高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 抛物线的简单性质课件5 北师大版选修11.ppt

2 2 抛物线的简单几何性质 教学目标 知识与技能目标使学生理解并掌握抛物线的几何性质 并能从抛物线的标准方程出发 推导这些性质 从抛物线的标准方程出发 推导抛物线的性质 从而培养学生分析 归纳 推理等能力过程与方法目标复习与引入过程1 抛物线的定义是什么 请一同学回答 应为 平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 2 抛物线的标准方程是什么 再请一同学回答 应为 抛物线的标准方程是y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 和x2 2py p 0 下面我们类比椭圆 双曲线的几何性质 从抛物线的标准方程y2 2px p 0 出发来研究它的几何性质 板书 抛物线的几何性质 y 复习 结合抛物线y2 2px p 0 的标准方程和图形 探索其的几何性质 1 范围 2 对称性 3 顶点 类比探索 x 0 y r 关于x轴对称 对称轴又叫抛物线的轴 抛物线和它的轴的交点 4 离心率 5 焦半径 6 通径 始终为常数1 通过焦点且垂直对称轴的直线 与抛物线相交于两点 连接这两点的线段叫做抛物线的通径 pf x0 p 2 f p 通径的长度 2p 思考 通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗 利用抛物线的顶点 通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图 特点 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它可以无限延伸 但它没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率是确定的 为1 5 抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响 p越大 开口越开阔 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 x 0y r x 0y r y 0 x r y 0 x r 0 0 x轴 y轴 1 变式 顶点在坐标原点 对称轴是坐标轴 并且过点m 2 的抛物线有几条 求它的标准方程 典型例题 例1 已知抛物线关于x轴对称 顶点在坐标原点 并且过点m 2 求它的标准方程 当焦点在x y 轴上 开口方向不定时 设为y2 2mx m 0 x2 2my m 0 可避免讨论 解法一 由已知得抛物线的焦点为f 1 0 所以直线ab的方程为y x 1 解法二 由题意可知 分析 运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷 变式 过抛物线y2 2px的焦点f任作一条直线m 交这抛物线于a b两点 求证 以ab为直径的圆和这抛物线的准线相切 证明 如图 所以eh是以ab为直径的圆e的半径 且eh l 因而圆e和准线l相切 设ab的中点为e 过a e b分别向准线l引垂线ad eh bc 垂足为d h c 则 af ad bf bc ab af bf ad bc 2 eh 练习 1 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 焦点在直线3x 4y 12 0上 那么抛物线通径长是 2 过抛物线的焦点 作倾斜角为的直线 则被抛物线截得的弦长为 3 垂直于x轴的直线交抛物线y2 4x于a b 且 ab 4 求直线ab的方程 y2 8x x 3 例3 过抛物线焦点f的直线交抛物线于a b两点 通过点a和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点d 求证 直线db平行于抛物线的对称轴 x o y f a b d 例3过抛物线焦点f的直线交抛物线于a b两点 通过点a和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点d 求证 直线db平行于抛物线的对称轴 x y o f a