全国高中数学竞赛二试模拟训练题(38)(1).doc

加试模拟训练题（38）1、 一条直线l与o不相交，e是l上一点，oel，m是l上任意异于e的点，从m作圆的两条切线分别切圆于a和b，点c是ma上的点，使得ecma，d是mb上的点，使得edmb，直线cd交oe于f，求证：f的位置不依赖于m的位置2、设函数f：rr适合条件：f(x3y3)(xy)(f(x)2f(x)f(y)(f(y)2) x、yr试证：对一切xr，都有f(1996x)1996f(x)3、 某地区网球俱乐部的20名成员举行14场单打比赛，每人至少上场一次求证：必有6场比赛，其12个参赛者各不相同4、 设满足（1）t的任两个数之和不等于401；（2）。证明t中奇数的个数是4的倍数，且t中所有数字的平方和为一定数。加试模拟训练题（38）1、 一条直线l与o不相交，e是l上一点，oel，m是l上任意异于e的点，从m作圆的两条切线分别切圆于a和b，点c是ma上的点，使得ecma，d是mb上的点，使得edmb，直线cd交oe于f，求证：f的位置不依赖于m的位置【题说】 第三十五届(1994年)imo预选题本题由塞浦路斯提供【证】 设emx，oea，圆半径为r，连结om设om交ab于j，oe交ab于h，则易知ojab从而ajmoem90，j、m、e、h四点共圆ohoeojomoa2，即oh，ehoeoh设e在ab上的射影为g由于e、a、b都在以om为直径的圆上，对这个圆的内接三角形mab，e点的西摩松线cd通过g点连eb由e、g、b、d共圆，egdebd由e、b、o、m共圆，ebdeom90ghe所以fgh90egdghe从而f是直角三角形egh斜边的中点ef为定值，故f为定点，它的位置与m的位置无关.2、设函数f：rr适合条件：f(x3y3)(xy)(f(x)2f(x)f(y)(f(y)2) (1)x、yr试证：对一切xr，都有f(1996x)1996f(x)【题说】1996年中国数学奥林匹克(第十一届数学冬令营)题3【证】在(1)中令xy0，得f(0)0在(1)中令y0，得f(x3)x(f(x)2，xr (2)因此，当x0时，f(x)0；x0时，f(x)0令sa|a0，f(ax)af(x)，xr由(2)及s定义，有再证：若a、bs，则abs利用(1)(3)，有(ab)f(x)，xr因为1s，故112s，由此推知，任何正整数ns，特别地n1996s从而f(1996x)1996f(x)，xr3、 某地区网球俱乐部的20名成员举行14场单打比赛，每人至少上场一次求证：必有6场比赛，其12个参赛者各不相同【题说】 第十八届(1989年)美国数学奥林匹克题2【证】 作一个图g：20个顶点a1，a20，表示20个选手，14条边表示14场比赛，顶点ai的次数(由它出发的边数)为di(i1，2，20)则从顶点ai抹去(di1)条边(同一条边可以同时被其二端点抹去)，最多抹去条边，所余子图g中至少还有6条边，而各顶点度皆1这表明至少有6场比赛的参赛者各不相同4、 设满足（1）t的任两个数之和不等于401；（2）。证明t中奇数的个数是4的倍数，且t中所有数字的平方和