江苏省13市中考数学试题分类解析汇编 专题14 几何三大变换问题.doc

专题14：几何三大变换问题1. （2015年江苏泰州3分）如图，在平面直角坐标系xoy中，由绕点p旋转得到，则点p的坐标为【 】a. b. c. d. 【答案】b.【考点】旋转的性质；旋转中心的确定；线段垂直平分线的性质. 【分析】根据“旋转不改变图形的形状与大小”和“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的性质，确定图形的旋转中心的步骤为：1.把这两个三角形的对应点连接起来；2.作每条线的垂直平分线；3.这三条垂直平分线交于一点,此点为旋转中心. 因此，作图如答图, 点p的坐标为.故选b.2. （2015年江苏无锡3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是【 】a. 等边三角形 b. 平行四边形 c. 矩形 d. 圆【答案】a【考点】轴对称图形和中心对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合. 因此，a、只是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；b、只是中心对称图形，不合题意；c、d既是轴对称图形又是中心对称图形，不合题意故选a3. （2015年江苏无锡3分）如图，rtabc中，acb90，ac3，bc4，将边ac沿ce翻折，使点a落在ab上的点d处；再将边bc沿cf翻折，使点b落在cd的延长线上的点b处，两条折痕与斜边ab分别交于点e、f，则线段bf的长为【 】a. b. c. d. 【答案】b【考点】翻折变换（折叠问题）；折叠的性质；等腰直角三角形的判定和性质；勾股定理【分析】根据折叠的性质可知，.，. 是等腰直角三角形. . .，.在中，根据勾股定理，得ab=5，.在中，根据勾股定理，得，.在中，根据勾股定理，得.故选b4. （2015年江苏徐州3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是【 】a. 直角三角形 b. 正三角形 c. 平行四边形 d. 正六边形【答案】b.【考点】轴对称图形和中心对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合. 因此，a. 直角三角形不一定是轴对称图形和中心对称图形；b. 正三角形是轴对称图形但不是中心对称图形； c. 平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； d. 正六边形是轴对称图形也是中心对称图形.故选b.5. （2015年江苏盐城3分）下列四个图形中，是中心对称图形的为【 】a. b. c. d. 【答案】c.【考点】中心对称图形.【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合. 因此，所给图形中是中心对称图形的为. 故选c.6. （2015年江苏扬州3分）如图，在平面直角坐标系中，点b、c、e在y轴上，rtabc 经过变换得到rtode，若点c的坐标为（0，1），ac=2，则这种变换可以是【 】a. abc绕点c顺时针旋转90，再向下平移3 b. abc绕点c顺时针旋转90，再向下平移1 c. abc绕点c逆时针旋转90，再向下平移1 d. abc绕点c逆时针旋转90，再向下平移3【答案】a.【考点】图形的旋转和平移变换. 【分析】按各选项的变换画图（如答图），与题干图形比较得出结论. 故选a.7. （2015年江苏常州2分）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是【 】a. b. c. d. 【答案】b【考点】轴对称图形.【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合. 因此，a、不是轴对称图形，故本选项错误；b、是轴对称图形，故本选项正确；c、不是轴对称图形，故本选项错误；d、不是轴对称图形，故本选项错误故选b8. （2015年江苏常州2分）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是【 】a. cm2 b.8 cm2 c. cm2 d. 16cm2【答案】b【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形的性质.【分析】如答图，当acab时，三角形面积最小，bac=90，acb=45，ab=ac=4cm.sabc=44=8cm2故选b9. （2015年江苏南通3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】a. b. c. d. 【答案】a【考点】轴对称图形；中心对称图形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合. 因此，a、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故a正确；b、不是轴对称图形，是中心对称图形，故b错误；c、是轴对称图形，不是中心对称图形，故c错误；d、是轴对称图形，不是中心对称图形，故d错误故选a1. （2015年江苏南京2分）在平面直角坐标系中，点a的坐标是，作点a关于x轴的对称点得到点a，再作点a关于y轴的对称点，得到点a，则点a的坐标是（ ， ）【答案】；3.【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标特征.【分析】关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点a关于x轴对称的点a的坐标是；关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点a 关于y轴对称的点a的坐标是.2. （2015年江苏苏州3分）如图，在abc中，cd是高，ce是中线，ce=cb，点a、d关于点f对称，过点f作fgcd，交ac边于点g，连接ge若ac=18，bc=12，则ceg的周长为 【答案】27.【考点】点对称的性质；等腰三角形的性质；三角形中位线的性质.【分析】ce=cb，bc=12，ce=cb=12.点e是ab 的中点，eg 是abc 的中位线. .又点a、d关于点f对称，fgcd，fg 是adc的中位线.ac=18，.ceg 的周长为：ce+ge+cg=12+6+9=27.3. （2015年江苏泰州3分）如图， 矩形中，ab=8，bc=6，p为ad上一点，将abp 沿bp翻折至ebp， pe与cd相交于点o，且oe=od，则ap的长为 【答案】.【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；折叠对称的性质；勾股定理，全等三角形的判定和性质；方程思想的应用. 【分析】如答图，四边形是矩形，.根据折叠对称的性质，得，.在和中，. .设，则，.在中，根据勾股定理，得，即.解得.ap的长为.4. （2015年江苏扬州3分）如图，已知rtabc中，abc=90，ac=6，bc=4，将abc绕直角顶点c顺时针旋转90得到dec，若点f是de的中点，连接af，则af= 【答案】5.【考点】面动旋转问题；直角三角形斜边上中线的性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理；勾股定理.【分析】如答图，连接，过点作于点，在rtabc中，abc=90，点f是de的中点，.是等腰三角形.将abc绕直角顶点c顺时针旋转90得到dec，bc=4，ac=6，.，.又分别是的中点，是dec的中位线.在rtagf中，由勾股定理，得af=5.5. （2015年江苏镇江2分）如图，将等边oab绕o点按逆时针方向旋转150，得到oab（点a，b分别是点a，b的对应点），则1= 【答案】150【考点】旋转的性质；等边三角形的性质【分析】等边oab绕点o按逆时针旋转了150，得到oab，aoa=150，aob=60，1=360aoaaob=36015060=150.6. （2015年江苏镇江2分）如图，abc和dbc是两个具有公共边的全等三角形，ab=ac=3cm，bc=2cm，将dbc沿射线bc平移一定的距离得到d1b1c1，连接ac1，bd1如果四边形abd1c1是矩形，那么平移的距离为 cm【答案】7【考点】面动平移问题；相似三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；平移的性质【分析】如答图，过点a作aebc于点e，aeb=aec1=90，bae+abc=90.ab=ac，bc=2，be=ce=bc=1，四边形abd1c1是矩形，bac1=90.abc+ac1b=90. bae=ac1b.abec1ba. .ab=3，be=1，.bc1=9.cc1=bc1bc=92=7，即平移的距离为71. （2015年江苏连云港10分）如图，将平行四边形abcd沿对角线bd进行折叠，折叠后点c落在点f处，df交ab于点e(1）求证；edb=ebd；(2）判断af与db是否平行，并说明理由【答案】解：（1）证明：由折叠可知：cdb=edb，四边形abcd是平行四边形，dcab. cdb=ebd.edb=ebd.（2）afdb. 理由如下：edb=ebd，de=be.由折叠可知：dc=df，四边形abcd是平行四边形，dc=ab. df=ab.ae=ef. eaf=efa.在bed中，edb+ebd+deb=180，2edb+deb=180.同理，在aef中，2efa+aef=180.deb=aef，edb=efa. afdb【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质；平行的判定和性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定和性质【分析】（1）一言面，由折叠可得cdb=edb，另一方面，由四边形abcd是平行四边形可得dcab，从而得到cdb=ebd，进而得出结论.（2）可判定afdb，首先证明ae=ef，得出afe=eaf，然后根据三角形内角和定理与等式性质可证明bde=afe，从而得出afbd的结论.2. （2015年江苏连云港12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形abcd与边长为的正方形aefg按图1位置放置，ad与ae在同一直线上，ab与ag在同一直线上（1）小明发现dgbe，请你帮他说明理由（2）如图2，小明将正方形abcd绕点a逆时针旋转，当点b恰好落在线段dg上时，请你帮他求出此时be的长（3）如图3，小明将正方形abcd绕点a继续逆时针旋转，将线段dg与线段be相交，交点为h，写出ghe与bhd面积之和的最大值，并简要说明理由【答案】解：（1）四边形abcd和四边形aefg都为正方形，ad=ab，dag=bae=90，ag=ae，adgabe（sas）.agd=aeb.如答图1，延长eb交dg于点h，在adg中，agd+adg=90，aeb+adg=90.在edh中，aeb+adg+dhe=180，dhe=90. dgbe.（2）四边形abcd和四边形aefg都为正方形，ad=ab，dab=gae=90，ag=ae，dab+bag=gae+bag，即dag=bae，adgabe（sas）.dg=be.如答图2，过点a作amdg交dg于点m，则amd=amg=90，bd为正方形abcd的对角线，mda=45.在rtamd中，mda=45，ad=2，.在rtamg中，根据勾股定理得：，.（3）ghe和bhd面积之和的最大值为6，理由如下：对于egh，点h在以eg为直径的圆上，当点h与点a重合时，egh的高最大；对于bdh，点h在以bd为直径的圆上，当点h与点a重合时，bdh的高最大.ghe和bhd面积之和的最大值为2+4=6【考点】面动旋转问题；正方形的性质；全等三角形的判定和性质；三角形内角和定理；等腰直角三角形的性质，勾股定理；数形结合思想的应用【分析】（1）由四边形abcd与四边形aefg为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用sas得到adgabe，利用全等三角形对应角相等得agd=aeb，作辅助线“延长eb交dg于点h”，利用等角的余角相等得到dhe=90，从而利用垂直的定义即可得dgbe.（2）由四边形abcd与四边形aefg为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用sas得到adgabe，利用全等三角形对应边相等得到dg=be，作辅助线“过点a作amdg交dg于点m”，则amd=amg=90，在rtamd中，根据等腰直角三角形的性质求出am的长，即为dm的长，根据勾股定理求出gm的长，进而确定出dg的长，即为be的长.（3）ghe和bhd面积之和的最大值为6，理由为：对两个三角形，点h分别在以eg为直径的圆上和以bd为直径的圆上，当点h与点a重合时，两个三角形的高最大，即可确定出面积的最大值3. （2015年江苏苏州10分）如图，在矩形abcd中，ad=acm，ab=bcm（ab4），半径为2cm的o在矩形内且与ab、ad均相切现有动点p从a点出发，在矩形边上沿着abcd的方向匀速移动，当点p到达d点时停止移动；o在矩形内部沿ad向右匀速平移，移动到与cd相切时立即沿原路按原速返回，当o回到出发时的位置（即再次与ab相切）时停止移动已知点p与o同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）（1）如图，点p从abcd，全程共移动了 cm（用含a、b的代数式表示）；（2）如图，已知点p从a点出发，移动2s到达b点，继续移动3s，到达bc的中点若点p与o的移动速度相等，求在这5s时间内圆心o移动的距离；（3）如图，已知a=20，b=10是否存在如下情形：当o到达o1的位置时（此时圆心o1在矩形对角线bd上），dp与o1恰好相切？请说明理由【答案】解：（1）.（2）在整个运动过程中，点p移动的距离为cm，圆心移动的距离为cm，由题意得.点p移动2s到达b点，即点p用2s移动了cm，点p继续移动3s到达bc的中点，即点p用3s移动了cm，.联立，解得.点p移动的速度与o移动的速度相等，o移动的速度为（cm/s）.这5s时间内圆心o移动的距离为（cm）.（3）存在这样的情形.设点p移动的速度为cm/s，o移动的速度为cm/s，根据题意，得.如答图，设直线oo1与ab交于点e，与cd交于点e，o1与ad相切于点pg.若pd与o1相切，切点为h，则.易得do1gdo1h，adb=bdp.bcad，adb=cbd. bdp =cbd.bp=dp.设cm，则cm，cm，在中，由勾股定理，得，即，解得.此时点p移动的距离为（cm）.efad，beo1bad. ，即.cm，cm.当o首次到达o1的位置时，o与移动的距离为14cm.此时点p移动的速度与o移动的速度比为.此时dp与o1恰好相切.当o在返回途中到达o1的位置时，o与移动的距离为cm.此时点p移动的速度与o移动的速度比为.此时dp与o1不可能相切.【考点】单动点和动圆问题；矩形的性质；直线与圆的位置关系；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；方程思想和分类思想的应用.【分析】（1）根据矩形的性质可得：点p从abcd，全程共移动了cm.（2）根据“在整个运动过程中，点p移动的距离等于圆心移动的距离”和“点p用2s移动了cm，点p用3s移动了cm”列方程组求出a，b，根据点p移动的速度与o移动的速度相等求得o移动的速度，从而求得这5s时间内圆心o移动的距离.（3）分o首次到达o1的位置和o在返回途中到达o1的位置两种情况讨论即可.4. （2015年江苏盐城12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，将抛物线的对称轴绕着点p（，2）顺时针旋转45后与该抛物线交于a、b两点，点q是该抛物线上的一点.（1）求直线ab的函数表达式；（2）如图，若点q在直线ab的下方，求点q到直线ab的距离的最大值；（3）如图，若点q在y轴左侧，且点t（0，t）（t2）是直线po上一点，当以p、b、q为顶点的三角形与pat相似时，求所有满足条件的t的值.【答案】解：（1）如答图1，设直线ab与轴的交点为m，p（，2），.设直线ab的解析式为，则，解得.直线ab的解析式为.（2）如答图2，过点q作轴的垂线qc，交ab于点c，再过点q作直线ab的垂线，垂足为点d，根据条件可知，是等腰直角三角形.设，则，.当时，点q到直线ab的距离的最大值为.（3），中必有一角等于45.由图可知，不合题意.若，如答图3，过点b作轴的平行线与轴和抛物线分别交于点，此时，.根据抛物线的轴对称性质，知，是等腰直角三角形.与相似，且，也是等腰直角三角形.i）若，联立，解得或. .，此时，.ii）若，此时，.若，是情况之一，答案同上.如答图4，5，过点b作轴的平行线与轴和抛物线分别交于点，以点为圆心，为半径画圆，则都在上，设与y轴左侧的抛物线交于另一点.根据圆周角定理，点也符合要求.设，由得解得或，而，故.可证是等边三角形，.则在中，.i）若，如答图4，过点作轴于点，则，.，此时，.ii）若，如答图5，过点作轴于点，设，则.，.，此时，.综上所述，所有满足条件的t的值为或或或.【考点】二次函数综合题；线动旋转和相似三角形存在性问题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；等腰直角三角形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；二次函数最值；勾股定理；圆周角定理；分类思想、数形结合思想、方程思想的应用.【分析】（1）根据旋转的性质得到等腰直角三角形，从而得到解决点m的坐标，进而应用待定系数法即可求得直线ab的解析式.（2）作辅助线“过点q作轴的垂线qc，交ab于点c，再过点q作直线ab的垂线，垂足为点d”，设，求出关于的二次函数，应用二次函数最值原理即可求解.（3）分，三种情况讨论即可.5. （2015年江苏扬州10分）如图，将沿过点a的直线折叠，使点d落到ab边上的点处，折痕交cd边于点e，连接be.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若be平分abc，求证：.【答案】证明：（1）如答图，将沿过点a的直线折叠，.四边形是平行四边形，. . .，. 四边形是平行四边形.（2）如答图，be平分abc，.四边形是平行四边形，. .由（1），即.在中，由勾股定理，得.【考点】折叠问题；折叠对称的性质；平行四边形的判定和性质；平行的性质；等腰三角形的判定；三角形内角和定理；勾股定理.【分析】（1）要证四边形是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，一方面，由四边形是平行四边形可有；另一方面，由折叠对称的性质、平行的内错角相等性质、等腰三角形的等角对等边的性质可得，从而得证.（2）要证，根据勾股定理，只要的即可，而要证，一方面，由be平分abc可得（如答图，下同）；另一方面，由可得，从而得到，结合（1）即可根据三角形内角和定理得到，进而得证.6. （2015年江苏淮安10分）如图，菱形oabc的顶点a的坐标为（2，0），coa600，将菱形oabc绕坐标原点o逆时针旋转1200得到菱形odef.（1）直接写出点f的坐标；（2）求线段ob的长及图中阴影部分的面积.【答案】解：（1）.（2）如答图，连接，与相交于点，菱形oabc中，coa600，.，.将菱形oabc绕坐标原点o逆时针旋转1200得到菱形odef，. 【考点】面动旋转问题；旋转的性质；菱形的性质；扇形和菱形面积的计算；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；转换思想的应用.【分析】（1）根据旋转和菱形的性质知，且在一直线 上，点f的坐标为.（2）作辅助线“连接，与相交于点”，构成直角三角形，解之可求得，从而应用求解即可.7. （2015年江苏淮安12分）阅读理解：如图，如果四边形abcd满足ab=ad，cb=cd，b=d=900,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.将一张如图所示的“完美筝形”纸片abcd先折叠成如图所示的形状，再展开得到图，其中ce、cf为折痕，bcd=ecf=fcd，点b为点b的对应点，点d为点d的对应点，连接eb、fd相交于点o.简单应用：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是 ；（2）当图中的时，aeb ；（3）当图中的四边形aecf为菱形时，对应图中的“完美筝形”有 个（包含四边形abcd）.拓展提升： 当图中的时，连接ab，请探求abe的度数，并说明理由.【答案】解：简单应用：（1）正方形.（2）80.（3）5.拓展提升：，理由如下：如答图，连接，且ab=ad，四边形abcd是正方形. .由折叠对称的性质，得，点在以为直径的圆上.由对称性，知，.【考点】新定义和阅读理解型问题；折叠问题；正方形的判定和性质；折叠对称的性质；圆周角定理；等腰直角三角形的性质.【分析】简单应用：（1）根据“完美筝形”的定义，知只有正方形是“完美筝形”.（2），根据折叠对称的性质，得.，. .（3）根据“完美筝形”的定义，可知是“完美筝形”.拓展提升：作辅助线“连接”，由题意判定四边形abcd是正方形，从而证明点在以为直径的圆上，即可得出.8. （2015年江苏南通13分）如图，rtabc中，c=90，ab=15，bc=9，点p，q分别在bc，ac上，cp=3x，cq=4x（0x3）把pcq绕点p旋转，得到pde，点d落在线段pq上（1）求证：pqab；（2）若点d在bac的平分线上，求cp的长；（3）若pde与abc重叠部分图形的周长为t，且12t16，求x的取值范围【答案】解：（1）证明：在rtabc中，ab=15，bc=9，又c=c，pqcbac. cpq=b. pqab.（2）如答图1，连接ad，pqab，adq=dab点d在bac的平分线上，daq=dab.adq=daq. aq=dq在rtcpq中，cp=3x，cq=4x，pq=5x.pd=pc=3x，dq=2xaq=124x，124x=2x，解得x=2.cp=3x=6（3）当点e在ab上时，pqab，dpe=pebcpq=dpe，cpq=b，b=peb. pb=pe=5x.3x+5x=9，解得当0x时，此时0t.当0x时，t随x的增大而增大，12t16，当12t时，1x.当x3时，如答图2，设pe交ab于点g，de交ab于f，作ghfq，垂足为h，hg=df，fg=dh，rtphgrtpde.pg=pb=93x，.，此时，t18当x3时，t随x的增大而增大.12t16，当t16时，x.综上所述，当12t16时，x的取值范围是1x【考点】面动旋转问题；勾股定理；相似三角形的判定和性质；平行的判定和性质；方程思想、函数思想、分类思想的应用【分析】（1）先根据勾股定理求出ac的长，再由相似三角形的判定定理得出pqcbac，由相似三角形的性质得出cpq=b，由此可得出结论.（2）连接ad，根据pqab可知adq=dab，再由点d在bac的平分线上，得出daq=dab，故adq=daq，aq=dq在rtcpq中根据勾股定理可知，aq=124x，故可得出x的值，进而得出结论.（3）当点e在ab上时，根据等腰三角形的性质求出x的值，再分0x；x3两种情况进行分类讨论9. （2015年江苏宿迁8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点a（8，1），b（0，3），反比例函数的图象经过点a，动直线x=t（0t8）与反比例函数的图象交于点m，与直线ab交于点n（1）求k的值；（2）求bmn面积的最大值；（3）若maab，求t的值【答案】解：（1）把点a（8，1）代入反比例函数得：k=18=8， k=8.（2）设直线ab的解析式为：，a（8，1），b