并矢格林函数作业.doc

并矢格林函数作业郑颖（20401209）一、格林函数简介格林函数是柏松方程在无界空间的解，格林函数法在求解电磁问题中应用广泛。格林函数法又称作积分法，从物理含义和数学形式上说，格林函数是一种普遍的概念，格林函数也是一种具有普遍意义上的方法，由于积分与坐标系无关，我们可以采取不同的坐标系，应用多种方法建立格林函数，因而使格林山蜀的计算获得了广泛的应用，应用格林函数处理电磁上工程问题，在某些场合可以使界的表达式更加简洁，处理方法更为巧妙；更有意义的是，引入格林函数的主要目的在于建立积分方程，随着计算机的高速发展和广泛应用，使难于解析求解的积分方程便于计算。无界空间中的标量格林函数常称为相应标量格林函数方程的解本解。在无界空间中，时谐波的格林函数满足如下标量方程： （1）以及辐射条件： （2） 利用标量格林函数来简化标量的表示是很普遍的，标量格林函数并不限于应用在标量位，凡电磁场的直角份量都与标量位满足相同形式的方程我们都可以应用标量格林函数。 实际上有些特殊的并矢格林函数问题只涉及到并矢格林函数的一个直角分量，完全可以用标量格林函数来表示，所以标量格林函数是很有实际用途的。二、并矢格林函数引入我们可以用标量格林函数来局部的表示矢量位的每一个直角分量，然而矢量场比矢量位出现更多的分量，在一定的边值条件下可以分解为三个直角分量。在这种情况下，如果只引入格林函数的矢量形式，是不足以完备的表达出被积函数中格林函数与矢量源相乘时各分量之间复杂的取向关系。我们用并矢格林函数来进行这种表达，其定义式为： （3） A、B分别称为前元素和后元素。把A、B写成分量形式：则上式为： （4）也可以写成： （5） 显然： （6）其它分量类似。并矢的前后矢量之间没有物理内容上的联系，只有数学形式上的联系，它与其它矢量或并矢相互作用时，才变得有意义。并矢格林函数常用性质旋度： （7）散度： （8）单位并矢： （9）并矢格林函数的分类有两种分类方法：1） 可以分为电型并矢格林函数和磁型并矢和林函数，简称电并矢和磁并矢。矢量电位并矢格林函数，矢量电位并矢格林函数。为了表示三个不同方向电流源产生3x3个场分量，把电场和磁场满足的方程写成并矢形式有 （10）（11）这里不需要刻意按照并矢的定义去找两个矢量，使其外乘等于并矢，只要知道方程组中的各并矢具有(4)式的形式，其中源的每一列或每一行对应于或的每一列或每一行，而算子则是分别对每一列或每一行起作用，至于是列或是行取决于以后将并矢格林函数的源项放在右还是左。取 （12）式中表示三个正交方向的电流元(点电流源)，为点电流源电流矩，为单位并矢。令，将电流矩归一化:把，代入方程（10）和（11）可以得到： （13） （14）方程(13)或(14)的齐次边界条件的解和即为并矢格林函数，分别称和，为电型并矢格林函数和磁型并矢和林函数，简称电并矢和磁并矢。并矢方程(13)或(14)实际上是三个分离的矢量方程，可以分别求解别求解，也可以用并矢的形式合起来分析。2）根据边界条件分类：是按边界条件来划分的，以电场为例，在待求域边界上，若给定边界条件， （15） （16）对应的并矢格林函数分别称为第一类、第二类并矢格林函数。若待求区域存在分界面，在分界面上给定边界条件 （17） （18）对应的函数称为第三类并矢格林函数。对于无界区域，在无耗媒质中无穷远处给定辐射条件 （19）式中，R为源点到场点r的距离，为无穷远处的单位外法矢。若待求区域的三个维度均为无界，对应的并矢格林函数为自由空间的并矢格林函数 。由互易定理同样可以导出并矢格林函数的对称性，即。与标量问题相同，若能通过某种方法求得并矢格林函数，则任意分布源的场可以通过并矢格林函数来用积分构造。矢量的并矢格林定理：（20）取，并考虑函数的筛选性质，有： （21）将变量和以及的前后元素互换（或者直接利用的对称性）得到（22）同理，对于磁场，取，利用矢量的并矢公式 （23）有： （24）从推导过程可知，(22)和(23)式中的并矢格林函数并不限定必须取与所求问题具有相同边界条件或相同类型，例如(22)式中可以取自由空间中的并矢格林函数等，但此时面积分项不为零。只有当所求场量与并矢格林函数类型相同且具有相同边界条件时，表达式中的面积分项为零并有最简单积分形式。利用格林函数可以给出或原则上给出具有相同齐次约束方程和边界条件的边值问题的解析解，此种求取电磁场解的方法称为(并矢)格林函数法。在逆散射问题(散射反演)的研究中，可以用并矢格林函数推导散射场与总场的关系。考虑一般非均匀媒质情况，电场满足方程（26）并矢格林函数满足方程（27）式中，和为常数。方程可以转化为 （28）把看成等效源，根据格林函数法有： （29）式中称为入射电场，是与并矢格林函数具有相同边界条件和相同齐次约束方程的分布源的场。当并忽略位移电流有 （30）三、电磁计算应用于涡流无损检测中缺陷的处理涡流无损检测缺陷的原理是:导体外产生的电磁场入射到含有缺陷的导体上发生散射，散射场中隐含了缺陷的位置、大小、形状以及导体参数等信息，通过分析测量到的散射场，采用数学方法提取缺陷参数，达到识别缺陷的目的。人们很早就认识到感应出涡流的导体中小缺陷对外界的扰动场的特性与导体中的电流元(或称电流偶极子)的场相似。这种思想在其它的应用物理学科也存在，例如电磁波的远场散射经常用多极子展开的方法处理，偶极子项是随着距离衰减最慢的一项。在涡流无损检测中，尽管感兴趣的不是远场，事实上，为了能可靠的检测出缺陷，检测线圈与导体和导体中的缺陷靠得很近，处理的恰恰是近场。但是可以把缺陷处理成分布源形式，即用等效的电流元分布代替缺陷的作用。如果缺陷是很薄的裂纹，可以考虑用电流元层代替缺陷的作用，称为理想裂纹。缺陷处等效源的电流密度依赖于入射场、缺陷的参数和深度。一旦获得缺陷的等效电流源密度，便可以利用互易定理计算检测线圈的阻抗增量，即探测线圈阻抗在有缺陷时和无缺陷时的差值，通过阻抗的增量来推知缺陷的有无、大小和位置等，称为基于阻抗分析的涡流无损检测技术。也可以直接计算导体外缺陷造成的扰动磁场来分析缺陷，称为基于场量分析的涡流无损检测技术。下面利用磁准静态时谐场方程推导导体中缺陷等效源满足的方程。典型涡流无损检测问题如图所示.空气中激励源的电流密度为，激励源线圈附近一导体，导体内一缺陷。空气与导体交界面为，导体与缺陷交界面为。导体电导率为Y，缺陷内充满空气，空气的磁导率和介电常数分别为：和。各区域的电磁场满足的方程分别为：空气域V内 （31）导体内 （32）缺陷域内 （33）若不存在缺陷，内充满与相同的导体。则完好的电磁场满足的方程分别如下：空气域V内 （34）导体内 （35）有缺陷时和无缺陷时，各区域的差场(扰动场)满足方程:空气域V内 （36）导体内 （37）缺陷域内 （38）式中，。完好场是己知的量，一般可以通过解析解计算得到。若把（28）式中视为等效电流源，等效电流源完全由完好场确定，差场可以通过(26)-(28)式求出，此种处理方式称为涡流检测的“微扰模型”。这相当于不考虑缺陷内部，直接把缺陷边界的作用等效为电流源。这种模型可以用有限元方法来处理，但由于缺陷体积一般很小，特别是对于理想裂纹缺陷，缺陷的纵横比很大，利用有限元法计算需要很精细的剖分，耗时费力。对(38)式的 第一个方程作如下转化 （39）式中，为等效电流源密度，它不能通过完好场直接获得，须通过解积分方程获得。上节已指出，空间中的任意源的场可由对应的并矢格林函数的积分获得 （40）在缺陷处不存在电流，,所以缺陷处有 （41）此种处理方法相当于是考虑缺陷内部并设缺陷内部与周围媒质具有相同的参数，同时在缺陷处强加一等效