数学公式总结大全(高等数学).pdf

高等数学简明公式 第一章 初等数学第一章 初等数学 一 初等代数一 初等代数 1 乘法公式与因式分解 1 2 22 2 2bababa bcacabcbacba222 222 2 3 bababa 22 4 3223 3 33babbaaba 5 2233 babababa m 6 122321 nnnnnnn babbabaababaLL 2 比例 d c b a 1 合比定理 d dc b ba 2 分比定理 d dc b ba 3 合分比定理 dc dc ba ba 4 若 f e d c b a 则令t f e d c b a 于是 fdb eca f e d c b a 5 若与yx成正比 则 为比例系数 6 若与kxy kyx成反比 则 x k y 为比 例系数 k 3 不等式 1 设 则 2 设为正整数 则0 0 nba nn ba nba 0 nn ba 3 设 d c b a 则 d c db ca b a 4 非负数的算术平均值不小于其几何平均值 即 2 ab ba 3 3 abc cba n n n aaaa n aaaa L L 321 321 5 绝对值不等式 1 baba 2 baba 3 baba 4 aaa 4 二次方程 0 2 cbxax 1 根 a acbb x 2 4 2 1 a acbb x 2 4 2 2 2 韦达定理 a c xx a b xx 2121 3 判别式 方程没有实根 方程有两相等实根 方程有了两不等实数根 0 0 0 4 2 acb 5 一元三次方程组的韦达定理 1 若的三个根分别为则 0 23 rqxpxx 321 xxx pxxx 321 qxxxxxx 133221 rxxx 321 6 指数 1 2 3 nmnm aaa nmnm aaa mn n m aa 4 5 mm m baab m m m b a b a 6 m m a a 1 7 对数 0 1 0 log NaaN a 1 对数恒等式 更常用 2 N a aN log N eN ln NMMN aaa logloglog 3 NM N M aaa logloglog 4 MnM a n a loglog 5 M n M a n a log 1 log 6 换底公式 a M M b b a log log log 7 8 01log a 1log a a 8 数列 1 等差数列 设 首项 通项 d 公差 前项和 1 a n a n Sn 1 2 dnaan1 1 d nn nan aa S n n 2 1 2 1 3 设成等差数列 则等差数列中项cba cab 2 1 2 等比数列 设 首项 公比 通项 则 1 aq n a 1 通项 2 前项和 1 1 n n qaan q qaa q qa S n n n 11 1 11 3 常用的几种数列的和 1 1 2 1 321 nnnL 2 121 6 1 321 2222 nnnnL 3 2 3333 1 2 1 321 nnnL 4 2 21 3 1 1433221 nnnnnL 5 321 4 1 2143232 nnnnnnnK 1 9 排列 组合与二项式定理 1 排列 121P mnnnn m n L 2 全排列 12321Pnnnn n n L 3 组合 11 C mnm n m mnnn m n L 组合的性质 1 2 C mn n m n CC 1 11 CC m n m n m n 4 二项式定理 nkknnnn n bba k knnn ba nn bnaaba L L L 11 2 1 221 二 平面几何二 平面几何 1 图形面积 3 h a b h a b o r l o r l R H l R H l 1 任意三角形 csbsassCabbhS sin 2 1 2 1 其中 cbas 2 1 2 平行四边形 sinabbhS 3 梯形S 中位线 高 4 扇形 2 2 1 2 1 rrlS 2 旋转体 1 圆柱 设R 底圆半径 H 柱高 则 1 侧面积 2 RHS 侧 2 全面积 RHRS 2 全 3 体积V 2 圆锥 HR 2 22 HRl母线 b A C B h c a b A C B h c a 1 侧面积 RlS 侧 2 侧面积 RlRS 全 3 体积 HRV 2 3 1 3 球 4 设R 半径 d 直径 则 1 全面积 2 体积 2 4 RS 全 3 3 4 RV h r R h r R 4 球缺 球被一个平面所截面得到的部分 1 面积RHS 2 不包括底面 2 体积 3 2 h RhV 3 棱柱及棱锥 设 底面半径 SH 高 1 棱柱体积VSH 2 棱锥体积SHV 3 正棱锥侧面积 3 1 2 1 A 底面积 母线长 三 平面三角三 平面三角 1 三角函数间的关系 1 sin1sec 2 1csccos 3 tan1cot 4 sin 1cos2 2 5 1 6 1 7 22 sectan 22 csccot cos sin tan 8 sin cos cot 2 倍角三角函数 1 cossin22sin 2 cos 2222 1cos2sin21sincos2 3 2 tan1 tan2 2tan 4 cot2 cot1 2cot 2 5 2 2cos1 sin 6 2 2cos1 cos2 2 3 三角函数的合差化积公式 1 2 cos 2 sin2sinsin 2 2 sin 2 cos2sinsin 3 2 cos 2 cos2coscos 4 2 sin 2 sin2coscos 5 sinsin 2 1 cos sin 6 coscos 2 1 cos cos 7 sinsin 2 1 sincos 8 coscos 2 1 sinsin 4 边角关系 1 正弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin R为外接圆半径 2 余弦定理 Abccbacos2 222 Bcaacbcos2 222 Cabbaccos2 222 5 反三角函数 恒等式 1 22 11arcsinarcsinarcsinxyyxyx 2 22 11arccosarccosyxxyarccoyx m 3 xy yx yx m1 arctanarctanarctan 4 2 arccosarcsin xx 5 2 cotarctan xarcx 5 第二章第二章 解析几何解析几何 一 基本问题一 基本问题 1 两点间距离公式 1 设 2211 yxByxA为平面上两点 则A与B的距离 2 2 2 12 yyxxd 2 设则 A与B的距离 2 12 2 2 2 12 zzyyxxd 222111 zyxBzyxA 2 定比分点公式 1 设式线段 yxM AB的分点 1 时 外分 时 内分 0 0 MB AM 则 1 1 21 21 yy y xx x 2 设M为AB中点时 21 21 2 1 2 1 yyy xxx 2 设是空间线段的分点 zyxM AB 1 时 外分 时 内分 0 0 MB AM 则 1 1 1 21 21 21 zz z yy y xx x 2 设M为AB中点时 21 21 21 2 1 2 1 2 1 zzz yyy xxx 3 平面上不在同一直线上的三点 332211 yxCyxByxA 所围三角形面积 1 1 1 2 1 33 32 11 yx yx yx S 的绝对值 二 直线与平面方程二 直线与平面方程 1 平面直线方程 平面直线方程 1 一般式 斜率 0 CByAX B A k 2 斜截式 bkxy 其中为斜率 b为ky轴 截距 3 点斜式 00 xxkyy 直线过点 00 y x 斜率为k 4 截距式 1 b y a x 其中 baba 0 0 为x轴 轴上截距 y 5 两点式 12 1 2 1 xx xx yy yy 或 0 1 1 1 22 11 yx yx yx 6 参数式 斜率为 0 0 mtyy ktxx l m k 过 点 00 y x 2 空间直角坐标系中的平面方程 1 一般式0 DCzByAx 6 1 通过原点 2 0 CzByAx0 DByAx 与轴平行 3 通过轴 z0 ByAx z 2 点法式 0 000 zzCyyBxxA 过 000 zyx点 法矢量CBAn 3 截距式 1 c z b y a x 4 三点式 0 1 1 1 1 333 222 111 zyx zyx zyx zyx 这里 333222111 zyxzyxzyx为平面所过的三点 三 点线与点面距离三 点线与点面距离 1 点到直线的距离 00 y x 0 CByAX 22 00 BA CByAx d 2 点到平面 000 zyx0 DCzByAx的距离 222 000 CBA DCzByAx d 注意 注意 平面上的直线对应于空间上的平面 四 空间直线方程四 空间直线方程 1 一般式 其中 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 22 11 22 11 22 11 BA BA AC AC CB CB 为方向数 2 参数式 直线过 方向参数 0 0 0 ntzz mtyy ltxx 000 zyxnml 3 标准式 对称式 n zz m yy l xx 000 直线过 000 zyx 方向数 nml 4 两点式 12 1 12 1 12 1 zz zz yy yy xx xx 直线过 222111 zyxzyx 五 直线间 平面间 直线与平面间的关系五 直线间 平面间 直线与平面间的关系 1 设直线 令0 1111 CyBxAL 1 1 1 B A k 令0 2222 CyBxAL 2 2 2 B A k 1 1 L 2 L 21 kk 或 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 2 1 2121 kkLL或者 0 2121 BBAA 21 12 1 tan kk kk 3 重合 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 4 夹角 2 设平面 0 11111 DzCyBxA 平面 0 22222 DzCyBxA 直线 1 1 1 1 1 1 1 n zz m yy l xx L 直线 2 2 2 2 2 2 2 n zz m yy l xx L 7 1 平面间夹角 则 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos CBACBA CCBBAA 平面 1 平面 2 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 平面 1 平面 2 0 212121 CCBBAA 2 直线间夹角 则 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos nmlnml nnmmll 直线 直线 1 L 2 L 2 1 2 1 2 1 n n m m l l 直线 直线 1 L 2 L 0 212121 nnmmll 3 直线与面的夹角 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 111111 sin CBAnml CnBmAl 直线 平面 1 L 1 0 111111 nCmBlA 直线 平面 1 L 1 1 1 1 1 1 1 C n B m A l 六 重要曲线与重要曲面 六 重要曲线与重要曲面 1 平面曲线 x y o al al x y o al al 1 立方抛物线 0 3 aaxy 2 半立方抛物线 3 抛物线 0 3 aaxy 0 2 1 2 1 2 1 aayx 或 tay tax 4 4 sin cos a a o x y a a o x x y o x y o y 8 o a a x y o a a x y x 0 y ayx x 0 y ayx 4 箕舌线 22 3 4 8 ax a y 或 5 叶形线 令 则 2 cos2 tan2 ay ax 03 33 axyyxtxy 2 2 2 1 3 1 3 t at y t at x 6 双纽线 或 7 摆线 222 2 22 yxayx 2cos 22 a tay ttax cos1 sin x y 4545 a x y 4545 a x y t a 0 t 2 t o x y t a 0 t 2 t o 8 悬链线 a x a x ee a y 2 或 a x achy 9 心脏线 cos1 a 9 x y a y o x y o x y a x 10 概率曲线 11 阿基米德螺线 2 x ey a o x o x o x y 1 e o x y 1 e 12 等角螺线 13 星形线 a e 3 2 3 2 3 2 ayx 或 tay tax 3 3 sin cos x y o a ax e2 x y o a ax e2 14 三叶玫瑰线 3sina 15 四叶玫瑰线 2sina 2cosa a a a a x y a a a a x y x y a a a x y a a a x y a a a a x y a a a a 2 空间曲线 空间曲线 1 一般方程 2 参数方程 0 0 zyxg zyxf tzz tyy txx 3 圆柱螺线 4 圆 锥螺线 ktz tay tax sin cos atz ttysin cos ttx 3 空间曲面 空间曲面 1 球面 球心在原点 半径为 2222 Rzyx R 2 222 Rczbyax 球心在 半径为 cba R 2 椭球面 1 222 c z b y a x 222 其中a为三个半径 在cb 000 zyxM处的切平面方程为 1 2 0 2 0 2 0 c zz b yy a xx 3 单叶双曲面 1 222 c z b y a x 222 4 双叶双曲面 1 222 c z b y a x 222 5 椭圆抛物线 cz b y a x 2 22 22 6 双曲抛物线 cz b y a x 2 22 22 0 zxf 7 旋转面曲线 绕 0y x轴旋转 0 22 zyxf 绕轴旋转z 0 22 zyxf 0 0 y zxf 则一般方程 0 z n m Y n l Xf 则母线方向数 nml 8 柱面 设准线为 特殊方程 1 母线 轴 准线 2 0 YXfz 0 0 z yxf 0 ZY 母线 x轴 准线 0 0 x zy 3 0 XZ 母线 轴 准线 y 0 0 y zx cz yxf0 10 9 锥面 准线 定点为原点 则一般方程 0 Z cY Z cX f 特殊方程 1 0 2 2 2 2 2 2 c Z b Y a X 以轴为对称轴 准线z cz b y a x 01 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 c Z b Y a X 以轴为对称轴 准线y by c y a x 01 2 2 2 2 3 0 2 2 2 2 2 2 c Z b Y a X 以x轴为对称轴 准线 ax c y b x 01 2 2 2 2 11 第三章第三章 矢量代数矢量代数 一 定义一 定义 设矢量 zyxzkxjxia 1 矢量的模a 222 zyxa 2 单位矢量 222222222 zyx z zyx y zyx x a a ao 3 矢量的方向余弦a 222222222 cos sin cos zyx z zyx y zyx x 4 设 2222111 zyxMzyxM 则 12121221 zzyyxxMM 二 矢量的运算二 矢量的运算 1 加减运算 设a 212121 zzyyxxba 222111 zyxbzyx 则 2 数乘矢量 设 zyxa 为数量 则 zyxa 反向与则 为零矢量 则 同向与则 aaaa a aaaa a 0 0 0 0 0 0 3 矢量的数积 点积 内积 设 222111 zyxbzyxa 则矢量a与的数量积b 21z2121 coszyyxxbababa 4 矢量的矢积 叉积 外积 设两矢量a与 若一个矢量c 满足条件 b babac sin bcac 即c垂直于所确定的平面 成右手系 ba cba k yx yx j zx zx i zy zy zyx zyx kji ba bac 22 11 22 11 22 11 222 111 则矢量c称为矢量于a的矢量乘积 记为 b 5 混合积 设有三个矢量 333222111 zyxczyxbzyxa 先作a的矢积bba 再与c作数乘积 则称其为a的混合积 记做 cba cb cba 12 333 222 111 zyx zyx zyx cbacba cba表示以为棱的平行六面体积 cba 13 第四章第四章 高等代数高等代数 1 两个重要极限 1 两个重要极限 590457182818284 2 1 1 lim 1 sin lim 0 e x x x x x x 2 基本导数公式 2 基本导数公式 ax x aaa xxx xxx xx xx a xx ln 1 log ln cotcsc csc tansec sec csc cot sec tan 2 2 2 2 2 2 1 1 tan 1 1 arctan 1 1 arccos 1 1 arcsin x xarcc x x x x x x 3 一些初等函数 3 一些初等函数 双曲正弦 2 xx ee shx 双曲余弦 2 xx ee chx 双曲正切 2 ln xx xx shxee 1arshxxx chxee thx 2 11 ln 1 ln 21 x archxxxarthx x 4 三角函数公式 诱导公式 4 三角函数公式 诱导公式 函数 角 A sin cos tan cot sin cos tan cot 90 cos sin cot tan 90 cos sin cot tan 180 sin cos tan cot 180 sin cos tan cot 270 cos sin cot tan 270 cos sin cot tan 360 sin cos tan cot 360 sin cos tan cot 14 和差角公式 和差化积公式 和差角公式 和差化积公式 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin tantan 1tantan cot tantan1 tantan tan sinsincoscos cos sincoscossin sin m m m 15 倍角公式 倍角公式 2222 sincossin211cos22cos cossin2 2sin 2 2 tan1 tan2 2tan tan2 1tan 2cot 半角公式 半角公式 cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 cot cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 tan 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin R C c B b A a 2 sinsinsin 正弦定理 正弦定理 余弦定理 余弦定理 反三角函数性质 反三角函数性质 Cabbaccos2 222 xarcxxxcot 2 arctanarccos 2 arcsin 5 高阶导数公式 莱布尼兹 Leibniz 公式 5 高阶导数公式 莱布尼兹 Leibniz 公式 2 1 0 1 1 2 1 nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnn vu nn vnuvu vuCuv L L L 中值定理与导数应用 6 中值定理与导数应用 6 拉格朗日中值定理 f b f afba 柯西中值定理 f b f af F bF aF 当F xx 时 柯西中值定理就是拉格朗日中值定理 7 曲率 7 曲率 弧微分公式 2 1 dsy dxytg 其中 K s 点 切线斜率的倾角变化量 sMM 从点到M M 平均曲率 弧长 点的曲率 M 2 30 lim 1 s yd K sds y 直线 半径为的圆 0 K a 1 K a 8 泰勒公式 8 泰勒公式 设函数在区间内具有 xf ba1 n阶导数 0 bax 则在区间内 可表为 ba xf 2 0 0 2 0 0 000 xRxx n xf xx xf xxxfxfxf n n n L 其中 1 0 1 1 n n n xx n f xR 是介于和 0 xx之间的某个数 16 称为阶泰勒余项 具有拉格朗日形式的余项 时的泰勒公式叫做麦克劳林公式 即 n xRn 0 0 x 1 1 2 1 0 2 0 0 0 n n n n x n f x n f x f xffxf L 其中 在与0 x之间 具有皮亚诺余项形式的泰勒公式为 此时 只要求函数在区间内具有阶导数 为 xf ban 2 00 0 2 0 0 000 nn n xxoxx n xf xx xf xxxfxfxf L 其中为的高阶无穷小量 要求具有阶导数 这是不同于拉格朗日余项形的阶泰勒公 式之处 n xo n x xfnn 读者应该熟悉五类基本初等函数在0 x处的阶泰勒公式 n 在0与x之间 1 1 1 1 xxe n xR n n 1 2 1 1 2 xRx n xxe n nx L 其中 2 12 1 1 5 1 3 1 sin 12 12153 xRx n xxxx n nn L 其中 sin 2 1 2 12 xxn n xR n n 3 2 1 1 4 1 2 1 1cos 2 242 xRx n xxx n nn L 其中 2 12 cos 12 1 12 2 xx n n xR n n 4 1 1 2 1 1 1 2 xRx n n xxx n n L L 其中 1 1 1 1 11 xx n n xR nn n L 5 1 1 3 1 2 1 1ln 132 xRx n xxxx n nn L 其中 1 1 1 1 1 1 x n xR n n n 9 无穷小量比阶 9 无穷小量比阶 设为某种趋向时的无穷小量 若满足 x lim x x x x 与 x 则 1 当与 x x 特别1 0 时 称 x 为同阶无穷小量 时 称 x x 与 为 量 等价无穷小 xx 可记为 x 17 2 当0 时 称 x 是比 x 高阶的无穷小量 x 3 当时 称 x 是比 x 低阶的无穷小量 x 常用等价无穷小量 广义 下应用 即等价关系中的 0 x 1ln tanx sinx xx 2 1 cos1xx ax x ln0 a xe x 1 xx 1 1 R 2 a 1 注 注 1 以上等价关系可在 x在应用中常换为满足 lim x 0 x 的某个 x 2 价无穷小量进行替换 但必须注意 替换只能在因子位置上进行 因在极限运算中 可以用等 等价无穷小量是用因子乘积 x 1 x 定义的 10 基本积分表 不定积分 10 基本积分表 不定积分 Cdx 0 Cxdx 1 C a xa a 1 dxx 1 Cxdx x ln 1 C a a dxa x x ln Cedxe xx Cxxdxcoslntan Cxdxcot xsinln xxtanc Cxdxselnsec Cxxxdxcotcsclncsc C ax ax aax dx C a x axa dx ln 2 1 arctan 1 22 22 C a x xa dx C xa xa axa dx arcsin ln 2 1 22 22 Cx xdx x dx Cxxdx x dx cotcsc sin tansec cos 2 2 2 2 Cxxdxx Cxdxxx csccotcsc sectansec Cchxshxdx C a a dxa x x ln Caxx ax dx Cshxchxdx ln 22 22 3 6 1 sinxxx 室 18 2 0 2 0 1 cossin nn n n n xdxxdxI 2 n I Caxx a ax x dxax ln 22 22 2 2222 Caxx a ax x dxax 22 2 2222 ln 22 C a xa xa x dxxaarcsin 22 2 2222 y4 L b a nnn yyyyyyy n ab dxxf 2 3 1312420 L 三角有理分式的积分 三角有理分式的积分 cos sinxxR 1 半角替换 1 半角替换 记 2 tan x t 则 2 1 2 sin t t x 2 2 1 1 cos t t x dt t dt 2 1 2 于 是 可 将 三 角 有 理 分 式 的不定积分化为关于t的有理分式积分 cos sinxxR dxxxR cos sin 2 三角替换 2 三角替换 若 则取变换 cos sin xxR cos sinxxR xtcos xdxdtsin x dt dx sin 若 若 则取变换 cos sinxxR cos sinxxR xtsin x dt dx cos 若 则取变换 cos sin xxR cos sinxxRxttan xdtdx 2 cos 定积分应用相关公式 定积分应用相关公式 1 a b b a dxxfdxxf 2 对积分区间的可加性对积分区间的可加性 b c c a b a dxxfdxxfdxxfRc 3 对被积函数满足线性性对被积函数满足线性性 b a b a b a dxxgBdxxfAdxxBgxAf 4 保序性 保号性 保序性 保号性 若可积函数 0 baxxf 则 0 b a dxxf 若可积函数满足 则 xgxf xgxf b a b a dxxgdxxf 特别 若非负连续函数在上不恒为零 则 xf ba0 b a dxxf 5 若在上可积 则 xf ba xf在上也可积 且 ba b a b a dxxfdxxf 6 估 值 定 理估 值 定 理 若 可 积 函 数在上 满 足 xf baMxfm 则 abMdxxfabm b a 进 一 步 若 函 数在上 非 负 可 积 则 称 为 比 较 性 质 xg ba b a b a b a dxxgMdxxgxfdxxgm 7 积分中值定理积分中值定理 若函数在上连续 在上取定号且可积 则 xf ba xg ba ba 使 b a b a dxxgfdxxgxf 特别 1 xg时 ba 使 或 abfdxxf b a 19 xff ab dxxf Ba b a 平均值 8 若在上是可积的奇函数 则 xf aa 0 a a dxxf 若在上是可积的偶函数 则 xf aa aa a dxxfdxxf 0 2 9 若是可积的周期函数 切周期为 xfT 则对任意是实数必有 a TTa a dxxfdxxf 0 10 若连续函数满足 则存在 xf0 b a dxxf 0 bax 使得0 0 xf 11 若非负连续函数满足 则 xf0 b a dxxf0 xfbax 12 分部积分法 分部积分法 设与在连续 为在上的一个原函数 则 xf x g ba xF xf ba b a b a b a dxxgxFxgxFdxxgxf 13 区间变换 区间变换 令 dttxtxfdxxf b a 1 0 ab ax t dttxtxfdxxf d c b a 令 ccd ab ax t 14 运用定积分求极限常用公式为 运用定积分求极限常用公式为 b a n k dxxfk n ab af n ab lim 1 n 其中 k fk n ab af k x n ab 15 2 0 sin xdx n 2 0 cos xdx n 记 2 0 sin xdxI n n 则 2 1 nn I n n I 初值 L 3 2 n1 2 10 II 上述结果可归纳得到下述实用形式 1 12 2 2 2 12 122 n n I n n I nn L 3 2 1 n 定积分的近似计算 定积分的近似计算 矩形法 b a n yyy n ab xf 110 L 梯形法 b a nn yyyy n ab dxxf 2 1 110 L 抛物线法 b a nnn yyyyyyyy n ab dxxf 4 2 3 1312420 LL 定积分的几何应用 定积分的几何应用 1 绕绕x轴旋转生成的旋转体的体积轴旋转生成的旋转体的体积 小圆台法 20 平面区域 0 xfybxayxD 绕x轴旋转生成的旋转体的 b a x dxxfV 2 2 绕绕y轴旋转生成的旋转体的体积轴旋转生成的旋转体的体积 薄壁筒法 平面区域 0 xfybxayxD 绕轴旋转生成的旋转体 y b a y dxxfxV 2 光滑曲线的弧长 光滑曲线的弧长 3 直 角 坐 标 系 中 的 光 滑 曲 线bxaxfy 的 弧 长 为 b a dxxfl 2 1 4 参数方程下 ttyytxx 的弧长为 dttytxl 22 5 极坐 标系下 光滑曲 线 的弧长为 dl 2 2 旋转体的侧面积 旋转体的侧面积 6 直 角 坐 标 系 中 曲 线绕bxaxfy x轴 旋 转 生 成 的 旋 转 体 的 侧 面 积 为 b a dxxfxfA 2 1 2 7 参数方程下曲线 ttyytxx 绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积为 dttytxtyA 22 2 定积分的物理应用 定积分的物理应用 b a b a dttf ab dxxf ab y k r mm kF ApF sFW 1 1 2 2 21 均方根 函数的平均值 为引力系数引力 水压力 功 质心与形心 平 面 光 滑 曲 线 的 质 心 质心与形心 平 面 光 滑 曲 线 的 质 心 设 平 面 光 滑 曲 线 的 参 数 方 程 为 ttyytxx 其质量线密度为 t 则其质量为 dttytxtM 22 曲线关于x轴与y轴的静力矩分别为 dttytxtytMx 22 dttytxtxtMy 22 21 其 质 心 坐 标 yx 为 dttytxt dttytxtxt x 22 22 dttytxt dttytxtyt y 22 22 若 平 面 光 滑 曲 线 的 方 程 为bxaxfy 则 dttft dttfxt x 2 2 1 1 dttft dttfxft y 2 2 1 1 平面图形的形心 质心 平面图形的形心 质心 设在区间上可积 则平面图形 xgxf ba xgyxfbxayxD 的形心为 b a b a dxxfxg dxxfxgx x b a b a dxxfxg dxxfxg y 2 1 22 空间解析几何和向量代数 空间解析几何和向量代数 空间两点的距离 2 12 2 12 2 1221 zzyyxxMMd 向量在轴上的投影 cosPr ABABju是AB与u轴的夹角 2121 PrPr Pra ja jaaju vvvv zzyyxx bababababa cos v v v v 是一个数量 两向量之间的夹角 222222 cos zyxzyx zzyyxx bbbaaa bababa sin bac bbb aaa kji bac zyx zyx v vv v vv 例 rwv vvv 线速度 向量的混合积 cos cba ccc bbb aaa cbacba zyx zyx zyx v v vv v vv v v 为锐角时 代表平行六面体的体积 平面的方程 1 点法式 0 000 zzCyyBxxA 其中 0000 zyxMCBAn v 2 一般方程 0 DCzByAx 3 截距式方程 1 c z b y a x 22 平面外任意一点到该平面的距离 222 000 CBA DCzByAx d 空间直线的方程 t p zz n yy m xx 000 其中 pnms v 其中参数方程 ptzz ntyy mtxx 0 0 0 二次曲面 1 椭球面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 2 抛物线 同号 qpz q y p x 22 22 3 双曲面 单叶双曲面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 双叶双曲面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 马鞍面 多元函数微分法及应用 多元函数微分法及应用 全微分 dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz 全微分的近似计算 yyxfxyxfdzz yx 多元复合函数的求导法 x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz 当时 yxvvyxuu dy y v dx x v dvdy y u dx x u du 隐函数的求导公式 隐函数 dx dy F F yF F xdx yd F F dx dy yxF y x y x y x 0 2 2 隐函数 z y z x F F y z F F x z zyxF 0 隐函数方程组 vu vu GG FF v G u G v F u F vu GF J vuyxG vuyxF 0 0 1 1 1 1 yu GF Jy v vy GF Jy u xu GF Jx v vx GF Jx u 23 微分法在几何上的应用 微分法在几何上的应用 空间曲线在点处的切线方程 tz ty tx 000 zyxM 0 0 0 0 0 0 t zz t yy t xx 在点M处的法平面方程 0 000000 zztyytxxt 若空间曲线方程为 则切向量 0 0 zyxG zyxF yx yx xz xz zy zy GG FF GG FF GG FF T v 若空间曲线方程为 曲面上一点 则 0 zyxF 000 zyxM 1 过此点的法向量 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx v 2 过此点的切平面方程 0 000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx 3 过此点的切法线方程 000 0 000 0 000 0 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zyx 方向导数与梯度 方向导数与梯度 函数在一点沿任一方向 的方向导数为 yxfz yxpl sincos y f x f l f 其中 为为x轴到方向l的转角 函数在一点的梯度 yxfz yxpj y f i x f yxf vv grad 它与方向导数的关系是 eyxf l fv grad其中jie vv v sincos为 方向上的单位向量 l l f 是在l上的投影 gradyxf 多元函数的局部极值及其求法 多元函数的局部极值及其求法 设CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx 0 0000000000 令 则 不确定时 值时 无极 为极小值 为极大值 时 0 0 0 0 0 2 2 00 002 BAC BAC yxA yxA BAC 重积分及其应用 重积分及其应用 DD rdrdrrfdxdyyxf sin cos 24 曲面的面积 yxfz D dxdy y z x z A 2 2 1 平面薄片的重心 D D y D x dyx dyxy M M y dyx dyxx M M x D 平面薄片的转动惯量 对于x轴对于 2 D x dyxyI y轴 D y dyxxI 2 平面薄片 位于xoy平面 对于轴上质点的引力 z 0 0 0 aaM zyx FFFF 其中 D z D y D x ayx xdyx faF ayx ydyx fF ayx xdyx fF 2 3 222 2 3 222 2 3 222 柱面坐标和球面坐标 柱面坐标 柱面坐标和球面坐标 柱面坐标 dzrdrdzrFdxdydzzyxf zz ry rx sin cos 其中 sin cos zrrfzrF 球面坐标 ddrdrdrdrrddv rz ry rx sinsin cos sinsin cossin 2 0 2 0 2 0 2 sin sin r drrrFdddddrrrFdxdydzzyxf 重心 dvz M zdvy M ydvx M x 1 1 1 其中 dvxM 转动惯量 dvyxIdvzxIdvzyI zyx 222222 曲线积分 曲线积分 第一类曲线积分 对弧长的曲线积分 设在 yxfL上连续 L的参数方程为 则 t ty tx 22 L dtttttfdsyxf 特殊情况 ty tx 第二类曲线积分 对坐标的曲线积分 25 L的参数方程为 则 ty tx L dttttQtttPdyyxQdxyxP 两类曲线积分之间的关系 其中 和 分别为L上积分起止点处切向量的方向角 LL dsQPQdyPdx coscos 格林公式 DL QdyPdxdxdy y P x Q 当 即 xQyP 2 y P x Q 时 得到的面积 D DL ydxxdydxdyA 2 1 平面上曲线积分与路径无关的条件 1 是一个单连通区域 G 2 在内具有一阶偏导数 且 yxQyxP G y P x Q 注意奇点 如 00 应减去对此奇点的 积分 注意方向相反 二元函数的全微分求积 在 y P x Q 时 才是二元函数的全微分 其中 QdyPdx yxu 00 yx yx dyyxQdxyxPyxu 通常设0 00 yx 曲面积分 曲面积分 对面积的曲面积分 xy D yx dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf 1 22 对坐标的曲面积分 其中 dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP xy D dxdyyxzyxRdxdyzyxR 取曲面的上侧时取正号 yz D dydzzyzyxPdydzzyxP 取曲面的前侧时取正号 zx D dzdxzxzyxQdzdxzyxQ 取曲面的右侧时取正号 两类曲面积分之间的关系 dsRQPRdxdyQdzdxPdydz coscoscos 高斯公式 高斯公式 26 dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P coscoscos 高斯公式的物理意义 通量与散度 散度 z R y Q x P v div 即 单位体积内所产生的流体质量 若0div n uuuuuuuuLL 或的审敛法 莱布尼兹定理 如果交错级数满足 那么级数收敛且其和 0lim 1 n n nn u uu 1 us 其余项的绝对值 n r 1 nn ur 绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛 27 1 其中为任意实数 2 LL n uuu 21n uLL n uuuu 321 如果 2 收敛 则 1 肯定收敛 且称为绝对收敛级数 如果 2 发散 而 1 收敛 则称 1 为条件收敛级数 调和级数 n 1 发散 而 n n 1 收敛 级数 2 1 n 收敛 级数 p 时收敛 时发散 1 1 pnp 幂级数 幂级数 时不定 时发散 时收敛 Rx Rx Rx 其中R称为收敛半径 求收敛半径的方法 设 n n n a a 1 lim 其中是 3 的系数 则 1 nn aa 0 0 1 0 R R R 时 时 时 函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 函数展开成泰勒级数 LL n n xx n xf xx xf xxxfxf 2 0 0 2 0 0 00 余项 1 1 0 1 xfxx n f R n n n 可以展开成泰勒级数的充要条件是 0lim n n R 0 0 x时 即为麦克劳林公式 LL n n x n f x f xffxf 0 2 0 0 0 2 一些函数展开成幂级数 一些函数展开成幂级数 0 1 n nx x n e x 0 2 2 1 cos n n n x n x x 0 12 12 1 sin n n n x n x x 1 1 1 1ln 1 1 xx n x n n n 0 1 1 1 n n x n n x L 其中 当1 时 当 1 1 x01 时 1 1 x 特别 当1 时 有 0 1 1 1 n nn x x 1 1 x 欧拉公式 欧拉公式 28 2 sin 2 cos sincos ixix ixix ix ee x ee x xixe 或 三角级数 三角级数 1 0 1 0 sincos 2 sin n nn n nn nxbnxa a tnAAtf 其中 xtAbAaAa nnnnnn cossin2 00 正交性 任意两个不同项的乘积在LLnxnxxxxxcos sin2cos 2sin cos sin 1 上的积 分 0 傅立叶级数 傅立叶级数 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a xf 周期 2 其中 3 2 1 sin 1 2 1 0 cos 1 L L nnxdxxfb nnxdxxfa n n 正弦级数 nxbxfnxdxxfba nnn sin 3 2 1nsin 2 0 0 L 是奇函数 余弦级数 nxa a xfnnxdxxfab nnn cos 2 2 1 0cos 2 0 0 0 L 是偶函数 周期为的周期函数的傅立叶级数 周期为的周期函数的傅立叶级数 l 2 l l xn b l xn a a xf n nn 2 sincos 2 1 0 周期 其中 其中 l l n l l n ndx l xn xf l b ndx l xn xf l a 3 2 1 sin 1 2 1 0 cos 1 L L 可引用的结果有 可引用的结果有 246 1 4 1 2 1 85 1 3 1 1 2 222 2 22 L L 相减 相加 124 1 3 1 2 1 1 64 1 3 1 2 1 1 2 222 2 222 L L 微分方程的相关概念 微分方程的相关概念 一阶微分方程 或 yxfy 0 dyyxQdxyxP 可分离变量的微分方程 一阶微分方程可以化为dxxfdyyg 的形式 解法 得 dxxfdyyg CxFyG 称为隐式通解 齐次方程 一阶微分方程可以写成 yxyxf dx dy 即写成 x y 的函数 解法 设 uu du x dx u dx du u dx du xu dx dy x y u 则分离变量 积分后将 x y 代替u 即得 29 齐次方程的通解 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程 1 一阶线性微分方程 xQyxP dx dy dxxPdxxP dxxP eCdxexQyxQ CeyxQ 0 0 时 为非齐次方程 当 为齐次方程 时当 2 贝努里方程 1 0 nyxQyxP dx dy n 全微分方程 全微分方程 如果中左端式某函数的全微分方程 即0 dyyxQdxyxP 0 dyyxQdxyxPyxdu 其中 yxQ y u yxP x u Cyxu 应该式该 全微分方程的通解 二阶微分方程 二阶微分方程 时为非齐次 时为齐次 0 0 2 2 xf xf xfyxQ dx dy xP dx yd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 0 qyypy 其中qp 为常数 求解步骤 求解步骤 1 写出特征方程 其中的系数及常数项恰好式 中系数 0 2 qprrrr 2 yyy 2 求出式的两个根 21 r r 3 根据的不同情况 按下表写出 式的通解 21 r r 的形式 21 rr 式的通解 两个不相等实根 04 2 qp xrxr ececy 21 21 两个相等实根 04 2 qp xr exccy 1 21 一对共轭复根 04 2 qp 2 4 2 2 21 pqp irir sincos 21 xcxcey x 二阶常系数非齐次线