高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第45讲 立体几何中的向量方法（二）求空间角和距离课件.ppt

立体几何 第七章 第45讲立体几何中的向量方法 二 求空间角和距离 栏目导航 1 两条异面直线所成角的求法设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 a 30 60 5 p是二面角 ab 棱上一点 分别在平面 上引射线pm pn 如果 bpm bpn 45 mpn 60 那么二面角 ab 的大小为 90 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 1 选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系 2 确定异面直线上两个点的坐标 从而确定异面直线的方向向量 3 利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值 4 两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值 一求异面直线所成的角 二求直线与平面所成的角 利用向量法求线面角的方法 1 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 2 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所成的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 例2 如图 长方体abcd a1b1c1d1中 ab 16 bc 10 aa1 8 点e f分别在a1b1 d1c1上 a1e d1f 4 过点e f的平面 与此长方体的底面相交 交线围成一个正方形 1 在图中画出这个正方形 不必说明画法和理由 2 求直线af与平面 所成角的正弦值 三求二面角 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在面的法向量 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 b 1 证明 直线ce 平面pab 2 点m在棱pc上 且直线bm与底面abcd所成角为45 求二面角m ab d的余弦值 四求空间距离 求点面距一般有以下三种方法 作点到面的垂线 点到垂足的距离即为点到平面的距离 等体积法 向量法 其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便 1 如右图所示正方体abcd a b c d 已知点h在a b c d 的对角线b d 上 hda 60 求dh与cc 所成角的大小 解析如图所示 以d为原点 da为单位长度 建立空间直角坐标系dxyz 2 2017 山东模拟 如图 在直棱柱abcd a1b1c1d1中 ad bc bad 90 ac bd bc 1 ad aa1 3 1 证明 ac b1d 2 求直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值 4 如图所示 在直三棱柱abc a1b1c1中 bac 90 ab ac aa1 1 p是ad的延长线与a1c1的延长线的交点 且pb1 平面bda1 1 求证 cd c1d 2 求二面角a a1d b的平面角的余弦值 3 求点c到平面b1dp的距离 易错点混淆向量的夹角与直线平面两元素的夹角的概念 当图形不能确定时 要根据向量的坐标在图形中观察向量的方向 从而确定二面角与向量n1 n2的夹角是相等 一个平面的法向量指向二面角的内部 另一个平面的法向量指向二面角的外部如图 还是互补 两个法向量同时指向二面角的内部或外部如图 这是利用向量法求二面角的难点 也是易错点 例1 如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ad ab ab dc ad dc ap 2 ab 1 点e为棱pc的中点 1 证明 be dc 2 求直线be与平面pbd所成角的正弦值 3 若f为棱pc上一点 满足bf ac 求二面角f ab p的余弦值 跟踪训练1 如图 四边形abcd