高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.4 第2课时 放缩法、几何法、反证法课件 北师大版选修45.ppt

第一章不等关系与基本不等式 4不等式的证明 第二课时放缩法 几何法 反证法 阅读教材p18 p21的有关内容 完成下列问题 1 放缩法通过 或 分式的分母 或分子 或通过 或 被减式 或减式 来证明不等式 这种证明不等式的方法称为放缩法 缩小 放大 放大 缩小 1 运用放缩法证明不等式的关键是什么 提示 运用放缩法证明不等式的关键是放大 或缩小 要适当 如果所要证明的不等式中含有分式 那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小 反之 如果把分母缩小 则相应分式的值就会放大 有时也会把分子 分母同时放大 这时应该注意不等式的变化情况 可以与相应的函数相联系 以达到判断大小的目的 这些都是证明中的常用方法技巧 也是放缩法中的主要形式 2 几何法通过 利用 的性质来证明不等式的方法称为几何法 构造几何图形 几何图形 由三角形两边之差小于第三边 得 f a f b a b 当a b两点重合时 f a f b a b 答案 3 反证法通过证明 不能成立来肯定 一定成立的方法叫作反证法 其证明的步骤如下 1 作出 的假设 2 进行推理 导出矛盾 3 假设 结论 命题结论的否定 命题结论 否定结论 否定 肯定 2 用反证法证不等式应把握哪些问题 提示 用反证法证明不等式要把握好以下三点 1 必须先否定结论 对结论的反面出现的多种可能要逐一论证 缺少任何一种可能 证明都是不完全的 2 反证法必须从否定结论进行推理 且必须根据这一条件进行论证 否则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行论证 就不是反证法 3 推导出来的矛盾可以是多种多样的 有的与已知条件相矛盾 有的与假设相矛盾 有的与定理 公理相违背 有的与已知的事实相矛盾等 但推导出的矛盾必须是明显的 用放缩法证明不等式 点评 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一 放缩必须有目标 而且要恰到好处 目标往往要从证明的结论考察 常用的放缩方法有增项 减项 利用分式的性质 利用不等式的基本性质 利用已知的绝对值不等式 利用平均值不等式 利用函数的性质进行放缩等 用几何法证明不等式 点评 几何法证明不等式比代数法更加形象 直观 主要运用我们所熟悉图形的性质 如两点间线段最短 点到直线的距离最短等 证明 如图所示 构造单位正方形abcd 点o是正方形内一点 点o到ad ab的距离分别为a b 则 若0 a 2 0 b 2 0 c 2 求证 2 a b 2 b c 2 c a不能同时大于1 用反证法证明不等式 点评 1 用反证法证明问题要严格按照证明步骤进行 其证明步骤可以概括为 否定 推理 否定 2 反证法必须先否定结论 对结论的反面出现的多种可能要逐一进行论证 缺少任何一种可能 证明都不完全 证明 1 f 1 f 3 2f 2 1 p q 9 3p q 2 4 2p q 2 2 用反证法证明 1 反证法适宜证明的问题反证法适宜证明存在性问题 唯一性问题 否定性问题 带有 至少有一个 或 至多有一个 等字样的问题 或者说 正难则反 直接证明有困难时 常采用反证法 下面我们列举一下常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设 2 几何法证明不等式的原理如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系 则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景 通过构造几何模型 化数为形