【步步高】（浙江专用）高考数学 考前三个月 专题八 第二讲不等式选讲.doc

第二讲不等式选讲1 含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a；(2)|f(x)|0)af(x)a.(3)对形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用绝对值的几何意义求解2 含有绝对值的不等式的性质|a|b|ab|a|b|.3 柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立(2)若ai，bi(in*)为实数，则(a)(b)(aibi)2，当且仅当(当某bj0时，认为aj0，j1,2，n)时等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|，当且仅当这两个向量共线时等号成立4 不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等1 (2013重庆)若关于实数x的不等式|x5|x3|a无解，则实数a的取值范围是_答案(，8解析|x5|x3|5x|x3|5xx3|8，(|x5|x3|)min8，要使|x5|x3|a无解，只需a8.2 (2013江西)在实数范围内，不等式|x2|1|1的解集为_答案0,4解析由|x2|1|1得1|x2|11，解得0x4.不等式的解集为0,43 (2013陕西)已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_答案2解析由柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时“”成立，得(ambn)(bman)()2mn(ab)22.4 (2012山东)若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.答案2解析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.5 (2011湖南)设x，yr，且xy0，则的最小值为_答案9解析54x2y252 9，当且仅当x2y2时“”成立题型一含绝对值的不等式的解法例1(2013课标全国)已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围审题破题(1)可以通过分段讨论去绝对值；(2)在x时去绝对值，利用函数最值求a的范围解(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x(0,2)时，y0，所以原不等式的解集是x|0x1，则0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)2的解集是r，求m的取值范围解(1)由题设知|x1|x2|5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：或或解得函数f(x)的定义域为(，2)(3，)(2)不等式f(x)2即|x1|x2|m2，xr时，恒有|x1|x2|(x1)(x2)|3，不等式|x1|x2|m2解集是r，m23，m的取值范围是(，1题型二不等式的证明例2(2012福建)已知函数f(x)m|x2|，mr，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cr，且m，求证：a2b3c9.审题破题(1)从解不等式f(x2)0出发，将解集和1,1对照求m；(2)利用柯西不等式证明(1)解因为f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)证明由(1)知1，又a，b，cr，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)29.反思归纳不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法，其中以比较法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式，证明过程注意从重要不等式的形式入手达到证明的目的变式训练2已知f(x)|x1|x1|，不等式f(x)4的解集为m.(1)求m；(2)当a，bm时，证明：2|ab|4ab|.(1)解f(x)|x1|x1|当x1时，由2x4，得2x1；当1x1时，f(x)21时，由2x4，得1x2.m(2,2)(2)证明a，bm，即2a2，2b2，4(ab)2(4ab)24(a22abb2)(168aba2b2)(a24)(4b2)0，4(ab)2(4ab)2，2|ab|0时，x，得a2.(2)记h(x)f(x)2f，则h(x)所以|h(x)|1，因此k1.反思归纳不等式f(a)g(x)恒成立时，要看是对哪一个变量恒成立，如果对于ar恒成立，则f(a)的最小值大于等于g(x)，再解关于x的不等式求x的取值范围；如果对于xr不等式恒成立，则g(x)的最大值小于等于f(a)，再解关于a的不等式求a的取值范围变式训练3已知函数f(x)log2(|x1|x5|a)(1)当a2时，求函数f(x)的最小值；(2)当函数f(x)的定义域为r时，求实数a的取值范围解(1)函数的定义域满足：|x1|x5|a0，即|x1|x5|a2.设g(x)|x1|x5|，则g(x)|x1|x5|g(x)min4a2，f(x)minlog2(42)1.(2)由(1)知，g(x)|x1|x5|的最小值为4，|x1|x5|a0，a0)(1)当a1时，解不等式f(x)8；(2)若f(x)6恒成立，求正实数a的取值范围规范解答解(1)f(x)|x|2|x1|当x0时，由23x8，得2x1时，由3x28，解得10的解集为_答案解析原不等式等价于|2x1|2|x1|(2x1)24(x1)2x.2 (2012湖北改编)设a，b，c，x，y，z是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则_.答案解析通过等式找出abc与xyz的关系由题意可得x2y2z22ax2by2cz，与a2b2c210相加可得(xa)2(yb)2(zc)210，所以不妨令，则xyz2(abc)，即.3 若a，b，c(0，)，且abc1，则的最大值为_答案解析()2(111)2(121212)(abc)3.当且仅当abc时，等号成立()23.故的最大值为.4 不等式1的实数解为_答案.解析1，|x1|x2|.x22x1x24x4，2x30.x且x2.5 若不等式x|x1|a有解，则实数a的取值范围是_答案1，)解析设f(x)x|x1|，则f(x)f(x)的最小值为1.所以当a1时，f(x)a有解6 对于任意的实数a(a0)和b，不等式|ab|ab|m|a|恒成立，记实数m的最大值是m，则m的值为_答案2解析不等式|ab|ab|m|a|恒成立，即m对于任意的实数a(a0)和b恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值因为|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|，当且仅当(ab)(ab)0时等号成立，即|a|b|时，2成立，也就是的最小值是2.专题限时规范训练一、填空题1 不等式|x3|x2|3的解集为_答案x|x1解析原不等式可化为：或或x或1x0，y0，m，n，则m、n的大小关系为_答案mm.3 对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为_答案5解析|x1|1，1x11，0x2.又|y2|1，1y21，1y3，从而62y2.由同向不等式的可加性可得6x2y0，5x2y11，|x2y1|的最大值为5.4 若关于x的不等式|a|x1|x2|存在实数解，则实数a的取值范围是_答案(，33，)解析f(x)|x1|x2|f(x)3.要使|a|x1|x2|有解，需满足|a|3，即a3或a3.二、解答题5 设不等式|2x1|1的解集为m.(1)求集合m；(2)若a，bm，试比较ab1与ab的大小解(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1，所以mx|0x1(2)由(1)和a，bm可知0a1,0b0，故ab1ab.6 若不等式|a2|1对于一切非零实数x均成立，求实数a的取值范围解2，|a2|12，1a3.7 (2012江苏)已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.证明因为3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知|xy|，|2xy|，从而3|y|，所以|y|.8 已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围解方法一(1)由f(x)3得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2.(2)当a2时，f(x)|x2|，设g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|所以当x5；当3x2时，g(x)5；当x2时，g(x)5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，5方法二(1)同方法一(2)当a2时，f(x)|x2|.设g(x)f(x)f(x5)由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当3x2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.从而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，59 已知