垂直于弦的 直径.doc

垂直于弦的直径学情分析:本节内容是新人教版九年级(上)第二十四章第一节圆的第二课时.学生在生活中经常遇到圆方面的图形,对本节课会比较有兴趣。同时九年级的同学仍然是比较好奇、好动、好表现的，但在合作交流、探索新知等方面发展得极不平衡，在学习的主动性、积极性等方面也有较大的差异。教学目标：1、知识与技能（1） 通过观察折纸图片，使学生理解圆的轴对称性。（2） 掌握垂直于弦的直径定理，理解其证明过程，学会利用垂直于弦的直径定理解决有关的证明与计算。（3） 掌握添辅助线的方法，可以是连半径，或过圆心作一条与弦垂直的线段，目的是找出“半径、半弦、弦心距”组成的直角三角形，进而用勾股定理解题。2、过程与方法（1）通过翻折的探究方法，培养学生的观察能力、分析能力、逻辑思维能力和归纳概括能力。（2）向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。3、情感、态度、价值观（1）结合本节课的教学内容，向学生进行数学对称美的美育教育。（2）使学生领会数学的严谨性，激发学生探究、发现数学问题的兴趣。教学重点：垂直于弦的直径定理及其应用教学难点：垂直于弦的直径定理的证明及其应用教学方法：探究发现法教学准备：教师自制的图形纸片教具、PPT课件、几何画板、三角板、圆规、学生准备好圆规和三角板教学过程1、 引入新知师：什么叫轴对称图形？生：把一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。（设计说明：通过复习以前所学的轴对称的概念，为本节课探究圆的轴对称性做铺垫，引导学生通过翻折发现垂径定理的内容。）2、 创设情境师：今天我们要学习“圆的对称性”知识，请大家思考：师：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？有多少条？在圆形纸片上用什么方法可以获得对称轴？生：是。经过圆心的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。用折叠的方法。（设计说明：通过创设学生比较容易理解的情景以及问题串，逐步引导学生归纳圆的轴对称性和探究方法：折叠法，为下面的新知环节提供方法）3、 探索新知师：请同学们在准备好的圆形纸片上画出任意一条直径AB，再画一条弦CD，使得整个图形仍是轴对称图形。请动手折一折。（设计说明：让学生自己动手操作，发现圆的对称性，培养学生的动手实践能力。这个环节让学生先独立思考完成，再小组交流，请同学板演作图。教师最后动手折叠图形,用几何画板演示折叠，学生观察对称性）_CD_AB于点P_CD_AB_P_D_C_O_B_A_D_C_B_O_A_O_B_A图1 图2 图3师：今天我们就来研究垂直这种情况。图3是轴对称图形，对称轴是什么？生：对称轴是直线AB师：通过观察折叠，你能发现图3中有哪些相等的线段、相等的弧？说说你的理由。（教师提问后留给学生自主证明的时间，教师巡视点拨，再小组交流，最后由学生回答所找到的等量关系、证明方法。学生叙述，教师板书证明过程。提倡一题多解。根据班级学生的学习状况，如果无法找到证明的突破口，可做如下的思维提示：证明线段相等-构造三角形；弧相等-所对圆心角等）（设计说明：当学生发现圆的对称性后，再自己动手添加辅助线，既考查了学生对轴对称的理解，又培养了学生观察、思维的能力。在确定了研究对象后，再自主探究寻找相等的线段、相等的弧，这一系列过程，意在培养学生独立思考、严谨推理的数学习惯）师：请同学们尝试用文字语言叙述我们验证的条件和结论。（学生口述，各抒己见，允许不完美.最后回归课本,教师板书垂径定理的文字语言、符号语言、图形语言）垂直于弦的直径定理：垂直于弦的直径,平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.符号语言： （设计说明：定理呈现的三种形式都要求学生能懂，即文字语言、符号语言、图形语言。板书的呈现有助于学生看清教师的书写，理解三种形式，帮助学生加强对定理的理解）4、 运用新知师：接下来我们就运用刚才学过的垂直于弦的直径定理来解决问题。（1）如图4、AB是O的直径，CD为弦，CDAB于点E，则下列结论中不一定成立的是（ ）(直接利用垂径定理)（2）如图5、AB是O的直径，弦CDAB,垂足为点P，若CD=16，OP=6，则O的半径为_.(根据垂径定理,连结半径构造直角三角形,应用勾股定理求半径)(3)如图6,在半径为5的O中,弦AB=8, OCAB于点C,则OC=_.(根据垂径定理,利用已知直角三角形,应用勾股定理求弦心距)(4)如图7, O的直径AB=50,弦CDAB于点P,OP=7,那么弦CD的长为_(求弦长,可先求出半弦长.根据垂径定理,连结半径构造直角三角形,应用勾股定理求半弦长)归纳：构造半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，结合勾股定理解题(设计说明：练习题（1）巩固学生对垂径定理基本图形的认识。通过（2）、（3）、（4）的分别求解，了解求半径、弦心距、弦长的过程，总结垂径定理中常用到的直角三角形的构成。经过这样的过程，让学生在解决问题时有方向，知道每次都去找这样的直角三角形，缺哪一条线段，就添加相应的辅助线，解决学生困惑的如何添加辅助线问题)师：接下来让我们运用垂径定理解决典型例题。例1、如图8，O的直径AB弦CD于点E,AE=1,OE=2,求弦CD的长.变式1、如图9，O的直径AB弦CD于点E,AE=1，CD=4，求O的半径.变式2、如图10、O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=1，BE=5，DEB=60,求弦CD的长。（设计说明：本节课预设了一个例题，较为基础。主要考查学生对辅助线添加方法的理解，从基础习题过渡到学生自己添线，思路上比较顺。教学中采用学生先在学案上自主探究，再小组交流，学生板演，最后教师点评的方式。变式1在例1的基础上，要设未知数解题。变式2进一步深化内容，将弦和直径由垂直关系引申到相交成锐角的情形）5、 课堂小结(设计说明:本环节内容在黑板或PPT上都有呈现,学生总结起来并不难.教师在此引导学生反思这节课经历的动手操作、实践探索、自我证明等过程，便于学生在解几何问题时掌握“动手画图、观察分析、归纳论证”的解题方法)6、 作业布置完成学案上剩余的习题。7、 板书设计 垂直于弦的直径一、 圆是轴对称图形二、 垂直于弦的直径 证明：（教师板演）文字语言：（教师板演）图形语言：符号语言：8、 教学设计反思（1） 教学中，充分尊重学生、关注学生的发展动态。在这节课中，我注重肯定学生的点滴发现，多次给予学生展示自己的机会，锻炼