高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题含详解及模拟题）《导数的应用 》理 新人教A版.doc

备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).利用导数研究函数的单调区间、极值或最值，其考查题型有：(1)利用导数求单调区间，如2012年北京t18等(2)利用单调性求参数范围，如2011年江苏t19等，(3)利用导数求函数的极值，或最值，如2012年陕西t7，安徽t19等(4)已知函数的极值或最值求参数，如2012年江苏t18等.归纳知识整合1函数的单调性与导数探究1.若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0吗？f(x)0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)0，f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件2函数的极值与导数(1)函数的极小值：若函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，且f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值(2)函数的极大值：若函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，且f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值探究2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗？“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件？提示：不一定可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数f(x)x3，在x0处，有f(0)0，但x0不是函数f(x)x3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件3函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件：一般地，如果在区间a，b上，函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤为求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值探究3.函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？提示：极值是局部概念，指某一点附近函数值的比较，因此，函数在极大(小)值，可以比极小(大)值小(大)；最值是整体概念，最大、最小值是指闭区间a，b上所有函数值的比较因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值自测牛刀小试1(教材习题改编)函数f(x)exx的单调递增区间是()a(，1b1，)c(，0 d(0，)解析：选df(x)exx，f(x)ex1，由f(x)0，得ex10，即x0.2(教材习题改编)函数f(x)x34x4有()a极大值，极小值b极大值，极小值c极大值，极小值d极大值，极小值解析：选df(x)x34x4，f(x)x24，令f(x)0，则x2.当x(，2)时，f(x)0；当x(2,2)时，f(x)0.f(x)极大值f(2)，f(x)极小值f(2).3已知函数f(x)的导函数f(x)ax2bxc的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()解析：选d当x0时，由导函数f(x)ax2bxc0时，由导函数f(x)ax2bxc的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增4(教材习题改编)函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是_解析：由题意，得f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2(舍去)由于f(1)2，f(1)0，f(0)2，故f(x)在1,1上的最大值为2.答案：25若函数f(x)x3x2mx1是r上的单调增函数，则m的取值范围是_解析：f(x)x3x2mx1，f(x)3x22xm.又f(x)在r上是单调函数，412 m0，即m答案：运用导数解决函数的单调性问题例1(2013郑州模拟)已知函数f(x)axxln x，且图象在点处的切线斜率为1(e为自然对数的底数)(1)求实数a的值；(2)设g(x)，求g(x)的单调区间；(3)当mn1(m，nz)时，证明： .自主解答(1)f(x)axxln x，f(x)a1ln x，依题意fa1，所以a1.(2)因为g(x)，所以g(x).设(x)x1ln x，则(x)1.当x1时，(x)10，(x)是增函数，对x1，(x)(1)0，即当x1时，g(x)0，故g(x)在(1，)上为增函数；当0x1时，(x)1(1)0，即当0x0，故g(x)在(0,1)上为增函数所以g(x)的单调递增区间为(0,1)，(1，)(3)要证 ，即证ln nln m，即ln mln n，.(*)因为mn1，由(2)知，g(m)g(n)，故(*)式成立，所以 .1导数法求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0时为增函数；f(x)0)当f(x)0，x(0,1)时，函数f(x)3x2x2ln x单调递增当f(x)0，x(1，)时，函数f(x)3x2x2ln x单调递减故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)(2)f(x)4x，若函数f(x)在区间1,2上为单调函数，即在1,2上，f(x)4x0或f(x)4x0，即4x0或4x0在1,2上恒成立即4x或4x.令h(x)4x，因为函数h(x)在1,2上单调递增，所以h(2)或h(1)，即或3，解得a0或00)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(因x2不在定义域内，舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3.求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)检验f(x)在方程f(x)0的根的附近两侧的符号：具体如下表：xxx0f(x)f(x)0f(x)0f(x)0f(x)增极大值f(x0)减xxx0f(x)f(x)0f(x)减极小值f(x0)增2已知函数f(x)ekx(k0)(1)求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数k，使得函数f(x)的极大值等于3e2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解：(1)f(x)的定义域为r.f(x)kekxekx(2x1)ekxkx2(2k)x2，即f(x)ekx(kx2)(x1)(k0)令f(x)0，解得x1或x.当k2时，f(x)2e2x(x1)20，故f(x)的单调递增区间是(，)当2k0时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间是和(1，)，单调递减区间是.当k2时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下：x(，1)1f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间是(，1)和，单调递减区间是.(2)当k1时，f(x)的极大值等于3e2.理由如下：当k2时，f(x)无极大值当2k0时，f(x)的极大值为fe2，令e23e2，即3，解得k1或k(舍去)当k2时，f(x)的极大值为f(1).因为eke2,0，所以e2.因为e23e2，所以f(x)的极大值不可能等于3e2.综上所述，当k1时，f(x)的极大值等于3e2.利用导数解决函数的最值问题例3已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值自主解答(1)f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)的情况如下：x(，k1)(k1)(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.保持本例条件不变，求f(x)在0,1上的最大值解：由本例(2)可知当k1时，函数f(x)在0,1上单调递增所以f(x)在区间0,1上的最大值为f(1)(1k)e.当1k2时，由于f(0)k，f(1)(1k)e.令f(1)f(0)(1k)ek0，得k.当1kf(0)此时f(x)在0,1上的最大值为f(1)(1k)e.当k2时，f(1)f(0)此时f(x)在0,1上的最大值是f(0)k.当k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最大值为f(0)k.综上所述，当k时，f(x)在0,1上的最大值为k. 利用导数求函数最值的方法求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得，也可利用函数的单调性求得3(2012江西高考)已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0,1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)f(x)f(x)，求g(x)在0,1上的最大值和最小值解：(1)由f(0)1，f(1)0得c1，ab1，则f(x)ax2(a1)x1ex，f(x)ax2(a1)xaex.依题意须对于任意x(0,1)，有f(x)0时，因为二次函数yax2(a1)xa的图象开口向上，而f(0)a0，所以须f(1)(a1)e0，即0a1；当a1时，对任意x(0,1)有f(x)(x21)ex0，f(x)符合条件；当a0时，对于任意x(0,1)，f(x)xex0，f(x)符合条件；当a0，f(x)不符合条件故a的取值范围为0a1.(2)因g(x)(2ax1a)ex，所以g(x)(2ax1a)ex.()当a0时，g(x)ex0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1，在x1处取得最大值g(1)e.()当a1时，对于任意x(0,1)有g(x)2xex0，g(x)在x0处取得最大值g(0)2，在x1处取得最小值g(1)0.()当0a0.若1，即0a时，g(x)在0,1上单调递增，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a，在x1处取得最大值g(1)(1a)e.若1，即a1时，g(x)在x处取得最大值g2ae，在x0或x1处取得最小值，而g(0)1a，g(1)(1a)e，则当a时，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a；当a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a24b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值快速规范审题第(1)问1审条件，挖解题信息观察条件：曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处有公共切线2审结论，明确解题方向观察所求结论：求a，b的值将用a，b表示即可3建联系，找解题突破口问题转化为解方程组f(x)2ax，g(x)3x2bab3.第(2)问1审条件，挖解题信息观察条件：a24bf(x)ax21(a0)，g(x)x3a2x.2审结论，明确解题方向观察所求结论：求函数f(x)g(x)的单调区间及其在区间(，1上的最大值应利用导数解决3建联系，找解题突破口问题转化为求函数h(x)f(x)g(x)x3ax2a2x1的导数单调递增区间为和，单调递减区间为准确规范答题(1)f(x)2ax，g(x)3x2b，(2分)因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公切线，易忽视条件“在它们的交点(1，c)处具有公切线”的双重性而造成条件缺失，不能列出关于a，b的方程组，从而使题目无法求解.所以(3分)即解得ab3.(4分)(2)设h(x)f(x)g(x)，a24b，h(x)f(x)g(x)x3ax2a2x1，则h(x)3x22axa2，令h(x)0，解得，x1，x2.a0时，h(x)与h(x)的变化情况如下：xh(x)00h(x)易将单调递增区间写成并集“”或“或”而导致错误.函数h(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为.(6分)当1，即0a2时，函数h(x)在区间(，1上单调递增，h(x)在区间(，1上的最大值为h(1)a；(8分)当1，即2，即a6时，函数h(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，又因为hh(1)1aa2(a2)20，所以h(x)在区间(，1上的最大值为h1.(12分)综上所述：当a(0,2时，最大值为h(1)a；当a(2，)时，最大值为h1.(13分)答题模板速成用导数求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步解答：第一步求导求函数f(x)的导数f(x)第二步判断单调性求函数f(x)在给定区间上的单调性第三步求极点求函数f(x)在给定区间上的极值第四步求端点值求函数f(x)在给定区间上的端点值第五步确定最值比较函数f(x)的各极值与端点值的大小，确定函数f(x)的最大值和最小值第六步反思回顾查看关键点，易错点和解题规范如本题的关键点是确定函数单调区间；易错点是对参数的讨论一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1已知定义在r上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()af(b)f(c)f(d)bf(b)f(a)f(e)cf(c)f(b)f(a)df(c)f(e)f(d)解析：选c依题意得，当x(，c)时，f(x)0；当x(c，e)时，f(x)0.因此，函数f(x)在(，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，)上是增函数，又abf(b)f(a)2函数f(x)的定义域为r，f(1)2，对任意xr，2，则f(x)2x4的解集为()a(1,1)b(1，)c(，1) d(，)解析：选b令函数g(x)f(x)2x4，则g(x)f(x)20，因此，g(x)在r上是增函数，又g(1)f(1)242240.所以，原不等式可化为g(x)g(1)，由g(x)的单调性，可得x1.3(2012陕西高考)设函数f(x)xex，则()ax1为f(x)的极大值点bx1为f(x)的极小值点cx1为f(x)的极大值点dx1为f(x)的极小值点解析：选d求导得f(x)exxexex(x1)，令f(x)ex(x1)0，解得x1，易知x1是函数f(x)的极小值点4函数f(x)x23x4在0,2上的最小值是()abc4d解析：选af(x)x22x3，令f(x)0得x1(x3舍去)，又f(0)4，f(1)，f(2)，故f(x)在0,2上的最小值是f(1).5(2013咸宁模拟)已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c()a2或2 b9或3c1或1 d3或1解析：选ay3x23，当y0时，x1.则x，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)yyc2c2因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c20或c20，c2或c2.6(2012福建高考)已知f(x)x36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是()a bc d解析：选cf(x)3x212x93(x1)(x3)，由f(x)0，得1x0，得x3，f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(，1)，(3，)上是增函数又ab0，y极小值f(3)abc0.0abc4.a，b，c均大于零，或者a0，b0.又x1，x3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图f(0)0.f(0)f(1)0.正确结论的序号是.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_解析：由f(x)x315x233x6得f(x)3x230x33，令f(x)0，即3(x11)(x1)0，解得1x0，得x0，得x2或x0，在(0,2)上f(x)0.f(x)在(，0)，(2，)上递增，在(0,2)上递减，因此f(x)在x2处取得极小值所以x02.由f(2)5，得c1.f(x)x33x21.11已知函数f(x)xln x，g(x)x2ax2.(1)求函数f(x)在t，t2(t0)上的最小值；(2)若函数yf(x)与yg(x)的图象恰有一个公共点，求实数a的值；(3)若函数yf(x)g(x)有两个不同的极值点x1，x2(x1ln 2，求实数a的取值范围解：(1)令f(x)ln x10得x，当0t时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，此时函数f(x)在区间t，t2上的最小值为f；当t时，函数f(x)在t，t2上单调递增，此时函数f(x)在区间t，t2上的最小值为f(t)tln t.(2)由题意得，f(x)g(x)xln xx2ax20在(0，)上有且仅有一个根，即aln xx在(0，)上有且仅有一个根，令h(x)ln xx，则h(x)1(x2)(x1)，易知h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以ah(x)minh(1)3.(3)由题意得，yf(x)g(x)xln xx2ax2，则其导函数为yln x2x1a，由题意知yln x2x1a0有两个不同的实根x1，x2，等价于aln x2x1有两个不同的实根x1，x2，且x1g(x)mingln 2时，x1，x2存在，且x2x1的值随着a的增大而增大而当x2x1ln 2时，则有两式相减可得ln 2(x2x1)2ln 2，得x24x1，代入上述方程组解得x1，x2ln 2，此时实数aln 2ln1，所以实数a的取值范围为aln 2ln1.12已知函数f(x)xax2ln(1x)，其中ar.(1)若x2是f(x)的极值点，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)在0，)上的最大值是0，求a的取值范围解：(1)f(x)，x(1，)依题意，得f(2)0，解得a.经检验，a时，符合题意故a.(2)当a0时，f(x)，由f(x)0和f(x)0时，令f(x)0，得x10或x21.当0a1时，1x20，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(1，x2)x2(x2，x1)x1(x1，)f(x)00f(x