高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.2.1 绝对值不等式课件 北师大版选修45.ppt

第一章不等关系与基本不等式 2含有绝对值的不等式 2 1绝对值不等式 阅读教材p6 p7 绝对值不等式 的有关内容 完成下列问题 1 绝对值的几何意义设a是任意一个实数 在数轴上 1 a 表示 的距离 2 x a 表示 的距离 3 x a 表示 的距离 实数a对应的点与原点o之间 实数x对应的点与实数a对应的点之间 实数x对应的点与实数 a对应的点之间 在数轴上把a b a b表示出来 分ab 0 ab 0两种情况 解 1 当ab 0时 如图所示 2 当ab 0时 如图所示 2 绝对值不等式定理对任意实数a和b 有 a b 当且仅当ab 0时 等号成立 a b 1 a b 与 a b 及 a b 分别具有怎样的大小关系 提示 a b a b a b 3 绝对值不等式的常用结论 1 设a b是任意实数 有 a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 2 对任意实数a b c 有 a b a c c b 当且仅当 a c c b 0时 等号成立 2 不等式 a b a b a b 中等号成立的条件分别是什么 提示 不等式 a b a b a b 右侧等号成立的条件是ab 0 左侧等号成立的条件是ab 0且 a b 不等式 a b a b a b 右侧等号成立的条件是ab 0 左侧等号成立的条件是ab 0且 a b 绝对值不等式的证明 证明 依题意 得m a m b m 1 x m x a x b x 1 x 2 b 点评 含绝对值不等式的证明 往往可通过平方法 换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题 或利用绝对值不等式定理 a b a b a b 证明不等式 常要对绝对值内的式子进行分析组合 添项 减项 使待证式与已知之间联系起来 最后通过绝对值的运算完成证明 利用绝对值不等式定理求含绝对值的函数的最值 求函数y x 3 x 1 的最大值和最小值 解 法一 x 3 x 1 x 3 x 1 4 4 x 3 x 1 4 ymax 4 ymin 4 点评 求函数y x m x n 和y x m x n 的最值 其主要方法如下 1 借助绝对值的定义 即零点分段 2 利用绝对值的几何意义 3 利用绝对值不等式定理 a b a b a b 直接求解 2 求函数y x 3 x 1 的最小值 解 法一 x 3 x 1 3 x x 1 3 x x 1 4 当且仅当 3 x x 1 0时 等号成立 由 3 x x 1 0 得 x 3 x 1 0 1 x 3 故当 1 x 3时 函数y x 3 x 1 取得最小值4 若关于x的不等式a x 4 x 3 恒成立 则实数a的取值范围是 解析 x 4 x 3 x 4 x 3 7 a 7 故实数a的取值范围是 7 答案 7 绝对值不等式定理的应用 互动探究 若本例条件变为 若关于x的不等式a x 4 x 3 恒成立 如何求实数a的取值范围 解析 x 4 x 3 x 4 x 3 7 a 7 故实数a的取值范围为 7 答案 7 点评 利用绝对值不等式定理解决恒成立问题时 通常利用 a b 达到消去变量的目的 从而得到 a b 的最小值或 a b 的最大值 3 1 若关于x的不等式 x 2 x 3 a的解集为空集 则实数a的取值范围是 2 若关于x的不等式 2x 1 2x 1 a对任意实数x恒成立 则实数a的取值范围是 解析 1 关于x的不等式 x 2 x 3 a的解集为空集 即关于x的不等式 x 2 x 3 a恒成立 又 x 2 x 3 x 2 x 3 5 则a 5 故实数a的取值范围是 5 2 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2 a 2 故实数a的取值范围是 2 答案 1 5 2 2 1 证明绝对值不等式的三种主要方法 1 利用绝对值的定义去掉绝对值符号 转化为普通不等式再证明 2 利用绝对值不等式定理 a b a b a b 进行证明 3 转化为函数问题 数形结合进行证明 2 研究含有绝对值的函数问题时 根据绝对值的定义 分类讨论去掉绝对值符号 将原函数转