博弈论概要1-3完全版II.doc

交通大学博弈论课程概要 (II)周林第三部分：不完全信息静态博弈 1. 不完全信息静态博弈的例子：不完全信息下的Cournot竞争2. 例子：不完全信息下的公共产品博弈(FT 6.2)3. (FT 6.3-6.4) 不完全信息的Harsanyi模型：类型空间. 策略是由类型空间到行动的映射，不完全信息静态博弈的策略式博弈表示. Bayesian-Nash均衡博弈者: 1, , n . 选择空间: Si . 类型空间： 用来表示不完全信息。在类型空间的乘积空间上 有一个先验概率分布p，可以独立也可以不独立。当博弈者1的类型是, , 博弈者n的类型是, 每一个博弈者的收益函数是.每个博弈者做选择前知道自己的类型，但不知道他人的类型。他必须用和p 来更新他人类型的条件概率。 ,这里 .(因为我们这里使用了Bayes法则，我们称这类博弈Bayesian 博弈。)每个博弈者可以在不同类型时作出不同的选择，所以每个博弈者的策略是一个从 到 Si的映射：. 这个(扩展的)策略空间记为.当博弈者1使用策略, , 当博弈者n使用策略时，每人的期望收益： (*)这样我们就有了一个策略性博弈： 博弈者: 1, , n . 策略空间: ; 收益函数：由(*)定义的.这个策略性博弈的Nash 均衡就是不完全信息博弈的Bayesian-Nash均衡.命题： 是不完全信息博弈的Bayesian-Nash均衡当且仅当对所有博弈者在类型时必须选择使得下面的表达式最大化： .4. 重要例子：一价拍卖 (见附录)5. 重要例子：双边拍卖（F-T 6.5 中例6.4）作业：6.1(a),(b) , 6.2 (a),(b), （F&T）. 以及下面的题目：A 考虑一个离散不完全信息双厂商Cournot竞争模型. 每一家厂商的边际成本可能取两个值：. 取值为的概率为. 每一家厂商只知道自己的边际成本，不知道另一家厂商的边际成本. 市场的需求曲线是. 求解此博弈的Bayesian-Nash均衡.B 再考虑一个不完全信息三厂商Cournot竞争模型. 可能有两种情形. 在情形1时，只有厂商1和厂商2存在. 在情形2时，厂商1，厂商2和厂商3都存在. 虽然厂商2和厂商3都知道真实的情形，厂商1不知道真实的情形. 它只知道情形1和情形2的概率各为0.5. 三厂商的边际成本都等于5. 市场的需求曲线是. 求解此博弈的Bayesian-Nash均衡.C 如果在双人竞标中，投高标者获胜，但是两个竞标者都必须支付他们的投标的价格. 假设双方对被拍卖物的价值在0, M上独立同分布, 分布的密度函数是. 求解此博弈的对称Bayesian-Nash均衡.附：独立价值一价拍卖的求解首先看一个最简单的例子。双人竞标，每人的价值是在0，100上的均匀分布。每个人的报价应当依赖于其对拍卖物的价值，因此他的策略是一个从0，100到0，100的函数。 报价策略1：报实价。（但这是一个劣策略。）报价策略2：折扣报价：总是抱真实价格的一个固定折扣，譬如说40% 。报价策略3：非线性折扣报价： 譬如说， 。什么是这个模型的Bayesian-Nash均衡报价策略呢？假定竞标者2采用50%的固定折扣的报价策略，我们来找出竞标者1的最优反应。在竞标者1的价值为v时，如果他报价b, 我们来计算他的期望收益。当他赢时，他的收益是 v b, 而他的报价b赢的概率是 Prob(b 赢) = Prob(对手报价低于b) = Prob(x| 0.5x b) = Prob(x| x 2b) = 0.02b所以，竞标者1的期望收益为E(b) = 0.02b(v b) = 0.02vb 0.02b2他的最优报价b 应当使E(b)最大。 一阶条件E(b) = 0 给出E(b) = 0.02v 0.04b, or b = 0.5v.因此，假定竞标者2采用50%的固定折扣的报价策略，竞标者1的最优反应也是采用50%的固定折扣的报价策略。这样我们就找到了这个模型的Bayesian-Nash均衡报价策略：两个竞标者都采用50%的固定折扣的报价策略。下面我们来考虑更一般的一价拍卖的模型的求解。一共有n 竞标者。每人对拍卖物的价值记为. 假定 是在区间 上独立同分布，分布函数为，密度函数为 ，对所有，. 每人在报价时只知道自己的. 每人的报价策略是一个从 到 的函数. 我们要求解这个模型中的对称的Bayesian-Nash均衡报价策略。假定这个函数是 , 让我们看看必须满足什么条件。设想你是竞标者1 而你对拍卖物的价值为. 当其他的竞标者都采用均衡策略时，你如果报价p, 你的期望收益为：最佳报价p 可以由 导出, , 或者是既然 也是你的均衡报价策略, 应当满足上面的方程式。将带入上式，我们就获得：(DE) .注意到(DE)对所有的t都成立，这样我们就导出了必须满足的一个微分方程。最后我们对(DE)求解：, , 或者 .当时，是在其他人的价值都小于的条件下时其他人中的最大价值小于等于的条件概率。因此均衡的报价策略等于在其他人的价值都小于你的价值时的第二高价值的条件期望。在二价拍卖中，竞标者均衡策略是报真实价值。但是赢者只要支付第二高的报价。