高中数学 3.1 空间向量及其运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课件 新人教A版选修21.pptVIP

3 1 4空间向量的正交分解及其坐标表示 1 了解空间向量的正交分解的含义 2 掌握空间向量的基本定理 并能用空间向量基本定理解决一些简单问题 3 掌握空间向量的坐标表示 能在适当的坐标系中写出向量的坐标 1 设i j k是空间三个两两垂直的向量 那么 对空间任一向量p 存在一个有序实数组 x y z 使得p xi yj zk 我们称xi yj zk为向量p在i j k上的分向量 2 空间向量基本定理 如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得p xa yb zc 3 如果三个向量a b c不共面 那么所有空间向量组成的集合就是 p p xa yb zc x y z r 这个集合可看作是由向量a b c生成的 我们把 a b c 叫做空间的一个基底 a b c都叫做基向量 空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底 4 设e1 e2 e3为有公共起点o的三个两两垂直的单位向量 我们称它们为单位正交基底 以e1 e2 e3的公共起点o为原点 分别以e1 e2 e3的方向为x轴 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系oxyz 那么 对于空间任意一个向量p 一定可以把它平移 使它的起点与原点o重合 得到 由空间向量基本定理可知 存在有序实数组 x y z 使得p xe1 ye2 ze3 我们把x y z称作向量p在单位正交基底e1 e2 e3下的坐标 记作p x y z 做一做1 已知 a b c 是空间向量的一个基底 则可以与向量p a b q a b构成基底的向量是 a ab bc a 2bd a 2c解析 空间构成一个基底的条件是三个向量不共面 故只有d选项满足条件 答案 d 做一做2 有以下三个命题 三个非零向量a b c不能构成空间的一个基底 则a b c共面 若两个非零向量a b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底 则a b共线 若a b是两个不共线向量 而c a b r 且 0 则 a b c 构成空间的一个基底 其中真命题的个数是 a 0b 1c 2d 3解析 正确 中 由平面向量的基本定理可知向量a b c共面 故 为假命题 答案 c 做一做3 设 i j k 是空间向量的一个单位正交基底 a 3i 2j k b 2i 4j 2k 则向量a b的坐标分别是 答案 3 2 1 2 4 2 1 空间向量基本定理的证明 2 唯一性 设还有实数x y z 使p x a y b z c 而p xa yb zc 则xa yb zc x a y b z c 所以 x x a y y b z z c 0 又a b c不共面 所以x x 0 y y 0 且z z 0 即x x y y 且z z 所以p xa yb zc的表示形式是唯一的 2 空间向量的坐标表示剖析 1 单位正交基底 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直 且长都为1个单位 那么这个基底叫做单位正交基底 用 i j k 或 e1 e2 e3 表示 2 空间直角坐标系 在空间选定一点o和一个单位正交基底 i j k 以点o为原点 分别以i j k的方向为正方向画三条数轴 x轴 y轴 z轴 它们都叫做坐标轴 则建立了一个空间直角坐标系oxyz 点o叫原点 向量i j k都叫做坐标向量 4 空间任一点p的坐标的确定 过点p作平面xoy的垂线 垂足为点p 在平面xoy中 过点p 分别作x轴 y轴的垂线 垂足分别为点a c 则 x p c y ap z pp 如图所示 题型一 题型二 题型三 基底的概念 例1 若 a b c 是空间的一个基底 试判断 a b b c c a 能否作为空间的一个基底 分析 解答本题可以使用反证法 判断a b b c c a是否共面 若不共面 则可作为一个基底 否则 不能作为一个基底 解 假设a b b c c a共面 则存在实数 和 使得a b b c c a a b a b c a b b c c a不共面 a b b c c a 可以作为空间的一个基底 题型一 题型二 题型三 反思判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底 关键是看它们是否共面 常用反证法来判断 题型一 题型二 题型三 变式训练1 设x a b y b c z c a 且 a b c 是空间的一个基底 给出下列向量组 a b x x y z b c z x y a b c 其中可以作为空间的基底的向量组有 a 1个b 2个c 3个d 4个 题型一 题型二 题型三 解析 x a b y b c z c a x a b共面 故 不能作为基底 x y z不共面可以作为一个基底 故 可作为基底 z c a与b和c不共面 故 可以构成一个基底 假设a b b c a b c共面 则a b c a b b c a b c 故x y a b c不共面 可以作为空间的一个基底 答案 c 题型一 题型二 题型三 用基底表示向量 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思利用空间向量的一个基底 a b c 可以表示出任意一个空间向量 要注意结合图形 灵活地运用向量的三角形法则 平行四边形法则及向量的数乘运算 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 求向量的坐标 例3 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是直角梯形 bad 90 ad bc ab bc a ad 2a pa 底面abcd pda 30 ae pd 试建立适当的空间直角坐标系并求出图中各点的坐标 分析 由题意知 ap ab ad两两垂直 故以a为坐标原点 ab ad ap所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思建立空间直角坐标系 必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线 要在题目中找出或构造出这样的三条直线 因此要充分利用题目中所给的垂直关系 即线线垂直 线面垂直 面面