【解答】解：f（x）=ax1+3的图象可以看作把f（x）=ax的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到，且f（x）=ax一定过点（0，1），则f（x）=ax1+3应过点（1，4）故答案为：（1，4）【点评】本题考查指数函数的图象恒过点（0，1）；函数图象的平移变换13若函数y=f（x1）的定义域为（1，2，则函数y=f（log2x）的定义域为（1，2【考点】函数的定义域及其求法【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】由函数y=f（x1）的定义域为（1，2，得1x2，即0x11，则函数y=f（log2x）中，0log2x1，由此能求出函数y=f（log2x）的定义域【解答】解：由函数y=f（x1）的定义域为（1，2，得1x2，0x11函数y=f（log2x）中，0log2x1，1x2则函数y=f（log2x）的定义域为（1，2故答案为：（1，2【点评】本题考查对数函数的定义域，解题时要认真审题，仔细解答，注意抽象函数的定义域的求法，是基础题14函数y=的值域是（，1）（1，+）【考点】函数的值域【专题】计算题【分析】本题利用分离的方法来求函数的值域，由函数的解析式分离出2x的表达式，利用2x0来求解y的取值范围，进而求出函数的值域【解答】解：由已知得：，由2x0得所以有：y1或y1故答案为：（，1）（1，+）【点评】本题考查了函数的三要素值域，指数函数的性质，分离法求函数的值域15已知函数f（x）=，则f（x）的值域是2，+）【考点】对数函数的图象与性质【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】先分析内函数y=3+2xx2的图象和性质，进而得到最大值，再由外函数是减函数，得到答案【解答】解：函数y=3+2xx2的图象是开口朝下，且以直线x=1为对称轴的抛物线，故当x=1时，函数取最大值4，故当x=1时，函数f（x）=取最小值2，无最大值，故f（x）的值域是2，+），故答案为：2，+）【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，复合函数的单调性，难度中档16设偶函数f（x）=a|x+b|在（0，+）上单调递增，则f（b2）与f（a+1）的大小关系为f（a+1）f（b2）【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据函数单调性的定义进行判断即可【解答】解：f（x）=a|x+b|为偶函数，f（x）=f（x），即a|x+b|=a|x+b|，则|xb|=|x+b|，解得b=0，则f（x）=a|x|，设t=|x|，则当x0时，函数为增函数，若f（x）=a|x|在（0，+）上单调递增，则y=at上单调递增，即a1，则f（b2）=f（2）=f（2），f（a+1）f（1+1）=f（2），即f（a+1）f（b2），故答案为：f（a+1）f（b2）【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性的性质求出b=0，a1是解决本题的关键三、解答题：本大题共6小题，共30分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17化简或求值：（1）（）+（0.008）（2）+log33【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解（2）利用对数性质、运算法则、换底公式求解【解答】解：（1）（）+（0.008）=+25=（2）+log33=5log32+5=+5=5=7【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数、对数性质及运算法则、换底公式的合理运用18已知a=x|ax2a4，b=x|x25x60，若ab=a，求a的取值范围【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；分类法；集合【分析】求出b中不等式的解集确定出b，根据a与b的交集为a，得到a为b的子集，确定出a的范围即可【解答】解：a=x|ax2a4，b=x|x25x60=x|（x6）（x+1）0=x|1x6，且ab=a，ab，当a=时，则有a2a4，即a4，满足题意；当a时，则有，解得：1a5，综上，a的范围是a5【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键19（1）判断函数f（x）=在x（0，+）上的单调性并证明你的结论？（2）猜想函数在x（，0）（0，+）上的单调性？（只需写出结论，不用证明）（3）利用题（2）的结论，求使不等式在x1，5上恒成立时的实数m的取值范围？【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明【专题】综合题【分析】（1）函数f（x）=在（0，2上是减函数，在2，+）上是增函数，再利用单调性的定义进行证明即可；（2）由上及f（x）是奇函数，可猜想：f（x）在和上是增函数，f（x）在和上是减函数 （3）根据在x1，5上恒成立，可得在x1，5上恒成立 求出左边函数的最小值即可【解答】（1）解：函数f（x）=在（0，2上是减函数，在2，+）上是增函数证明：设任意x1x2（0，+），则= 又设x1x2（0，2，则f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2）函数f（x）=在（0，2上是减函数 又设x1x22，+），则f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2）函数f（x）=在2，+）上是增函数 （2）解：由上及f（x）是奇函数，可猜想：f（x）在和上是增函数，f（x）在和上是减函数 （3）解：在x1，5上恒成立在x1，5上恒成立 由（2）中结论，可知函数在x1，5上的最大值为10，此时x=1 要使原命题成立，当且仅当2m2m102m2m100 解得m2，或实数m的取值范围是m|m2，或 【点评】本题重点考查函数的单调性的判定与证明，考查恒成立问题，解题的关键是利用单调性的定义，利用函数的最值解决恒成立问题20已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）f（y），且f（1）=1，f（27）=9，当0x1时，0f（x）1（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在0，+）上的单调性，并给出证明；（3）若a0且f（a+1），求a的取值范围【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质【专题】综合题【分析】（1）利用赋值法，令y=1，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）先证明当x0时，f（x）0，再利用已知和单调函数的定义，证明函数f（x）在0，+）上的单调性；（3）先利用赋值法求得f（3）=，再利用函数的单调性解不等式即可【解答】解：（1）令y=1，则f（x）=f（x）f（1），f（1）=1，f（x）=f（x），且xrf（x）为偶函数（2）若x0，则f（x）=20若存在x00，使得f（x0）=0，则，与已知矛盾，当x0时，f（x）0设0x1x2，则01，f（x1）=f（x2），当x0时f（x）0，且当0x1时，0f（x）101，又当x0时，f（x）0，f（x2）0f（x1）f（x2），故函数f（x）在0，+）上是增函数（3）f（27）=9，又f（39）=f（3）f（9）=f（3）f（3）f（3）=f（3）3，9=f（3）3，f（3）=，f（a+1），f（a+1）f（3），a0，（a+1）0，+），30，+），函数在0，+）上是增函数a+13，即a2，又a0，故0a2【点评】本题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法21已知二次函数f（x）=x216x+q+3：（1）若函数在区间1，1上存在零点，求实数q的取值范围；（2）问：是否存在常数t（t0），当xt，10时，f（x）的值域为区间d，且d的长度为12t【考点】二次函数的性质；函数的零点【专题】函数的性质及应用【分析】（1）求出二次函数的对称轴，得到函数f（x）在1，1上为单调函数，要使函数在区间1，1上存在零点，则f（1）f（1）0，由此可解q的取值范围；（2）分t8，最大值是f（t）；t8，最大值是f（10）；8t10三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是12t求出t的值，验证范围后即可得到答案【解答】解：（1）二次函数f（x）=x216x+q+3的对称轴是x=8函数f（x）在区间1，1上单调递减要使函数f（x）在区间1，1上存在零点，须满足f（1）f（1）0即（1+16+q+3）（116+q+3）0解得20q12所以使函数f（x）在区间1，1上存在零点的实数q的取值范围是20，12；（2）当时，即0t6时，f（x）的值域为：f（8），f（t），即q61，t216t+q+3t216t+q+3（q61）=t216t+64=12tt215t+52=0，经检验不合题意，舍去当时，即6t8时，f（x）的值域为：f（8），f（10），即q61，q57q57（q61）=4=12tt=8经检验t=8不合题意，舍去当t8时，f（x）的值域为：f（t），f（10），即t216t+q+3，q57q57（t216t+q+3）=t2+16t60=12tt217t+72=0，t=8或