高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第17讲 导数与函数的极值、最值配套课件 理.ppt

第17讲导数与函数的极值 最值 1 函数的极值 f x 0 f x 0 1 判断f x0 是极值的方法 一般地 当函数f x 在点x0处连续时 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 2 求可导函数极值的步骤 求f x 求方程f x 0的根 检查f x 在方程f x 0的根左右两边导函数值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右两侧符号一样 那么这个根不是极值点 极大值 2 函数的最值 1 函数f x 在 a b 上有最值的条件 如果在区间 a b 上 函数y f x 的图象是一条连续不断 的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f a 为函数的最小 值 f b 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 3 求y f x 在 a b 上的最大 小 值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的各极值与 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 极值 端点值 3 利用导数解决实际生活中的优化问题的基本步骤 1 分析实际问题中各变量之间的关系 建立实际问题的数学模型 写出相应的函数关系式y f x 并确定定义域 2 求导数f x 解方程f x 0 3 判断使f x 0的点是极大值点还是极小值点 4 确定函数的最大值或最小值 还原到实际问题中作答 即获得优化问题的答案 答案 a c x 2为f x 的极大值点d x 2为f x 的极小值点 d 4 2015年陕西 函数xex在其极值点处的切线方程为 考点1 函数的极值 例1 2013年新课标 已知函数f x ex ax b x2 4x 曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 4x 4 1 求a b的值 2 讨论f x 的单调性 并求f x 的极大值 解 1 f x ex ax a b 2x 4 由已知 得f 0 4 f 0 4 故b 4 a b 8 从而a 4 b 4 规律方法 1 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 确定函数f x 的定义域 求f x 令f x 0 求出它在定义域内的一切实根 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实数根按从小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义区间分成若干个小区间 确定f x 在各个开区间内的符号 根据f x 的符号判 定函数f x 在每个相应小开区间内的增减性 2 可导函数极值存在的条件 可导函数的极值点x0一定满足f x0 0 但当f x1 0时 x1不一定是极值点 如f x x3 f 0 0 但x 0不是极值点 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 互动探究 a 1 2017年新课标 若x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 则f x 的极小值为 a 1b 2e 3c 5e 3d 1 解析 由题可得f x 2x a ex 1 x2 ax 1 ex 1 x2 a 2 x a 1 ex 1 因为f 2 0 所以a 1 f x x2 x 1 ex 1 故f x x2 x 2 ex 1 令f x 0 解得x1 所以f x 在 2 1 上单调递增 在 2 1 上单调递减 所以f x 的极小值为f 1 1 1 1 e1 1 1 故选a 2 已知函数f x x lnx ax 有两个极值点 则实数a的取 值范围是 a 0 c 0 1 d 0 答案 b 考点2 函数的最值 例2 2017年北京 已知函数f x excosx x 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 解 1 因为f x excosx x 所以f x ex cosx sinx 1 f 0 0 又因为f 0 1 所以曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 1 规律方法 求函数f x 在 a b 上的最大值 最小值的步 骤 求函数在 a b 内的极值 求函数在区间端点的函数值f a f b 将函数f x 的极值与f a f b 比较 其中最大的为最大 值 最小的为最小值 互动探究 3 2017年河南郑州模拟 已知函数f x x k ex 1 求f x 的单调区间 2 求f x 在区间 0 1 上的最小值 解 1 由f x x k ex 得f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 所以f x 的单调递减区间是 k 1 单调递增区间是 k 1 2 当k 1 0 即k 1时 函数f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 0 k 当0 k 1 1 即1 k 2时 由 1 知f x 在 0 k 1 上单调递减 在 k 1 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2时 函数f x 在 0 1 上单调递减 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 综上所述 当k 1时 f x min k 当1 k 2时 f x min ek 1 当k 2时 f x min 1 k e 考点3 利用导数解决生活中的优化问题 例3 2016年江苏 现需要设计一个仓库 它由上下两部分组成 上部分的形状是正四棱锥p a1b1c1d1 下部分的形状是正四棱柱abcd a1b1c1d1 如图2 17 1 并要求正四棱柱的高是po1的四倍 1 若ab 6m po1 2m 则仓库的容积是多少 2 若正四棱锥的侧棱长为6m 则当po1 为多少时 仓库的容积最大 图2 17 1 解 1 由po1 2m 知oo1 4po1 8m 因为a1b1 ab 6m 正四棱柱abcd a1b1c1d1的体积v柱 ab2 oo1 62 8 288 m3 所以仓库的容积v v锥 v柱 24 288 312 m3 规律方法 本题在利用导数求函数的单调性时要注意 求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式 在求f x 0和f x 0时要注意 本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力 互动探究 2 由 1 的解答可知f r 0 f x 在 0 r 上单调递增 在 r 上单调递减 因此x r是f x 的极大值点 所以f x 在 0 内的极大值为f r 100 f x 在 0 内无极小值 综