上海市金山区山阳镇九年级数学下册 24.5 三角形的内切圆课件 （新版）沪科版.ppt

24 5三角形的内切圆 九年级 下册 初中数学 回顾反思 从圆外一点可以引圆的两条切线 它们的切线长相等 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 切线长定理 如图 一张三角形的铁皮 如何在它上面截下一块圆形的用料 并且使圆的面积尽可能大呢 i d 思考 三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 三角形的内心 三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 它到三角形三边的距离相等 概念介绍 已知 如图 o是rt abc的内切圆 c是直角 三边长分别是a b c 求 o的半径r rt 的三边长与其内切圆半径间的关系 探究 1 求直角三角形内切圆的半径 p43习题25 6第5题 解 1 如图 o是rt abc的内切圆 13 求直角三角形内切圆的半径 ad af ce cf bd be a b c af fc ce be ad bd ce cf 2ce s aob s boc s aoc 1 2ab 1 2ra 1 2rb 1 2rc 2 连接oa ob oc 则s abc 解 1 如图 o是rt abc的内切圆 13 求直角三角形内切圆的半径 ad af ce cf bd be a b c af fc ce be ad bd ce cf 2ce s aob s boc s aoc 1 2ab 1 2ra 1 2rb 1 2rc 2 连接oa ob oc 则s abc 2 求一般三角形内切圆的半径 已知 如图 abc的面积为s 三边长分别为a b c 求内切圆 o的半径r 已知 如图 abc的面积为s 三边长分别为a b c 求内切圆 o的半径r 解 连接oa ob oc 则 s abc s aob s boc s aoc s 1 2ra 1 2rb 1 2rc 例 如图 abc中 abc 43 acb 61 点i是 abc的内心 求 bic的度数 a i c b 例题讲解 变式 abc中 a 40 点i是 abc的内心 求 bic的度数 bic 90 a 因为i是 abc的内心 所以ib ic平分 abc acb 在 ibc中 bic 1800 ibc icb 1800 abc acb 2 1800 430 610 2 1280因而 bic为1280 解 连接ib ic 例2 已知 abc是 o外切三角形 切点为d e f 若bc 14cm ac 9cm ab 13cm 求af bd ce a b c d e f x x y y z z 解 设af xcm bd ycm ce zcm则ae af xcm dc bd ycm ae ec zcm 依题意得方程组 14 小练习 1 边长为3 4 5的三角形的内切圆的半径为 2 边长为5 5 6的三角形的内切圆的半径为 3 已知 abc的面积s 4cm 周长等于10cm 求内切圆 o的半径r 1 如图 abc的内切圆 o与bc ca ab分别相切于点d e f 且ab 9cm bc 14cm ca 13cm 求af bd ce的长 x 13 x x 13 x 9 x 9 x 例题分析 2 abc的内切圆半径为r abc的周长为l 求 abc的面积 提示 设内心为o 连接oa ob oc o a c b r r r 若 abc的内切圆半径为r 周长为l 则s abc lr 例题分析 知识拓展 一 直角三角形的外接圆与内切圆 1 直角三角形外接圆的圆心 外心 在 半径为 a b c 斜边中点 斜边的一半 知识拓展 3 rt abc中 c 90 a 3 b 4 则内切圆的半径是 1 4 直角三角形的外接圆半径为5cm 内切圆半径为1cm 则此三角形的周长是 22cm 2 直角三角形内切圆的圆心 内心 在 半径r 三角形内部 回顾反思 1 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线 它们的切线长相等 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 回顾反思 2 三角形的内切圆 内心 内心的性质 1 如图 一圆内切于四边形abcd 且ab 16 cd 10 则四边形的周长为 a 50 b 52 c 54 d 56 课堂练习 b 2 已知 如图 pa pb是 o的两条切线 a b为切点 直线op交 o于点d e 交ab于c 1 写出图中所有的垂直关系 2 如果pa 4cm pd 2cm 求半径oa的长 课堂练习 解 1 oa pa ob pb pe ab 2 设半径为r 则pa2 pdxpe pd pd 2r 解得 oa r 3 3 试一试 如图 abc中 c 90 ac 6 bc 8 三角形三边与 o均相切 切点分别是d e f 求 o的半径 课堂练习 ab2 ac2 bc2 62 82 100 ab 10 证明 等边三角形的内心与外心重合 并且外接圆半径是内切圆半径的2倍 如图 等边 abc中 i为圆心 内切圆半径为r 外接圆半径为r求证 i为外心 r 2r证明 连接ai bi ci 并延长 分别交对边于d e f i是内心 ad cf bf分别是 abc的角平分线 又 abc是等边三角形 由等边三角形 三线合一 知ad be cf是 abc的三条高 也是三角形的中线 i是外心 由 知 bi r id r 在rt bid中 ibd 1 2 abc 30 id 1 2ib 即r 2r p43习题25 6第2题 解 设等边三角形abc 过点a作ad垂直于bc垂点为d 过b点做be垂直于ac垂点为ead与be相交于点i 连接ci 并延长ci交ab于gf ad和be为高 而abc是等边三角形 bd ae 1 2ac cbe dac 30 bea bda 90 bdi aei bi afi 又 bc ac ci ci bic aic bcf acf 所以cf ab id ie if分别垂直于ab bc ac i就是 abc的内心bi ic bd cd di di bdi cdi bf cf 同理可得bi ci f为 abc的外心 且di为内切圆半径 bi为外接圆半径 又 ad bc 所以三角形bdi为直角三角形 又 fbi 1 2 abc 30 id 1 2bi 用全等三角形详解 如图 圆o为 abc的内切圆 切点为e f g c 90 ao的延长线交bc于点d ac 4 cd 1 求圆o的半径r 解 连接of oe 则ofce为边长为r的正方形 oed acd故oe ac de dcr 4 1 r 1解得 r 4 5 解 连接be 点e为 abc的内心 bad dac abe ebc bd dc dac与 dbc都是弧dc所对的圆周角 dac dbc bad ebd cbd cbe bed abe bad ebd bed bd ed bd ed dc 4 已知 如图 在 abc中 点e是内心 延长ae交 abc的外接圆于点d 连接bd dc ec 求证 db dc de 2 已知 在 abc中 bc 14cm ac 9cm ab 13cm bc ac ab分别与 o切于点d e f 求af bd和ce的长 分析 利用切线长定理可以得到ae af bf bd cd ce 因而可以设af xcm bd ycm ce zcm 根据bc 14cm ac 9cm ab 13cm即可得到一个关于x y z的方程组 即可求解 解 设af xcm bd ycm ce zcm af ae是圆的切线 ae af xcm 同理 bf bd ycm cd ce zcm 根据题意得解得 即 af 4cm bd 9cm ce 5cm 如图 在 abc中bc 14cm ac 9cm ab 13cm 内切圆 o分别和bc ac ab切于点d e f 求af bd ce的长 x y 13x z 9y z 14 x 4 y 9 z 5 1 已知 两个同心圆pa pb是大圆的两条切线 pc pd是小圆的两条切线 a b c d为切点 求证 ac bd 布置作业 3 以正方形abcd的一边bc为直径的半圆上有一个动点k 过点k作半圆的切线ef ef分别交ab cd于点e f 试问 四边形aefd的