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19世纪的数论姓名：马蓉 学号：S120721 专业：学科教学（数学）摘要19世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代。复变函数论的创立和数学分析的严格化，非欧几何的问世和射影几何的完善，群论和非交换代数的诞生，是这一世纪典型的数学成就。它们所蕴含的新思想，深刻地影响着后世的数学。数论是研究整数性质的一个数学分支，历史悠久，而且有着强大的生命力，形式简洁优美但内容丰富深刻1。从历史上来看，随着一个个数论问题的提出和解决，越来越多的数论问题又提了出来，数论的历史可以说是数论问题提出和解决的历史，在这个历史的长河中，产生出解决问题的技术和方法，也形成一些理论。代数数论是伴随着数域的扩张及其实际问题的需要，由整数论和复整数论发展而来的，是数学本身和社会需求两者相结合的自然产物。关键词：19世纪；数论；演变历史；现代数论的统一理论开端于1801年高斯24岁时的不配著作算术探讨，它确定了至今有关这一课题的研究方向。数论中许多问题和结果是提法一般都非常简单，但定理的证明却往往十分困难，常常需要广泛而深奥的数学工具。现今的数论广泛地使用抽象代数（主要在代数数论中）。在Gauss关于数论的著作中有三个主要思想：同余的理论，代数数的引进，以及作为Diophantine分析的指导思想的型的理论。在19世纪另外重要的发展有Dedekind的理想和解析数论。一、 同余理论 在19世纪以前，数论只是一系列孤立的结果，但自从高斯在1801年发表了他的算术研究后，数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展。算术研究中有三个主要思想：同余理论，复整数理论和型的理论。其中复整数理论正是代数数论的开端，而这个理论又是从高斯对同余理论的研究中派生出来的。如果 a , b , m 是整数，并且ab 能被m 整除，那么这时就说 a 和 b 关于模 m是同余的，高斯将这一事实记为 a b (mod m ), 它也称为同余式。对于模相同的同余式，可以像等式那样来处理。例如，从 a b (mod m ) 和 a b (mod m ), 可以得出 a a b b (mod m ) 。高斯特别研究了二次剩余。而关于二次剩余和二次非剩余，有一个著名的定理与之相联系，高斯称之为二次互反律： 设 p 和 q 是两个相异的奇素数，如果乘积 是偶数，则当且仅当有解时，有解 ；如果上述乘积是奇数，则当且仅当无解时，有解 。利用勒让德后来引入的一个记号 （q / p）：还可以把二次互反律表达成如下优美的形式： 它最先由欧拉所发现，但缺少证明。高斯非常欣赏这个定律，把它誉为“算术中的宝石”2，算术研究中就有该定律的一个完全证明。高斯在证明了二次互反律之后，试图将它推广到三次或四次互反律，但他发现为使三次和四次剩余的理论简单、优美，就必须超出通常的整数范围，引进复整数，即实部和虚部皆为整数的复数。对于复整数可以像处理普通整数那样讨论它的数论性质。从而开辟了数论的一个新天地。二、代数数数学家借鉴高斯的思想来研究费尔马大定理。费马猜想（或称费马最后定理，费马大定理）3：，n2没有整数解。这个猜想大约在1637年写在丢番图所著算术第二卷命题8“将一个平方数分成两个平方数之和”的旁边。费马猜想从1670年发表到1840年拉梅证明n=7情形为止的170年中，费马猜想的证明进展非常缓慢；1779年，欧拉证明n=3，不久，又证明n=4；1823年，勒让德证明n=5；1840年，拉梅证明了n=7；19世纪20年代，自学成才的法国妇女索菲亚证明了：在假定x、y、z与n互质的情况下， n为小于100的所有奇素数时，费马猜想成立。我们知道，如果方程没有正整数解，那么对n的每个正倍数m=nl，方程也没有正整数解，所以我们只需对每个奇素数P，证明均没有正整数解。库默尔引入复数，把方程分解为：然后，讨论在通常整数环Z中加入之后扩大的环。如果环有唯一因子分解特性，则方程，没有正整数解，即费尔马大定理对，n=p成立。库默尔把称为复整数，即今天的分圆整数。1843年，库默尔对整数、素整数、可除性给出了适当的定义，然后假设唯一因子分解定理在分圆整数中成立。他将手稿寄给狄利克雷(PGL，Dirichlet1805-1859)4的时候，指出这个假设对证明费尔马大定理是必须的。狄利克雷回复他，唯一因子分解只对某些素数成立。1844年，库默尔验证了，当P是小于等于19的奇素数时，环具有唯一因子分解特性，从而费尔马大定理对3n22的所有n都成立。他还证明了环不具有唯一因子分解特性16。于是，库默尔认识到了自己的错误，遗憾地进行了澄清。这一结果无论对互反律的研究，还是对费尔马大定理的证明都是一种打击。问题的关键是如何在分圆整数中建立起唯一因子分解。从1844年开始，库默尔为了改变这种状况，努力在分圆整数中重新建立起唯一因子分解，发展了理想数理论，证明了费尔马大定理对3n100范围内成立.复整数有两种一般化，为了理解库默尔的理想数理论的基本思想，我们考虑复整数的第二种一般化：二次数域，即形如的数的集合，这里a，b是任意整数为一个固定整数。唯一因子分解在二次数域中也不成立。雅可比曾经提到可以应用这类数来证明三次互反律。之前，欧拉在研究形如的数的算术性质的时候，也曾研究了这类数。欧拉在他的早期论文中，模糊地假定了形如的数所生成的域具有唯一因子分解特性，但这种假定是错误的。如：，而且很容易证明，这4个因子全部是素整数。这时，唯一因子分解定理不成立。对于这个域，如果我们引进理想数：那么。这样，可以把6唯一地表示为4个因子的乘积，而且就域而言，这4个因子全部是理想数，它们本身不在当中。实际上，人们在应用库默尔理论研究因子分解问题时，不必把理想数明确地表示出来，而只须将它们作为实际因子来分析即可。库默尔在1846年首次公布理想数理论。他把分圆整数分解为它的素因子的乘积，当素因子不存在时引入理想素因子，进而证明普通数论中成立的一些结果在分圆数域中同样成立，特别是得出了分圆数域的主要性质：m整除n当且仅当m的每一个素因子也包含在n中，且重数相同。由这一性质可得，任意两个含有相同重数理想素因子(除单位因子)的分圆整数是相同的。在这一意义上，得到了分圆整数的唯一因子分解定理，使得一些问题迎刃而解5。这阐述和证明了一个非常一般的高次互反律，甚至在此前，就给出了费尔马大定理在一个很大的素指数集合上成立的证明，使得费尔马大定理的研究迈出了关键性的一步。这也是费尔马大定理求证过程中的第一次突破。希尔伯特曾经说费尔马问题是一只会下金蛋的鹅，那么我们也可以毫不夸张地仿效前人说，任何有价值的问题都是会下金蛋的鹅，而且也在数论的成长中感受到了金蛋的光辉。高斯和库默尔的新数学思想极大地推进了近世代数学的发展，开创了全新的代数数论。标志着19世纪的数论取得巨大进步，也开启了用深刻代数工具来研究数论问题的新时代，而其中唯一因子分解的探讨是问题的核心。另外两位德国数学家狄利克雷和戴德金传承优秀思想并勇于创新，把高斯和库默尔的这种研究在理论上进行一般化和系统化，建立起任意代数数域的理论。代数数论从一种代数工具慢慢演化为有着自身问题的理论，亦即由问题汇编过渡到有对象的理论，逐渐成为一门独立而应用广泛的学科，就如一幅色彩绚丽的画卷缓缓打开，留下很多杰出数学家浓墨重彩的一笔。三、 Dedekind的理想 戴德金将代数数的概念一般化之后，遂开始重建代数数域中的唯一因子分析定理，他引进了代数数类来代替理想数，为了纪念库默尔的理想数，他把它们称为理想。代数数域中整数环的除子半群中的元素。理想数的概念是由德国数学家库默尔在研究分圆域上的算术时提出来的。在19世纪中叶，很多数学家还不清楚在代数整数环中是否和整数环一样有素因子唯一分解定理，就连大数学家柯西也认为唯一分解是对的。库默尔就此问题与狄利克雷展开讨论，在1844年他认识到分解是不唯一的。于是，在18451847年库默尔提出了理想数的概念。如果从理想数的观点看，整数环的分解是唯一的。库默尔的理想数就是现今理想的雏形。在库默尔理想数理论的基础上，戴德金和克罗内克创立了一般理想理论。戴德金将每个理想数与环中的理想一一对应起来，这个理想被他定义为环中由0及能被这个理想数整除的所有元素组成的子集。若al，an是理想 I 的生成元，则对应于I的理想数是理想数(a1)，(an)的最大公因子。后来，理想的概念推广到任意环上，那些理想概念与除子概念相一致的环，现称之为戴德金环。戴德金在研究这一课题时，首先发现库默尔把素理想数和素整数进行了错误的类比，然后指出了库默尔理论的缺陷。他注意到，一个理想数由它所整除的所有复整数决定，于是他把理想数看成是它所整除的所有复整数的集合。为了纪念库默尔的理想数，他把后者命名为理想(Ideale)6。他证明，在所有分圆整数子集中，理想可由下面两条性质刻画：(1)一个理想中任何两个分圆整数的和仍属于这个理想；(2)一个理想中的分圆整数与任何分圆整数的乘积仍属于此理想。这样，他完成了由理想数到理想的推广，也就是由数到集合的推广，并且由上述两条性质来定义。更值得注意的是，戴德金的理想从分圆数域推广到任意代数数域，其后又推广到任意数环乃至一般环上。从1871年到抽象代数正式建立之前，理想论成为一个独立的数学分支，有着各种各样的应用。”戴德金的理想论共有四版。第一版首次于1871年在狄利克雷数论讲义(Vorksungen oher zahlentheorie)的第二版的第-个附录中得到削述，后经两次修订；第二版是1878年用法文写的；第三版和第四版分别于1879年和1894年在狄利克雷数论讲义的附录十一中发表。在这几个版本中，理想论的概念基础越来越雄厚，但基本思想一致。现在，我们比较详细地来介绍这些版本的情况。理想论第一版以一些相关概念为开端，这是戴德金惯用的方法。他引入了代数数及代数整数概念，定义了域(KdrDer)，不过尾数域；他定义了模(Modul)的概念7。然后他给出r理想的定义，其基本思想是重点讨论由任一因子(“实际的”或“理想的”)整除的数集的性质，而不是由数本身整除的性质。他接着给出了主理想、整除、素理想和单理想的概念，定义了理想的乘法运算。在结尾部分，才定义了理想的乘积。有了乘积的定义，就可以不必引入单理想，而直接叙述因子分解定理。理想论第一版在很大程度上把库默尔的结果直接转化成了理想的语言。他成功地引入了一些新概念，推广了库默尔的因子分解定理，但是没有深入发掘这些概念的本质。理想论第一版没有立刻引起广泛的共鸣。有鉴于此，另外在听取了李普希茨(LiDschj z，R18321903)的建议后，戴德金决定改变一下叙述方式。在1877年法文版中，他不先叙述一般概念，而先叙述一些具体问题，使之更具有说服力。下面我们以1879年版为例来详细介绍，因为它与法文版在本质上几乎是一样的。理想论第三版也是狄利克雷数论讲义8的一个附录。它与法文版不同的是没有实例和序言。戴德金运用不同的方式重新阐述了第一版的结果。他一开始就定义了理想的乘积，讨论了它的性质，展开了对理想的讨论，而这恰好是第一版的结尾。这样可以不去讨论单理想，就能用更简洁的语言叙述第一版的结果。代数整数环是序环的特例。最后给出了理想论基本定理：代数数域中任一非单位的理想可唯一地表示为素理想的乘积。虽然戴德金对问题有了更加深刻的认识，对概念之间的关系有了更加清楚的了解，但是戴德金没有深入剖析这一点，主要原因在于他只是对理想进行唯一因子分解，而把有关序环的一般理论置于次要地位。理想论只是一种工具，而不是研究对象。后来，E诺特(Noether，E18751959)完成了戴德金在这里未竞的事业。理想论第四版也是狄利克雷数论讲义的附录。它发表于1894年，发展了1879年版的一些概念和结果，在方法上有了更加深刻的变革，而且得出了一些有意义的新结果。这一版先是讨论了伽罗瓦理论，然后较详细地阐述了模代数。因为它是因子分解理论的基础，而较早的版本没有给予足够的重视。他利用模代数语言重新定义了一些概念，叙述并证明了升链条件。这样，通过十分简洁的工作就得到了理想论的其余结果，包括理想的唯一因子分解定理，而理想论是由模代数推导出来的，模代数的运算以集合的包含性质为基础。这样，就会把注意力落在集合上，而不会落在集合中的数上。据后来的E诺特可知，戴德金曾策划过狄利克雷数论讲义附录的第五版，其中包括更为详尽的理想论基础。但未能成行。这里还需要特别指出一点，戴德金的理想概念的发明与他的实数理论的截断概念是分不开的。在戴德金理想论的各版本中，理想从来不是作为环这样一种更一般代数结构出现的。序环虽在形式上等价于环，但没有为理想的研究提供一般结构，而环在现代代数概念中能够做到这一点。理想只是一种数集，而不是带有抽象运算的非空集合。总之，戴德金建立起了比较系统的代数数论，他的理论框架至今仍然采用，这个框架对于结构数学的发展至关重要。我们认为戴德金理论具有如下特点：原来的数论讨论的是有理数特别是整数的性质，它的目标是证明一个正整数的一般定理，其中丝毫不涉及整数或有理数的集合。通过对理想概念的历史演变的研究，我们知道，到1926年理想理沦已基本完善。但这并不等于说理想理论的研究就偃旗息鼓了。在E诺特的影响下，克鲁尔、范德瓦尔登(van derwaerden，19031996)和薛华(chevallev，c19091984)等人为这一崭新理论的进一步发展和开拓广泛的应用领域作出了重大贡献。1932年，克鲁尔开创了局部环的理想论，这一观点对代数几何学的发展有深远影响。随后范德瓦尔登着手把理想论作为代数几何的新基础，实际上代数几何的问题也就是交换环的理想问题。40年代，随着抽象代数学和拓扑学的进一步发展，法国数学家薛华荔发展了克鲁尔创始的局部环的理想论，引进了拓扑概念，并应用于相交重数问题。理想理论的枝叶越来越茂盛，果实越来越丰硕。这有待于我们去研究和思考。四、 型的理论19世纪中叶，西尔维斯特与凯莱等一批数学家开展了对代数型的研究所谓代数型是指包含n个变元xl，x2，Xn的m次齐次多项式，最常见的是二次型，即代数不变量的问题先前产生于数论，特别在研究二元二次型:在X与Y用线性变换丁变换时是如何变换的，这里的T即: 其中将T应用于f得出:在数论中，诸量都是整数,r=1然而，一般地说f的判别式满足关系式: 是正确的。1801年高斯在算术研究中将瑞士数学家欧拉、拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广。过程如下：一整数玎如果表示成整数a、b、x、y的形式:称为用型表出。如果设令：则F变换成一个新的形式：其中F的系数依赖于F的系数和变换本身。高斯指出如果F通过另一个变换：变成F，那么这两个变换的复合就是一个把F变成的新的变换这个新变换的系数矩阵是原来的两个变换的系数矩阵的乘积。这实际上给出了两个线性变换的复合，而这个复合的新变换的系数矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积。随后，在第六部分，高斯又研究了三元二次型：的一个类似的计算过程，这实际上给出了33矩阵相乘的法则。高斯尽管把变换的系数写成矩阵阵列的形式，甚至用单个的字母S指代一个特殊的变换，但是没有明确指出这种复合的思想就是乘法。另外，高斯还从拉格朗日的工作中抽象出了型的等价概念，在研究两个互逆变换的过程中孕育了两个矩阵的互逆概念。若则线性变换中的系数都是整数，将变换成，这样高斯就定义了与等价。其实质也就是蕴含了系数矩与互为逆矩阵的思想。另一方面，如果上面的线性变换写成把X，Y看成已知数，其实就是克拉姆1750年解线性方程组的法则。中间消去Y，得到X的过程如下：这就是现行教材中高斯消去法解线性方程组的过程，与九章算术解三元线性方程组的方法一致。高斯，德国数学家、物理学家和天文学家，出生于德国布伦兹维克的一个贫苦家庭。青少年时期就有非欧几何的思想，开创了数论、椭圆函数论、微分几何、概率统计论等诸多领域，并著述卓越。他第一个给出代数基本定理的严密证明。雅可比在对椭圆函数论的研究产生疑惑时曾宣布“无法达到像高斯那样的严密”。高斯以其独到严密的数学方法、非同一般的创造力赢得了后人对他“数学王子的高度评价。在研究化简变数的二次型中任何变换下不变性由此产生。数论中的二次型引发的代数不变量引起了数学家的兴趣。五、 解析数论在分析严格化的同时，数学家开始更自觉地将分析工具应用于其他数学分支。解析数论的形成，正是分析方法在数论中的应用结果。事实上，欧拉在数论中已引进了分析方法。不过这种方法在当时还显得十分有限而不成熟。解析数论作为有意识使用分析方法研究数论问题的一门分支是从狄利克雷开始的。1837年，狄利克雷利用分析方法证明了欧拉和勒让德早先提出的一个猜想，即每一个算术序列a + n b（a, b互素）中都有无穷多个素数。在证明中，狄利克雷引入了后来随其命名的L函数，其中是复变数，称为狄利克雷（剩余）特征标。此后，狄利克雷L函数成为研究数论问题的重要工具。不过促使解析数论取得长足进展的重要因素是关于素数分布问题的研究。若以p(x)表示不超过x的素数的个数。欧拉、勒让德、高斯都曾推测但他们都未能给予证明。这就是著名的素数定理。最先在这方面作出贡献的是俄国数学家切比雪夫。他在1850年给出