2010年高中数学联赛平面几何试题的朔源分析.pdf

2010 年年高中数学联赛平面几何试题的朔源分析高中数学联赛平面几何试题的朔源分析 唐松锦 卢建川 吴伟朝 广州大学 数学与信息科学学院 广东 广州 51006 2010年全国高中数学联合竞赛试题 A卷 二试 题一 这样的 如图1 锐角三角形ABC的外心为O K是边 BC上一点 不是边BC的中点 D是线段AK延长线上一点 直线BD与AC交于点N 直线CD与AB交于点M 求证 若OK MN 则A B D C四点共圆 本文对此题的解法 来源及试题背景进行探讨 并给出了命题的变式和推广 现将此题答案给出如下 证明 用反证法 若A B D C不四点共圆 设 ABC的外接圆的半径为R 且与AD交于点E 连接BE并延长 交直线AN于点Q 连接CE并延长交直线AM于点P 连接PQ 延长PK至点F 使得PK KFAK KE 则P E F A四点共圆 故PFEPAEBCE 从而E C F K四点共圆 于是PK PF PE PC 得 2 PKPE PCAK KE 因为在 O上 22 PE PC POR 22 AK KEKOR 22222 PKPORKOR 同理 22222 QKQORKOR 相减得到 2222 PKQKPOQO OK PQ 由题设 OK MN 所以PQ MN 于是 AQAP QNPM 由梅内劳斯 Menelaus 定理 得 在 ADE中 BEQ为截线 1 NBDEAQ BDEAQN 在 ADM中 PEC为截线 1 MCDEAP CDEAPM 由 可得 MCNB CDBD 所以 MDND CDBD 故DMN DCB 于是DMNDCB 所以BC MN 故OKBC 即 K 为 BC 的中点 矛盾 从而 A B D C 四点共圆 一 试题分析 从本题的设置及解答可以看出 此题所综合的知识点较多 所考查的主要内容有 1图 图 2 L M1 H M B A A Q P E F B D C M N O K 1 等差幂线定理 如图 2 所示 若直线 L 垂直线段 AB 于 H 1 M 与M为 L 上的两点 则 2222 11 M AMAM BMB 反之 若上式成立 则 1 MM所在的直线L AB 可以看出在证明OKPQ 的 时候用了等差幂线定理 使得证明显得轻松而又自然 2 圆幂定理 如图3所示 2 PK P的幂 关于 O K的幂 关于 O 2222 POrKOr r为 O的半径 3 完全四边形的性质和图形特征及梅内劳斯 Menelaus 定理的巧妙运用 这几个定理的综合运用使得此题的综合性较强 有一定的深度和难度 探究此题根源 该题实质上有着深刻的背景 二 二 试题溯源 此题实际上是布脖卡定理的逆命题经过改造而得到的 布脖卡定理布脖卡定理 如图 如图 4 4 所示 凸四边形所示 凸四边形 ABCDABCD 内接于内接于 O O 延长 延长 ABAB CD CD 交于交于 点点 E E 延长 延长 BCBC ADAD 交于点交于点 F F ACAC BDBD 交于交于 P P 连接 连接 EFEF 则 则OP EF 分析 利用圆幂定理和等差幂线定理证明 证明 在射线 EP 上取一点 K 使得 K D C P 四点共圆 从而 E D K B 四点共圆 设 O半 径 为R 从点E向 O引 得 切 线 长t 则 222 E PK EE CD EtO ER 22 EP KPBP DPROP 上式相减 22222 EPOERROP 2222 2OEEPROP 同理 2222 2OFFPROP 即有 2222 OEEPOFFP 故OPEF 证毕 布勃卡定理的逆命题 如图 4 所示 凸四边形 ABCD 延长 AB CD 交于点 E 延长 BC AD 交于点 F AC BD 交于 P 连接 EF 若OPEF 则 A B C D 四点共圆 实际上 该逆命题是假命题 若增加了 K 为 BC 边上不为中点的任一点 这一条件后才是真命题 见延伸 1 2010 年的竞赛题就是根据该定理 从反面作逆向思考 通过增加题设条件演绎出一道新题 这道题证明的方法就 是采用构造法 先构造一个圆交 AC 于 E 然后利用布勃卡定理得到线线垂直 最后证明 E 与 C 共点 此道竞赛题及布勃卡定理可以用来命制和解决与垂直相关的试题 如以下试题的编制 试题一 在完全四边形 ABCDEF 中 对角线 AD 所在的直线交对角线 CE 于 G 则AGBAGF 的充要条件是 ADCE 若将圆与完全四边形相结合 以垂直为命题方向 就得到 试题二 如图 4 所示 ABC 中 O为外心 三条高 AD BE CF 交于点 H 直线 ED 和 AB 交于点 M FD 和 图3 K o Q P C D B A P o F E D C B A 图 4 AC 交于点 N 求证 1 OB DF OCDE 2 OHMN 2001 年全国高中数学联赛 该题的证法有 20 多种 本例采用证明布脖卡定理的思路 证明 1 略 2 作OPAB 于 P 则BPAP 222222 MP MOBOPOBPOP 22 MPBPMA MB 同理 22 NC NANOCO 从而 22 MA MBNC NAMONO 延长 MH 至 Q 使得 Q H D E 四点共圆 则MH MQ MD ME 且 MQEMDH180ADE180ABEMBE 从而 M B Q E 四点共圆 即有MH HQ BH HE 于是 2 MHQMH HQ MDBH HEMHMHMQHQMME 同理 2 D CH HFNHNNF 注意到BH HE CH HF MA MDMBME DNCNANNF 即有 2222 OMONHMNH 故OHMN 证毕 布勃卡定理的证明思路给了许多试题启迪 定理本身的应用也很广泛 如在上例中 若 D 是ABC 的外接圆 上一点时 就有 试题三 如图 5 所示 凸四边形内接于 O 延长 AB CD 交于点 E 延长 BC AD 交于点 F AC BD 交于 P 直线 OP 交 EF 于 G 求证AGBCGD 证明 根据布勃卡定理可得 OPEF 延长 AC 交 EF 于 Q 则在完全四边形 ABECFD 中 P Q 调和分割 AC 从而 GA GC GP GD 为调和线束 而GP GQ 于是 GP 平分 AGC 即 AGPCGP 延长 DB 交 EF 于 L 或无穷远点 L 则知 L P 调和分割 BD 同样可得 BGPDGP 故 AGBCGD 从以上的分析中 我们若能以更高的观点去分析 探求试题的本源和背景 抓住试题的本质特征 这就能给 试题的解题思路提供了一个明确的目标 同样我们从本题出发 对本题进行相应的改造和变通 我们也可以得 到新的问题 三 问题的变式和延伸 变式 设凸四边形 ABCD 的两组对边所在的直线分别交于 E F 两点 两对角线的交点为 P 过点 P 作OP EF 于 Q K P O G F E D C B A 5图 O 求证 COBAOD 2002 年国家队选拔赛试题 变式 2 试举出一个反例说明当 K 为 BC 的中点时 结论不成立 变式 3 凸四边形 ABCD 三角形 ABD 的外接圆圆心为O 延长 AB CD 交于点 E 延长 BC AD 交于点 F AC BD 交于 P 在 EF 上取点 R 使得RBRD 且BDPR 则 P O R 三点共线 变式 4 设凸四边形 ABCD 的两组对边所在的直线分别交于 E F 两点 两对角线的交点