计算机,人工智能和信息技术.doc

计算机，人工智能和信息技术在不完备信息系统中的知识获取：一种粗糙集方法Yee Leung a,*, Wei-Zhi Wu b,c, Wen-Xiu Zhang ba香港香港中文大学地理和资源管理部，环境政策和资源管理中心和地球信息科学联合实验室b中国陕西西安西安交通大学自然科学学院信息与系统科学研究所，邮编710049c中国浙江舟山浙江海洋学院信息学院，邮编316004摘要本文阐述了用粗糙集理论在不完备信息系统中的知识获取。不完备系统中的相似类的概念被首次提出。两种不同的分区，上，下近似，为了在不完备决策表中的确定的关联规则的采集于是形成。一类“某些最佳的”和另一类“最佳的关联”决策规则被生成。与每一个决策规则有关的两个新的量化措施，“随机确定性因素”和“随机覆盖因子”被进一步提出来解释在不完备决策表中的规则的条件和判定部分的关系。在此类表中最佳规则的描述和归纳的减少也被验证。1. 介绍Pawlak(1982)提出的粗糙集理论是一个表现不足的和不完整的特点的信息智能系统研究的集合论的延伸。使用在粗糙集理论中上，下近似的概念，隐藏在信息系统中的知识可能是被拆开的并以决策规则的形式被表达。上，下近似的经典定义，有时被叫做Pawlak粗糙近似，最初和涉及到被假设为一个等价关系（自反，对称和传递）)(Pawlak, 1982, 1991)的不可识别性关系一起被引入。这种模式在完整信息系统和完整决策表中的数据分析是有用的。Pawlak的粗糙近似可推广到“异”运算关系(Greco 等, 2001;Slowinski and Vanderpooten, 1997, 2000;Wu and Zhang,2002;Yao, 1998)。Pawlak粗糙集模型的延伸可能能用于推理和在不完整的信息系统和不完整的决策表中的知识获取（Dembczynski等, 2002; Greco等, 1999; Grzymala-Busse, 1991; Kryszkiewicz, 1998a,b, 1999a,b, 2001b; Kryszkiewicz and Rybinski, 1998, 2000; Leung and Li, 2003; Lingars and Yao, 1998)。一个上，下近似更普遍的定义，称为模糊上，下近似，能被模糊关系定义并能被应用到模糊信息系统(see 等 Bodjanova, 1987; Dubois and Prade, 1990; Hong 等, 2000; Korvin 等, 1998; Wu 等, 2003a,b)。当粗糙集近似值被用来从一个假设的信息系统提取判定规则，判定规则的两种类型则可以推导。基于判定类的下级近似值，某些信息能被发现并且某些规则可以被提出，然而通过使用判定类的上级近似值，不确定或部分确定的信息被发现或关联规则可能被归纳出。很多使用粗糙集理论的途径已经被提出，用来从采用决策表的数据集促进决策规则。Chan 和 Grzymala-Busse (1994), Grzymala-Busse (1992), Skowron (1993), Skowron 和 Rauszer (1992), Slezak (1996), Stefanowski (1998), Stefanowski 和 Vanderpooten(1994), Ziarko (1993),例如，使用不同的方法来归纳出完全决策表中的决策规则。Greco 等 (1999), Grzymala-Busse (1991), Kryszkiewicz (1998a,b, 1999a, 2001b),Kryszkiewicz 和 Rybinski (2000), 用粗糙集模型的扩展名来推导不完全信息系统中的缺失的数值。Lingras 和 Yao (1998)用粗糙集模型的两种概括通过不完整数据库来生成概率规则而不是Pawlak提出的粗糙集模型用完全决策表产生的概率规则。其他研究者，如Slowinski 和 Stefanowski (1994), Hong 等 (2000), 和 Korvin 等 (1998),用粗糙集模型来处理模糊和定量数据。由于涉及到一些基本的要求，许多类型的属性约简和决策规则在粗糙集研究中已经被提出。例如Kryszkiewicz (2001a,b)调查，比较和证明知识减少的经典粗糙集类型的静态关系。通过使用差别矩阵和布尔推理技术，许多方法已经被提出来计算知识的减少并在有条件的对象属性值可能缺失的不完全决策表中获得最佳的正确的，确定的和合适的决策规则(Skowron, 1993; Skowron 和 Rauszer, 1992;Kryszkiewicz, 1998a,b, 1999a, 2001b; Kryszkiewicz 和 Rybinski, 1998, 2000)。Leung 和 Li (2003)使用最大一致的数据块技术的概念来获取不完整信息系统中的规则。对于关于提取自完全决策表中的规则的不确定，两个被叫做确定性和覆盖面因素的重要量化措施已经被提出。它们被视为两个满足贝叶斯定理没有先后概率的经典概率(Pawlak, 2001)。这两个数量可以被用于分析一个规则条件和决策部分的关系。然而在不完全决策表中这个问题更为复杂，因为所有的初级集的类别不再是一个分区而是一个论述领域的覆盖面。由于现实生活中不完全信息系统的蔓生的存在，一个新的知识获取（按规则）方法成为需要。本文的目的是建造一个新的不完全系统的粗糙集模型，其中集和描述符都可以估计。通过使用上，下近似，我们表明所有不完全决策表中的确定的关联规则都可以被解决。参照不同要求，一类适合于一致描述符德“最佳的确定的决策规则”和另一类适合于不一致描述符的“最佳的关联规则”也被得到。对于不确定的测量，我们提出两种新的叫做“随机确定因素”和“随机覆盖因素”的适合于每个提取自决策规则德量化措施。于另外两个众所周知的量化措施可靠性和覆盖范围因素一起，不完全决策表中规则的条件和决策部分的关系能被分析。为了帮助我们的讨论，我们首先在第二节中介绍信息系统和决策表中的基本概念。然后粗糙集的基本概念和相关概念在第三节被提出以形成一个在不完全信息系统中规则获取的基础。随后决策规则的不确定事物的措施在第四节中被检查。在第五和第六节，我们分别讨论描述符的减少和最佳的决策规则的归纳法。然后我们用总结和展望进一步研究结束这篇论文。在附录中提供属性证明和命题以供参考。2. 信息系统和决策表信息系统(IS)的概念在它们的属性方面为对象的表示法提供了一个便利的基础。一个完整的信息系统(CIS)，S是一对(U,AT),其中U是一个叫做论述域的对象的非空有限集，AT是一个属性的非空有限集，例如a:对于任何 即x) 其中Va被叫做属性域a。当一个信息系统中的一些属性的精确值不知道，即丢失或部分知道，那么这种系统被成为不完全信息系统(IIS)并且仍然被表示，没有被=（U; AT）混淆。这种情况可以用属性值函数a被定义为一个从U映射到幂集Va的集基础的信息系统。例如，缺少的值a(x)能用所有适合属性的可能值来代表，即a(x) = Va；并且如果a(x)是部分知道的，例如，我们知道a(x)不是，值那么a(x)的值被指定为。决策表(DT)是一个的信息系统，其中和d是所谓决策的完全属性，AT是所谓有条件的属性集。如果(U,AT)是一个完整的信息系统，那么代表了一个完全决策表(CDT)，如果(U,AT)是一个不完全信息系统，那么代表了一个不完全决策表(IDT)。在以下的讨论中，符号和分别表示逻辑连接词“和”（合取)和“或”（分离）。U的幂集用表示。任何属性值对(a, v),被称为极微的属性。任何极微属性或不同极微的属性被称为描述符。让t成为一个描述符，t中出现的属性集被表示为A(t)。t中出现极微属性的数目即t长度的描述符用L(t)表示。如果(a, v)是一个t中出现的极微属性，我们简单的表示为。拥有描述符t的对象的集被称为t的支持，并且被表示为,即。如果t和s是两个极微属性，那么它能被说 和。让t和s成为两个描述符。如果对于所有(a, v)t,我们有(a, v)s，即，t是s中发生的极微属性的一个子集构成的，那么我们说t包含s或s包含于等于t，并被表示为or。我们用( 或)表示所有包含（或包含于）t的描述符。如果t是s中发生的极微属性的一个真子集构成的那么我们说t真包含s或s真包含于t并被表示为或 。这能被和是部分顺序的关系检验。特性1.如果，我们表示 对于任何, 如果A(t)=A，那么t被称为一个全描述符。表示 显然假设并且xU，我们表示 对于任何，让我们定义一个被叫做在不完全决策表中中t的广义决策的函数如下： 任何(d,w),将被称为t的广义决策描述符。如果表（其中card )是集合)的基数，那么我们说数据符t是相容的，否则它是不相容的。如果表card 适用于任何，那么我们说不完全决策表是相容的，否则它是不相容的。特性2.假设是不完全决策表wVd, and tDES(AT).。那么即即例1.表1给出一个不完全决策表的例子，其中U=x1,x2, . . .,x7, AT=a,b是有条件的属性集并且d是一个决策属性，a,b和d分别代表收缩压，舒张压和血压。Va=H, N, L, Vb=H, N, L, Vd=H, N, L,其中H,N和L分别代表高，正常和低。这能从表1得到 3. 粗糙集和相关概念假设是一个完全信息系统。对于任何aAT, 和 vVa，如果a(x)=a(y)=v,即那么x和y被称为有与属性a有关的不可分辨关系。此外，如果 x,yU,对象x和y被称为用关于A的不可分辨关系，当且仅当存在如或相当于a(x)=a(y) 对于aA成立。假设。因此，RA的关系把全集U分为叫做等价类的不相交子集，并且结果用形成了一个U的分区的U/A表示。等价类包括x用xA表示，即。在U/A中的分区被称为基础集。考虑到系统中的描述符xA的对象是不可识别的。给出一个任意的集合可能无法用U/A中的等价类精确描述X。在这个例子中，有人也许会用上，下近似来描述X： 下近似是和确定性属于X的对象德集合，然而上近似是可能属于X的对象的集合。既然RA是等价的，X的近似能被等价表示为(Yao, 1998; Zhang 等, 2001): 因此，相当于说U的一个元素必然属于X，如果所有它的等价元素属于X，反之它可能属于X如果至少一个它的等价元素属于X。()是分区U/A中X代表，或简单说相关于A德Pawlak粗糙集。在上，下近似发现后，粗糙集理论被用于获取确定的和可能的规则，例如Greco 等 (2001), Lin 和 Yao (1996), Pawlak (1991, 2001), Stefanowski (1998), Stefanowski 和 Vanderpooten (1994), Tsumoto (1998), 等。假设S=(U,AT)是一个不完全信息系统。对于任何aAT 和 vVa如果即那么x和y被称为有类似关系相关于属性a。此外，如果对象x和y被称为有类似关系相关于A当且仅当存在tFDES(A)即。这些关系如此把全集U分为几个可能重叠的子集，并且结果用U/A表示，其中形成U的一个覆盖。这能用 很容易指出。在覆盖中包括x的集合被叫做相关于A的相似类并用A(x)表示，即。在U/A覆盖中的集合被称为初级。备注1. 一般来说，x的相似集不是全集的子集，而是全集的字集的一个无穷集。因此这里介绍的定义是和Kryszkiewicz (1998a, 1999a) 和 Lingras 和 Yao (1998)介绍的不同的。例2. 在例1中由于相同的值H适用于存在于x2, x5, 和 x6的属性a，对象x2, x5和 x6共享一个相似关系，因此属于a的相同类。A的覆盖和AT=a,b能用如下得出： 可以很容易得到a(x2)=x1,x2,x3,x6,x7,x2,x5,x6。对象x2对存在于不止一个a初集中。假设且。X相关于A的上，下近似分别用和表示，表示如下： 显然。中的要素能用属性集A分为集合X关于充分肯定的项，而中的要素能用属性A分为X关于部分肯定的项。类被称为X相关于A的边界并用BNA(X).表示。备注2.不同于Kryszkiewicz (1998a, 1999a)介绍的不完全信息系统中德近似集，我们这里定义的近似集不是全集的子集而是一个全集的子集的无穷集。假设s=(d,w)DES(d) 且 tFDES(A), 如果 (),那么我们称t为s的一个下近似（上近似）描述符。所有s的下(上）近似描述符用（）表示。并且，如果那么t被称为s相关于A的边界描述符。所有s相关于A的边界描述符用BNDESA(s)表示。用这种方法我们不但能粗略估计集合而且能粗略估计描述符（程式）。性质3如下表现了决策类的近似能用广义决策的平均来表示。性质3. 假设是一个不完全决策表，wVd, tDES(AT), 那么类似于性质3的性质也已经被Kryszkiewicz and Rybinski (1998, 2000)得到。例3. 在例1中假设。这能计算出： 同时 4. 决策规则的定量措施隐藏在不完全决策表中的知识也许是以决策规则：, 其中 且,的形式被发现和表达的，t和s分别叫规则的条件和决策部分。我们会说对象不完全决策表中xU支持规则当且仅当。在决策部分和单一决策值一起的规则将被称为明确的，反之被称为不明确的。很多关于决策规则的量化措施已经在粗糙集理论中被提出和研究。它们每个都获得规则的不同特点。大多数这方面问题的研究集中在完全决策表中(Pawlak, 2001; Slowinski 和Stefanowski, 1994; Tsumoto, 1998; Yao 和 Zhong, 1999)。然而在不完全决策表中这更复杂，因为在完全信息系统中所有AT初级的无穷集形成一个决策的全集的分区，然而在不完全信息系统中形成一个决策全集的覆盖。在本节中，新的关于不完全决策表中决策规则的量化措施被提出。一些现有的措施被检查并和新的措施比较。在以下的讨论中，将是不完全信息系统，且tDES(AT)。4.1.两个基本数量和描述符一个关于描述符t的基本数量被称为中t的相关率，并被表示为(Yao and Zhong,1999) 。t的相关率反映了论术的全集中对于描述符t支持的相关规模。这个数量也许被看做是支持t的论述的全集中的一个随机选择对象的概率。我们现在定义另一个关于描述符t的基本数量叫做在如下中t的随机概率： t的随机概率是全描述符比t小的发生概率和中全描述符的发生概率的比值。这个数量可能会被视为一个随机选择的全描述符比FDES(AT)中t小的概率。显然如果tFDES(AT)，那么 因此 由于形成一个论述全集的覆盖，通常我们得到 只有当是一个完全决策表这个不等式才能变成等式。在这种情况下，我们得到G(t)=RG(t)对于所有。4.2.确定性因素对于每个确定的决策规则，在不完全决策表中，我们联合一个在中叫做确定性因素的规则的量化措施，这是(Pawlak, 2001)定义的 。的数量表现了支持s也支持t的对象的基数比中支持s的对象的基数。如果，那么中支持s的对象(100a)%也支持t。在不完全决策表中，这能解释为如果一个对象有决策描述符s那么对象有决策描述符的概率是a。由于形成一个论述的全集的覆盖，那么一般我们有 当是一个完全决策表， 现在我们定义两个关于不完全决策表中决策规则的新的量化措施。4.4. 随机确定因素量化措施 被叫做中决策规则的随机确定因素。数量反映了条件描述符t决定决策部分s的可靠度。如果=a，那么全描述符的(100a)%比t小引发决策s。或者，如果t发生在决策规则的条件部分，那么决策符是s的概率是a。如果，那么 。同时我们有 。这能用如果是完全决策表，那么规则的随机确定因素就和规则的确定因素一样来验证。4.5.随机覆盖因素量化措施联系规则，s=(d,w)， 被叫做的随机覆盖因素。不同于确定因素，反映了条件t实际上引发决策s的可靠度。因此随机覆盖因素也许能被用于解释不完全决策表中决策方面，即，它给出已制成的决策的原因。如果，那么s关于可靠度a应归于t能被解释。特别是如果，那么我们说决策s完全被描述符t决定。这能简单表示为 尤其如果，那么 同时我们得到 当不完全决策表退化为一个完全决策表，决策的随机覆盖因素退化为覆盖因素，即。5. 不完全决策表中描述符的减少5.1. 描述符的约简假设=（U; AT）是一个不完全信息系统。假设且。描述符被叫做中t的约简描述符，即 ，且。在这种情况下，被叫做中A关于t的约简。在不完全信息系统中t的所有约简描述符的集合用redes(t)表示。备注3. 描述符的约简使我们能用更少的必须的极小属性来划分对象。这可以看出描述符t的约简是描述符包含t保持t的相同支持。也就是说，描述符t的约简是在保存了t的相同支持的顺序的空间的极大元素。例4. 在例1中能计算出 redese（a，N）（a，N）)= （a，N）（b，N）被对象x1; x2; x3; x7支持, redese（a，N）（b，H）)= （a，N）（b，H）被对象x3; x6支持, redese（a，H）（b，N）)= （a，H）（b，N）被对象x2; x5支持, redese（a，H）（b，H）)= （a，H）（b，H）被对象x5; x6支持, redese（a，L）（b，L）)= （b，L）被对象x4支持, redese（a，L）（b，N）)= （a，L）（b，N）被对象x7支持.5.2. 描述符的相对约简在这部分中，我们介绍两个在不完全决策表中描述符的相对约简：广义决策约简和决策约简。5.2.1. 描述符的广义决策约简假设=（U，AT U d是一个不完全决策表且。描述符指中t的广义决策约简，即 ，且。在这种情况下，指的是中AT相关于t的广义决策约简。所有中t的广义决策约简的集合用gdre(t)表示。描述符指的是中t的最佳广义约简描述符，即是一个极小数如是中的一个广义决策约简描述符。中t的所有最佳广义决策约简描述符的集合用ogdre(t)表示。然而，t的最佳广义决策约简描述符是一个包含t的描述符，有最小长度描述符且保持t的相同广义决策。5.2.2 描述符的决策约简假设是一个不完全决策表且。描述符指中t的决策约简，即 且，使得满足，其中被称为t的决策分布并被表示为 在这种情况下，指中AT相关于t的决策约简。中t的所有决策约简的集合用mdre(t)表示。能观察到如果是t的决策约简，那么。描述符指的是中t的一个最佳的决策约简，即是一个满足是中的决策约简的极小数。所有中t的最佳的决策约简的集合用omdre(t)表示。因此t的一个最佳的决策约简是一个包含t的描述符，有极小描述长度且保持t的相同决策分布。6. 不完全决策表中决策规则的介绍在粗糙集研究中很多种属性约简和决策结果已经被提出。例如Kryszkiewicz (2001a)已经制定了在矛盾的完全决策表中知识约简的传统类型之间的关系。在本部分中，我们通过使用在矛盾的完全决策表中的描述符的约简研究了规则约简。我们用规则约简来覆盖所有论述全集中的对象。广义决策约简和决策约简被用来处理一致和不一致的数据。根据两个不同基本要求它们能被用在不完全决策表中的最佳确定的和关联规则建设上。6.1. 决策规则的类型假设是一个不完全决策表，。l 决策规则指不完全决策表中成立的即。当是成立的，我们用代替表示。l 决策规则指不完全决策表中确定的即它是明确的和成立的。l 指不完全决策表中的关联规则即它是明确的且。l 指不完全决策表中的不精确的关联规则即它是明确的，不成立的，但。l 确定的决策规则，指不完全决策表中最佳广义决策规则即t是中的一个最佳广义决策约简描述符。l 不精确的关联规则，指不完全决策表中最佳的广义决策规则即t是中最佳的广义决策约简描述符。l 不精确的关联规则，指不完全决策表中最佳的决策规则即t是中最佳的决策约简描述符。应当指出，对于一个最佳的确定的决策规则，t是中最佳的广义决策约简描述符和最佳的决策约简描述符。使用相关于不完全决策表中有条件的属性集合的每个决策类的上，下近似，所有来自不完全决策表的成立的，确定的，关联规则能被表现。命题1. 假设是不完全决策表且那么 决策规则在中是成立的。命题2. 假设是不完全决策表。如果是明确的，且；那么决策规则在中是确定的。命题3. 假设是不完全决策表。如果是明确的，且；那么那么决策规则在中是关联规则。命题4. 假设是不完全决策表。如果是明确的，且；那么那么决策规则在中是不确切的关联规则。下列命题表明明确的决策规则类型也能用规则确定因素的方法表示。命题5. 假设且那么(1) 是一个确定规则即。(2) 是一个关联规则即。(3) 是一个不确定的关联规则即。6.2. 最佳的确定的决策规则这能很容易观察到最佳的确定的决策规则是在中规则的条件部分中有最小描述长度确定和论述全集中最大的支持的决策规则。性质4. 如果且那么因此，最佳确定决策规则也许被认为是一个用户规定的阈值其中t是DES(AT)中的最大元素和部分顺序关系如决策规则是确定的。6.3. 最佳关联决策规则的两种类型如果是一个不精确的关联规则，即，且，那么我们能从6.1部分看出这和最佳的关联规则的两种类型是关联的，一个是最佳广义规则，另一个是最佳决策规则。在不完全决策表中的最佳广义规则是一个不精确的关联规则，其中条件部分是不完全决策表中的一个最佳的广义决策约简描述符。这可以看出最佳广义决策规则是在规则的条件部分有极小描述长度不精确的关联规则来保持中一些全描述符的相同广义决策。应当指出的是，尽管是中的最佳广义规则，也可能存在描述符即是确定的。不完全决策表中的最佳决策规则是一个不精确的关联规则，其中条件部分是不完全决策表中最佳决策约简描述符。可以看出最佳决策规则是有极小描述长度来保持中一些全描述符的相同决策分布的不精确关联规则。而且，如果是中最佳决策规则，那么是对于的不精确关联规则。性质5. 如果是不精确的关联规则，且，那么是不精确的关联规则。因此我们从性质5知道最佳的决策规则能被当做一个用户确定的阈值，其中t是一个DES(AT)中关于在对于需求的规则主题的条件部分集合的部分顺序关系的有中的一些全描述符的相同分布的极小元素。性质6. 。例5. 在例1中我们能用4个表1中的量化措施得到所有最佳确定的和关联规则。最佳确定决策规则是 最佳决策规则是 从第一个规则r1我们能得出以下结论:有正常收缩压和正常舒张压的对象百分之五十有正常血压。如果对象有正常的血压，那么对象有正常收缩压和正常舒张压的概率是一。如果条件是正常收缩压和正常舒张压，那么血压是正常的概率是0.50。正常血压取决于正常收缩压和正常舒张压的可靠度是2/3。其他规则也有类似解释。从两个正确的决策规则得到的五个最佳决策规则 最佳广义规则是规则的解释近似于规则。7. 结论在这篇论文中我们制定了在不完全信息系统和不完全决策表中知识获取的研究的总体框架。不同于只能近似集合的标准的粗糙集模型和广义的粗糙集模型，拟议的粗糙集途径使我们能近似估计不止集合，还有描述符。用这些近似，准确，确定和关联规则，从矛盾的不完全决策表中可以推导。一种描述符的约简和描述符的相对约简已近被提出来满足两中不同需求，即有极小描述长度和保持描述符的相同广义决策的广义决策约简，反之有极小描述长度和保持描述符的相同决策分布的决策约简。基于描述符的相对约简，最佳确定和最佳关联规则已经被得到。两个新的量化措施，随机确定因素和随机覆盖因素，已经被提出用来获取不同特点的规则。由于不完全决策系统是比完全决策系统更复杂的，不完全信息系统中的不同需求下的知识获取研究是必要的。对于今后的研究，提出的途径能被推广到更一般和复杂的信息系统如不完全模糊信息系统。感谢作者要感谢无名介绍者提出的宝贵的意见的建议。改项目是由香港研究资助理事会的香港中文大学专项补助资金4362/00H，中国国家973计划(no. 2002CB312200),中国国家自然科学基金会(no. 60373078),和中国博士后科学基金会(no.2003034409)资助的。附录A. 性质和命题的证明性质1的证明. 假设，即对于所有，我们能得到。对于任何，由于我们得到。因此对于任何 ，即。性质2的证明. (1) .由于，我们得到d(x)=w,，因此，。应该被注意的是表示。因此，。应该被注意的是即d(x)=w，对于所有成立。因此，对于所有，我们得到，即。(2) . 由于，我们能选择。这表示存在满足d(y)=w。因此。由于，那么存在满足w=d(x)，因此。由此可知。性质3的证明. (1) 和 (3)能从性质2的(1)直接推导，(2) 和 (4)能从性质2的(2)直接得到。命题1的证明. 应该注意的是即。那么即。因此 是真命题。因此命题1是真命题。命题2的证明. 这能直接从命题1获得。命题3的证明. 应该注意的是即。因此 是可能的因此命题3是真命题。命题4的证明. 这能从命题2，3，5直接得到。命题5的证明. (1)(4)能直接从命题14分别得到。性质4的证明. 应该注意的是即。由于，我们从性质1得到。因此即。性质5的证明. 应该注意的是是一个不精确关联规则即且。由于，我们从性质1得到。因此且，即是一个不精确关联规则。性质6的证明. 只需要证明 实际上，对于任何，假设w0=d(y)，即，那么满足 参考文献Bodjanova, S., 1987. Approximation of a fuzzy concepts in decision making. Fuzzy Sets and Systems 85, 2329.Chan, C.C., Grzymala-Busse, J.W., 1994. On the two local inductive algorithms: PRISM and LEM2. Foundations of Computing andDecision Sciences 19, 185204.Dembczynski, K., Greco, S., Slowinski, R., 2002. Methodology of rough-set-based classification and sorting with hierarchical structureof attributes and criteria. Control and Cybernetics 31 (4), 891920.Dubois, D., Prade, H., 1990. Rough fuzzy sets and fuzzy rough sets. 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