【全程复习方略】（文理通用）高三数学一轮复习 数列的综合应用专项强化训练精品试题 (2)(1).doc

【全程复习方略】（文理通用）2015届高三数学一轮复习 数列的综合应用专项强化训练精品试题(45分钟100分)一、选择题(每小题6分,共30分)1.设an是公差不为0的等差数列,a1=2且a1,a3,a6成等比数列,则an的前n项和sn=()a.n24+7n4b.n23+5n3c.n22+3n4d.n2+n【解析】选a.设数列an的公差为d,则根据题意得(2+2d)2=2(2+5d),解得d=12或d=0(舍去),所以数列an的前n项和sn=2n+n(n-1)212=n24+7n4.2.(2014金华模拟)设等差数列an的前n项和是sn,若-ama10,且sm+10b.sm0c.sm0,且sm+10d.sm0,且sm+10【解析】选a.因为-ama10,且a1+am+10,且sm+10,把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为()a.an=n(n-1)2,nn*b.an=n(n-1),nn*c.an=n-1,nn*d.an=2n-2,nn*【解析】选c.当x0时,g(x)=f(x)-x=2x-1-x是减函数,只有一个零点a1=0;当x0时,若x=n,nn*,则f(n)=f(n-1)+1=f(0)+n=n;若x不是整数,则f(x)=f(x-1)+1=f(x-x-1)+x+1,其中x代表x的整数部分,由f(x)=x得f(x-x-1)=x-x-1,其中-1x-x-10,y0),已知数列an满足:an=f(n,2)f(2,n)(nn*),若对任意正整数n,都有anak(kn*)成立,则ak的值为()a.89b.2c.1d.4【解析】选a.an=2nn2,an+1an=2n+1(n+1)22nn2=2n2(n+1)2,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当n=1,2时,2n2(n+1)2,即当n3时,an+1an,故数列an中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=89,故ak的值为89.5.把100个面包分给五个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的17是较小的两份之和,问最小一份为()a.53b.103c.56d.116【解析】选a.设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d0),则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,所以a=20.由17(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得3a+3d=7(2a-3d),所以24d=11a,所以d=556,所以,最小的一份为a-2d=20-1106=53.【方法技巧】建模解数列问题对于数列在日常经济生活中的应用问题,首先分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系,然后构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题,最后通过建立的关系求出相关量.二、填空题(每小题6分,共18分)6.(2014太原模拟)已知正项等差数列an满足:an+1+an-1=an2(n2),等比数列bn满足:bn+1bn-1=2bn(n2),则log2(a2+b2)的值等于.【解析】由题意可知an+1+an-1=2an=an2,解得an=2(n2)(由于数列an每项都是正数,故an=0舍去),又bn+1bn-1=bn2=2bn(n2),所以bn=2(n2),所以log2(a2+b2)=log24=2.答案:27.数列an中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是.【解析】根据题意结合二次函数的性质可得:an=-2n2+29n+3=-2n2-292n+3=-2n-2942+3+29298.所以n=7时,a7=108为最大值.答案:108【加固训练】已知函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=3,数列an满足an=f(n),则a12+a2a1+a22+a4a3+a32+a6a5+a42+a8a7+an2+a2na2n-1=.【解析】令y=1得f(x+1)=3f(x),故a1=3,an+1=3an,即数列an是首项为3,公比为3的等比数列,所以an=3n,所以an2+a2na2n-1=32n+32n32n-1=6,所以所求结果为6n.答案:6n8.等差数列an的首项为a1,公差为d,前n项和为sn,给出下列四个命题:数列12an为等比数列;若a2+a12=2,则s13=13;sn=nan-n(n-1)2d;若d0,则sn一定有最大值.其中真命题的序号是(写出所有真命题的序号).【解析】对于,注意到12an+112an=12an+1-an=12d是一个非零常数,因此数列12an是等比数列,正确.对于,s13=13(a1+a13)2=13(a2+a12)2=13,因此正确.对于,注意到sn=na1+n(n-1)2d=nan-(n-1)d+n(n-1)2d=nan-n(n-1)2d,因此正确.对于,sn=na1+n(n-1)2d,d0时,sn不存在最大值,因此不正确.综上所述,其中真命题的序号是.答案:三、解答题(每小题13分,共52分)9.(2014台州模拟)已知正项等差数列an满足a1+a6=a2(a3-1),公比为q的等比数列bn的前n项和sn满足2s1+s3=3s2,a1=b1=1.(1)求数列an的通项公式和公比q的值.(2)设数列ban的前n项和为tn,求使不等式3tnbn+2+7成立的n的最小值.【解析】(1)因为a1=1,a1+a6=a2(a3-1),所以2+5d=(1+d)(1+2d-1),得d=2或d=-12(舍).所以an=2n-1.由b1=1,2s1+s3=3s2,所以2+(1+q+q2)=3(1+q),所以q=0或q=2.因为bn为等比数列,所以q=2.(2)由(1)知bn=2n-1,所以ban=22n-2=4n-1,所以tn=4n-13,因为3tnbn+2+7,所以4n-12n+1+7,即(2n)2-22n-80,得2n4.所以n2,即n的最小值为3.【加固训练】已知等比数列an满足2a1+a3=3a2,且a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列an的通项公式.(2)若bn=an+log21an,sn=b1+b2+bn,求使sn-2n+1+470成立的正整数n的最小值.【解析】(1)设等比数列an的公比为q(q0),由2a1+a3=3a2,a2+a4=2(a3+2),得a1(2+q2)=3a1q,a1(q+q3)=2a1q2+4,由得q2-3q+2=0,解得q=1或q=2,当q=1时,式不成立,不符合题意,应舍去,当q=2时,代入得a1=2,则an=22n-1=2n.(2)因为bn=an+log21an=2n+log212n=2n-n,记cn=n,则bn=an-cn,数列an的前n项和an=2(1-2n)1-2=2n+1-2,数列cn的前n项和cn=n(1+n)2,所以数列bn的前n项和sn=an-cn=2n+1-2-12n(n+1),sn-2n+1+470,即2n+1-2-12n-12n2-2n+1+470,解得n9或n-10.故使sn-2n+1+470成立的正整数n的最小值为10.10.等差数列an中,首项a1=1,公差d0,已知数列ak1,ak2,akn,成等比数列,其中k1=1,k2=2,k3=5.(1)求数列an,kn的通项公式.(2)当nn*,n2时,求和:sn=a12k1-1+a22k2-1+an2kn-1.【解析】(1)a22=a1a5(1+d)2=1(1+4d)d=2,所以an=2n-1,所以akn=2kn-1,又等比数列中,公比q=a2a1=3,所以akn=3n-1,所以2kn-1=3n-1kn=3n-1+12.(2)sn=130+331+532+2n-13n-1,13sn=131+332+533+2n-33n-1+2n-13n,相减得到:23sn=1+231+232+23n-1-2n-13n=1+213-13n23-2n-13n=2-2n+23n,所以sn=3-n+13n-1.11.已知二次函数f(x)=ax2+bx的图象过点(-4n,0),且f(0)=2n,nn*.(1)求f(x)的解析式.(2)若数列an满足1an+1=f1an,且a1=4,求数列an的通项公式.(3)记bn=anan+1,tn为数列bn的前n项和,求证:43tn2.【解析】(1)f(x)=2ax+b,由题意知b=2n,16n2a-4nb=0,所以a=12,b=2n,则f(x)=12x2+2nx,nn*.(2)数列an满足1an+1=f1an,又f(x)=x+2n,所以1an+1=1an+2n,所以1an+1-1an=2n,1an-14=2+4+6+2(n-1)=n2-n1an=n-122an=1n-122=4(2n-1)2(nn*),当n=1时,a1=4也符合.(3)bn=anan+1=4(2n-1)(2n+1)=212n-1-12n+1,tn=b1+b2+bn=a1a2+a2a3+anan+1=21-13+13-15+12n-1-12n+1=21-12n+1.因为2n+13,所以21-12n+143,又21-12n+12,所以43tn1,又pn0,则pn=f(n)=(2n-1)1.1n-1%为增函数.再验证:p7=131.16%23.03%20%,p6=111.15%17.72%20%,故从第七年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%.【加固训练】一企业的某产品每件利润100元,在未做电视广告时,日销售量为b件.当对产品做电视广告后,记每日播n次时的日销售量为an(nn*)件,调查发现:每日播一次则日销售量a1件在b件的基础上增加b2件,每日播二次则日销售量a2件在每日播一次时日销售量a1件的基础上增加b4件,每日播n次,该产品的日销售an件在每日播n-1次时的日销售量an-1件的基础上增加b2n件.合同约定:每播一次企业需支付广告费2b元.(1)试求出an与n的关系式.(2)该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大,求每日电视广告需播多少次.【解析】(1)由题意,电视广告日播k次时,该产品的日销售量ak满足ak=ak-1+b2k(kn*,a0=b),所以an=b+b2+b22+b2n=b+b121-12n1-12=b2-12n(nn*).所以,该产品每日销售量an(件)与电视广告播放量n(次/日)的关系式为an=b2-12n(nn*).(2)该企业每日播放电视广告n次时获利为cn=100b2-12n-2bn=100b2-0.02n-12n(nn*).因为cn-cn-1=100b12n-0.020即2n50,nn*,所以n5(nn*),因为cn+1-cn=100b12n+1-0.0202n25n5,所以n=5.所以要使该产品每日获得的利润最大,则每日电视广告需播5次.【加固训练】(2014常州模拟)如果有穷数列a1,a2,a3,am(m为正整数)满足条件a1=am,a2=am-1,am=a1,即ai=am-i+1(i=1,2,m),我们称其为“对称数列”.例如,数列1,2,3,4,3,2,1与数列a,b,c,c,b,a都是“对称数列”.(1)设bn是8项的“对称数列”,其中b1,b2,b3,b4是等差数列,且b1=1,b5=13.依次写出bn的每一项.(2)设cn是2m+1项的“对称数列”,其中cm+1,cm+2,c2m+1是首项为a,公比为q的等比数列,求cn的各项和s.(3)设en是2m项的“对称数列”,其中em+1,em+2,e2m是首项为a,公差为d的等差数列,求en的前n项和sn(n=1,2,3,2m).【解析】(1)设数列bn前4项的公差为d,b4=b1+3d=1+3d.又因为b4=b5=13,解得d=4,所以数列bn为1,5,9,13,13,9,5,1.(2)s=c1+c2+c2m+1=2(cm+1+cm+2+c2m+1)-cm+1=2a(1+q+q2+qm)-a=2a1-qm+11-q-a(q1).而当q=1时,s=(2m+1)a.所以s=(2m+1)a,q=1,2a1-qm+11-q-a,q1.