高中数学 第三章 变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率课件6 北师大版选修11.ppt

问题的提出 问题一 一个小球自由落体 它在下落3秒时的速度是多少 问题二 周长为60cm的正方形铁皮做一个无盖水箱 先在四角截去一个小正方形 然后把四边翻转90o角 再焊接而成 水箱底边多长时 水箱容积最大 最大容积是多少 第三章变化率与导数 在报纸或电视节目中 我们有时会得到这样的信息 这种新研制的战斗机最大飞行高度18000米 最大冲刺速度1480千米 时 据某气象台报道 某市在20日凌晨1 2时降雨强度达72毫米 时 有的地方瞬间降雨强度达99毫米 时 被称作 白雨 眼睛已看不清景物 冲刺速度 降雨强度 刻画的是飞行的路程和降雨量瞬时变化的情况 都是数学中导数概念的原型 导数是数学中最重要的概念之一 它在日常生活和科学研究中有广泛的应用 m x x2 x1 y 如图 曲线c是函数y f x 的图象 p x1 y1 是曲线c上的任意一点 q x2 y2 为p邻近一点 pq为c的割线 pm x轴 qm y轴 为pq的倾斜角 1变化的快慢与变化率 一 平均变化率 记 自变量的改变量 x y y2 y1 函数值的改变量 用它来刻画函数值在区间 x1 x2 上变化的快慢 平均变化率 p 切线 t 请看 当点q沿着曲线逐渐向点p接近时 割线pq绕着点p逐渐转动的情况 x y 当 x 0时 pq pt 某一常数 切线的斜率 1 切线 当点q沿着曲线无限接近点p 即 x 0时 割线pq有一个极限位置pt 则我们把直线pt称为曲线在点p处的切线 2 切线的斜率 设切线的倾斜角为 那么当 x 0时 割线pq的斜率 称为曲线在点p处的切线的斜率 即 3 如何求曲线上一点的切线的斜率 1 求 y 这个概念 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 指出了切线斜率的本质 函数平均变化率的极限 说明切线是割线的极限位置 切线的斜率是一个极限 二 瞬时变化率 瞬时变化率 例1 求曲线y f x x2 1在点p 1 2 处的切线的斜率 切线方程 解 因此 切线方程为y 2 2 x 1 即y 2x 例2 曲线y x3在x 0处的切线是否存在 若存在 求出切线的斜率和切线方程 若不存在 请说明理由 解 1 y f 0 x f 0 x 3 因此 切线方程为y 0 注意 曲线的切线 并不一定与曲线只有一个交点 可以有多个 甚至可以无穷多个 问 曲线在点x0处一定有切线吗 4 曲线在点x0处的切线有以下几种情形 说明曲线在x0处有切线 且切线的斜率是k 说明曲线在x0处有切线 但切线的斜率不存在 说明曲线在x0处没有切线 练习1 判断曲线y 2x2在点p 1 2 处是否有切线 如果有 求出切线方程 4x y 2 0 第3秒 第3 t秒 三 瞬时速度 当 t 0时 常数29 4 平均速度反映了物体运动时的快慢程度 但要精确地描述非匀速直线运动 就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度 也既需要通过瞬时速度来反映 1 平均速度 设物体的运动规律是s s t 则物体在t到t t这段时间内的平均速度为 3 求瞬时速度一般可以分为三步 1 求 s 2 物体在时刻t的瞬时速度 物体在t到t t这段时间内 当 t 0时的平均速度的极限 解 1 将 t 0 1代入上式 得 从而平均速度的极限是 即物体在t 2 s 时的瞬时速度是20m s 练习2 p56 2 小结 2 曲线在点p x0 y0 处切线的斜率 2 瞬时速度