高中数学 第四章 定积分 4.3.2 简单几何体的体积课件2 北师大版选修22.ppt_第1页
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第四章定积分的应用3 2简单几何体的体积 一个平面图形绕平面内的一条定直线旋转一周所形成的几何体叫旋转体 这条定直线叫做旋转轴 圆柱 圆锥 圆台 球体 球冠都是旋转体 计算由区间 a b 上的连续曲线 两直线x a与x b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积 旋转体的体积 复习回顾 由微元法 取x为积分变量 其变化范围为区间 a b 在区间 a b 的任意一个小区间 x x dx 上 相应的薄旋转体的体积可以用以点x处的函数值f x 为底面半径 以dx为高的扁圆柱体的体积近似代替 从而得到体积元素 所以 所求旋转体的体积 类似地可得 由区间 c d 上的连续曲线 两直线y c与y d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积为 例 求由椭圆 解利用图形的对称性 只需考虑第一象限内 一 绕x轴 选取积分变量为x 0 a 所围图形分别绕 x轴和y轴旋转所成的旋转体的体积 任取一个子区间 x x dx 0 a 的曲边梯形绕坐标轴旋转一周所成的旋转体的体积 所求体积为该体积的2倍 在子区间 x x dx 上旋转体的微元为 于是 dv1 py2dx 二 绕y轴 选积分变量y 0 b 任取子区间 y y dy 0 b 在子区间 y y dy 上体积的微元为 则 1 求y x2与y2 x所围图形绕x轴旋转所成的旋转体体积 解选积分变量x 0 1 两曲线的交点为 0 0 和 1 1 任取子区间 x x dx 0 1 其上的体积的微元为 练习 2 曲线与直线所成的图形的面积为 3 将第一象限内由x轴和曲线与直线所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积等于 练习 d c 课堂小结 求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程 总结求旋转体体积公式步骤如下 1 先求出的表达式 2 代入公式 即可求旋转体体积的值 微积分的创立 使得 过去少数大数学家潜心研究的需要特殊方法才能解决的许多问题 今天一个接受过微积分基本训练的学生就能轻易解决 利用祖暅原理获得球的体积 拓展眼界 祖暅原理 又名等幂等积定理 内容是 夹在两个平行平面间的两个几何体 被
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