山东省滨州市无棣县埕口中学中考数学分类汇编 全等三角.doc

21全等三角形一、选择题1.（2011江西省宜春市1模，5，3）如图，ab=ac，要说明adcaeb，需添加的条件不能是 （ ）ab=c bad=ae cadc=aeb ddc=be【答案】d2.（2011浙江1模，10，3）如图，点o为正方形abcd的中心，be平分dbc交dc于点e，延长bc到点f，使fcec，连结df交be的延长线于点h，连结oh交dc于点g，连结hc则以下四个结论中正确结论的个数为（ ） bbs习题改编abcdfogheohbf； chf45； ghbc；dh2hehb a. 1个 b. 2个 c. 3个 d. 4个【答案】c3（2011重庆市一中，10，4）如图，在直角梯形abcd中，ad/bc，adc900，bccd，e为梯形内一点，bec900，将bec绕c点旋转900，使bc与dc重合，得到dcf，连接ef交cd于点m给出以下5个命题：dm:mc=mf:me； bedf； 若sin,则；若tan,则点d到直线ce的距离为1；若m为ef中点，则点b、e、d三点在同一直线上则正确命题的个数( )a.2 b.3 c.4 d.5【答案】d【答案】c二、填空题1.（2011江西省预测1，15，3）如图，等边三角形中，、分别为、边上的点，与交于点，于点， 则的值为 .【答案】第1题dcafbeg第（2）题acdbef图3abdcfe第4题图2.（2011江西省预测5，113，3）如图，已知，点a、d、b、f在一条直线上，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 【答案】也可以是或（答案不惟一）3（2011上海普陀区1模，15,4）如图3，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使还需添加一个条件，这个条件可以是 (只需写出一个) 【答案】或或db4（2011上海青浦区1模，14,4）如图，e、f是矩形abcd对角线ac上的两点，试添加一个条件：_，使得adfcbe【答案】af=ce或af等答案不唯一，只要写一个5（2011重庆市綦江县，16，3）如图，c为线段ae上一动点（不与点a，e重合），在ae同侧分别作正三角形abc和正三角形cde，ad与be交于点o，ad与bc交于点p，be与cd交于点q，连结pq.以下五个结论：ad=be；eqcdpc；ap=bq；de=dp；aob=60.恒成立的结论有 （将你认为正确的序号都填上）.【答案】1、2、3、56（2011南京市秦淮县，16，2）如图，正方形abcd中，点e在边ab上，点g在边ad上，且ecg45，点f在边ad的延长线上，且df= be则下列结论：ecb是锐角，；aeag；cgecgf；eg= begd中一定成立的结论有 (写出全部正确结论)【答案】7（2011江苏省泰州市，16，3）如图，过正方形的顶点作直线，过作的垂线，垂足分别为若，则的长度为 【答案】8（2011海南省，17，3）如图9，点p在aob的平分线上，若使aopbop，则需添加的一个条件是 （只写一个即可，不添加辅助线）;图9【答案】答案不唯一，如：oa=ob等三、解答题1.（2011江西省预测3，24，9）如图所示，在边长为1的正方形abcd中，一直角三角尺pqr的直角顶点p在对角线ac上移动，直角边pq经过点d，另一直角边与射线bc交于点e. 试判断pe与pd的大小关系，并证明你的结论；连接pb，试证明：pbe为等腰三角形；设apx，pbe的面积为y，求出y关于x 函数关系式；当点p落在ac的何处时，pbe的面积最大，此时最大值是多少？【答案】abcpdefg123证：（1） 过点p作gfab，分别交ad、bc于g、f. 如图所示. 四边形abcd是正方形， 四边形abfg和四边形gfcd都是矩形，agp和pfc都是等腰直角三角形1分 gd=fc=fp，gp=ag=bf，pgd=pfe=90 又1+3=2+3=901=22分 又pf=gd，pfe =pgd=90 rtefprtpgd （asa）. pe=pd3分 （2）ad=ab pab=pad=45 ap=apapbapd （sas）4分 pb=pdpe=pbpbe为等腰三角形 6分 （3）ap=x,7分 . 即()8分 . ，当时,9分 2.（2011江西省预测4，17，6）如图，矩形中，与交于点， ，垂足分别为，试比较be与cf的大小，并说明理由 a b c d e f o 【思路分析】证明be、cf两个线段所在的两个三角形全等，即三角形beo与三角形cfo全等，应用aas判定。【答案】证明：在矩形abcd中，ob=oc，分 ， ，分分分3（2011江西省预测5，17，6）如图（1），在abc和edc中，ac=ce=cb=cd，acb=ecd=90，ab与ce交于f，ed与ab、bc分别交于m、h.(1)试探究cf、ch的数量关系，并说明理由；(2)如图（2），abc不动，将edc绕点c旋转到bce=45时，试判断四边形acdm是什么四边形？并证明你的结论。【思路分析】通过对 acb和ecd的全等得到cf=ch；四边形acdm是菱形。【答案】解：（1）cf=ch分证明： acb和ecd中acb=ecd=901+ecb=2+ecb1=2又ac=ce=cb=cda=d=45acfdchcf=ch分（2）答：四边形acdm是菱形证法一：acb=ecd=90，bce=45，1=45，2=45又e=b=45，1=e，2=b分ac/md，cd/am分又ac=cdacdm是菱形分4（2011上海市奉贤区1模，23,12）如图（1），在abc和edc中，accecbcd，acbecd，ab与ce交于f，ed与ab、bc分别交于m、h(1)求证:cfch； （图1） （图2）第4题图dcbeahmfedcbafhm(2)如图(2)，abc不动，将edc绕点c旋转到bce=时，试判断四边形acdm是什么四边形？并证明你的结论 【答案】证明:在acb和ecd中acb=ecd=1+ecb=2+ecb, 1=2（2分）又ac=ce=cb=cd, a=d= （2分） acbecd, cf=ch （2分） (2)答: 四边形acdm是菱形（1分） 证明: acb=ecd=, bce= 1=, 2= 又e=b=, 1=e, 2=b（2分）acmd, cdam , 四边形acdm是平行四边形（2分） 又ac=cd, 四边形acdm是菱形（2分）5（2011上海市闵行区1模，23,12）已知：如图，在直角梯形abcd中，ad / bc，abad，bc = cd，becd，垂足为点e，点f在bd上，联结af、ef（1）求证：ad = ed；（2）如果af / cd，求证：四边形adef是菱形 abcdef【答案】证明：（1） bc = cd， cdb =cbd（1分） ad / bc， adb =cbd adb =cdb（1分）又 abad，becd， bad =bed = 90 （1分）于是，在abd和ebd中， adb =cdb，bad =bed，bd = bd， abdebd（2分） ad = ed（1分）（2） af / cd， afd =edf （1分） afd =adf，即得 af = ad （1分）又 ad = ed， af = de （1分）于是，由 af / de，af = de，得四边形adef是平行四边形（2分）又 ad = ed， 四边形adef是菱形（1分）6（2011上海市松江区1模，23,12）如图，已知在rtabc中，c=90，点o为边ac的中点，点d为边ab上一点，过点c作ab的平行线，交do的延长线于点e（1）证明：四边形adce为平行四边形；（2）当四边形adce为怎样的四边形时，ad=bd，并加以证明edcbao【答案】（1）证明：点o为边ac中点，ao=co 1分又ceab，dac=eca，ade=ced2分adoceo，od=oe 2分四边形adce为平行四边形 1分（2）当四边形adce为菱形时，ad=bd， 1分四边形adce为菱形，ad=cd，bac=acd 2分bac+b=90 ，bcd+acd=90， 1分b=bcd，cd=bd，ad=bd2分已知abc中，点d、e、f分别是线段ac、bc、ad的中点，连fe、ed，bf的延长线交ed的延长线于点g，联结gc。求证：四边形cefg为梯形。7（2011上海市杨浦区1模，22,10）已知abc中，点d、e、f分别是线段ac、bc、ad的中点，连fe、ed，bf的延长线交ed的延长线于点g，联结gc。求证：四边形cefg为梯形。abcdefg【答案】证明：点d、e分别是线段ac、bc的中点，de/ab，-1分a=fdg，abf=fgd-2分f是线段ad的中点，af=fd abfdgf，-1分bf=fg-1分-1分e为bc中点，bc=ec，-1分-1分ef/cg-1分而gf与ce交于点a，四边形cefg为梯形-1分8（2011上海市宝山、嘉定区1模，22,10）如图8，已知是线段上一点，和都是正方形，联结、 (1) 求证：=； (2) 设与的交点为p，求证：.abcdefgp(图8)【答案】证明：（1）四边形和是正方形， （3分） （1分） （1分）（2）， （2分）， （2分） （1分）9（2011上海市黄浦区1模，23,12）（本题12分）如图8,在菱形abcd中，aebc，afcd，垂足为e、f. （1）求证：abeadf； （2）若bae=eaf，求证：ae=be；（3）若对角线bd与ae、af交于点m、n，且bm=mn（如图9）.fedcbanmfedcba求证：eaf=2bae. （图8） （图9）【答案】解：（1）菱形abcd，ab=ad，abe =adf，（2分）又aebc，afcd，aeb =afd，（1分）abeadf. （1分）（2）菱形abcd，abcd，又afcd，afab，baf=,又bae=eaf，bae=，aeb=,（2分）b=bae，（1分）ae=be. （1分）(3) abeadf，bae =daf，ab=ad， abm =adn，abmadn.am =an，（1分）又ban=, bm=mn，am=mn=an，man=,（1分）mab=,（1分）eaf=2bae. （1分）10（2011上海市浦东新区1模，23,12）已知：如图，在abc中，m是边ab的中点，d是边bc延长线上一点，dncm，交边ac于点n（1）求证：mnbc；（2）当acb为何值时，四边形bdnm是等腰梯形？并证明你的猜想abmn（第10题图）dc【答案】（1）证法一：取边bc的中点e，联结me（1分）bm=am，be=ec，meac（1分）mec=ncd， dncm，mce=dmecncd（1分） （1分）又cmdn，四边形mcdn是平行四边形（1分）mnbc（1分）证法二：延长cd到f，使得，联结af（1分），（1分），mcaf（1分）mcdn，ndaf（1分）又，（1分）mnbc（1分）（2）解：当acb=90时，四边形bdnm是等腰梯形（1分）证明如下：mnbd，bm与dn不平行，四边形bdnm是梯形（2分）acb=90， （2分），bmdn （1分）四边形bdnm是等腰梯形11（2011上海市闸北区1模，22,10）已知四边形abcd，点e是cd上的一点，连接ae、be.(1)给出四个条件: ae平分bad, be平分abc, aeeb, ab=ad+bc请你以其中三个作为命题的条件,写出一个能推出adbc的正确命题,并加以证明； (2)请你判断命题“ae平分bad,be平分abc,点e是cd的中点,则adbc”是否正确？ 图【答案】(1)解：如: adbc (1分)证明：在ab上取点m,使amad，联结em, (1分) ae平分bad maedae又amad aeae， aemaed d=ame (2分) 又 ab=ad+bc mb=bc， bembce c=bme (2分) 故d+came+bme180 adbc (2分)（2）不正确(2分)12（2011浙江省慈溪市1模，21,8）已知abc(如图)，b=c=30。请设计二种不同的分法，将abc分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数(或记号)，并在各种分法的空格线上填空。 (画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法)注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法 如图和为同一种分法。图图分法一：（不能拼成与图或的形式）分割后所得的四个三角形中 ，rt rt 分法二：（不能拼成与图或的形式）分割后所得的四个三角形中 ，rt rt 【答案】解：参考分法如下所示： 每一个分割、填空正确得4分13（2011辽宁省大连市1模，19,12）如图，在等腰梯形中，为底的中点，连结、求证：adcbe（第19题）【答案】证明：四边形是等腰梯形，（6分）为的中点， obecad（第22题图）（10分）（12分）14.（2011黑龙江省哈尔滨市调研，23，6）如图，在矩形abcd中，e是bc上的点，ae=bc,deae，垂足为f，连接de，证明：ab=df【答案】15. （2011河北省三河市1模，20，7）如图，正方形中,点f在边bc上，e在边ba的延长线上.（1）若按顺时针方向旋转后恰好与重合.则旋转中心是点 ；最少旋转了 度；（2）在（1）的条件下，若,求四边形的面积. abcdef【答案】解：（1）d；. 4分（2）， . . . 7分16. （2011河南省1模，17，9）如图，点b在ad上，ac=cb，cd=ce，acb=dce=90试判断线段ad和be的大小和位置关系，并给予证明adcbe【答案】解：相等，垂直acdbce（sas）ad=be，ebc=dac=4517. （2011河南省郑州市1模，17，9）如图，在中，acb= （1）根据要求作图(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)： 作的平分线交ab于d； 过d点作debc，垂足为e（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形： ； 请选择其中一对加以证明【答案】解：（1）正确作出角平分线cd ； 正确作出de （2）bdecde ； adcacb 选择bdecde进行证明： dc平分acb dceacb又 acb2b bacb dceb debc decdeb90又 dede bdecde（aas）或选择adcacb进行证明： dc平分acb acdacb又 acb2b bacb acdb又 aa adcacb18. （2011湖北省恩施州1模，19，8）【答案】19（2011湖北省黄冈市红安县1模，18，7）已知如图在平行四边形abcd中，e、f分别为边ab、cd的中点，bd是对角线，agbd交cb的延长线于g.（1）求证：adecbf；（2）若四边形bedf是菱形，则四边形agbd是什么特殊四边形？并证明你的结论。egbcfda【答案】（1）由ad=bc，dae=bcf，ae=cf，证adecbf2分（2）四边形agbd是矩形3分由题意可知：ae=de=be，dae=ade，edb=ebd，ade+edb=，又由adbg，agbd，四边形agbd是矩形7分20（2011湖北省黄冈市张榜中学1模，18，6）已知：如图，在abc、ade中，bacdae90，abac，adae，点c、d、e三点在同一直线上，连结bd. abcde求证：(1)badcae； (2)试猜想bd、ce有何特殊位置关系，并证明.【答案】（1）abac，易证badcae ，adae，所以badcae（sas）。3分（2）bdce，证明略。6分21。（2011江西省宜春市1模，20,8）如图，在abc中，ab=ac，d是bc的中点，连结ad，在ad的延长线上取一点e，连结be，ce（1）求证：abeace；（2）当ae与ad满足什么数量关系时，四边形abec是菱形？并说明理由【答案】(1)证明：因为ab=ac且d是bc的中点所以ad垂直平分bc.1分所以be=ce.2分又因为ae=ae所以abeace.4分（2）当ae=2ad时，四边形abec是菱形，.5分理由如下：因为ae=2ad，ad垂直平分bc所以bc垂直平分ae，. .6分所以对角线ae与bc互相垂直平分. .7分所以四边形abec是菱形. . 8分22。（2011江苏省江阴市1模，26,10）图1,在abc中，acb=90，cab=30, abd是等边三角形，e是ab的中点，连结ce并延长交ad于f.（1）求证： aefbec； 四边形bcfd是平行四边形；（2）如图2，将四边形acbd折叠,使d与c重合，hk为折痕，求sinach的值.图1abcdef30图2abcdkh30【答案】（1）求证： aefbec；abc=90，e是ab的中点，ae=be,fab=ebc=60，feb=bec所以aefbec； - 3分 四边形bcfd是平行四边形；可得dfbc,fcdb,或dfbc，且df=bc均可 -6分（2）设bc=1，则ac=,ad=ab=2设dh=x,由折叠得dh=ch=x,(2-x)+3=xx= 所以sinach= -10分23。（2011福建省晋江市1模，21,9）如图，与都是等腰直角三角形，连结、.求证: .【答案】证明：与都是等腰直角三角形（4分）又 即（8分）（9分）24。（2011湖北省荆州市1模，19）将rtabc绕点a逆时针旋转90得到adf,bc的延长线交df于点e，连接bd.已知bc=2ef。求证：befbed。【答案】证明：abcacb=90abcf=90feb=90bc=fd bc=2ef ef=de 在bef和bed中be=bebef=bed=90ef=dertbefrtbed25。（2011广东省深圳市1模，20,7） 如图，正方形abcd的边长是6，点f在ad上，点e在ab的延长线上，且cef的面积是24. （1）求证：cdfcbe； （2）求df的长度. dcafbe【答案】（1）证明：是正方形 ， ， 3分 （2）解：由（1）得 由的面积是24，可得5分 在中，7分26。（2011河北省石家庄52中市1模，24,10）已知，等腰rtabc中，点o是斜边的中点，mpn是直角三角形，固定abc，滑动mpn，在滑动过程中始终保持点p在ac上，且 pmab，pnbc，垂足分别为e、f（1）如图1，当点p与点o重合时，oe、of的数量和位置关系分别是_ _（2）当mpn移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由 （3）如图3，等腰rtabc的腰长为6，点p在ac的延长线上时，rtmpn的边 pm 与ab的延长线交于点e，直线bc与直线np交于点f，oe交bc于点h，且 eh： ho=2：5，则be的长是多少图1abcomnef(p)abcomnefp图2abcomnefp图3h【答案】（1）数量关系：相等，位置关系：垂直（2）成立，易证c；（）27。（2011山东省泰安市1模，26,10）如图（1），在abc和edc中，accecbcd，acbecd，ab与ce交于f，ed与ab、bc分别交于m、h(1)求证:cfch； (2)如图(2)，abc不动，将edc绕点c旋转到bce=时，试判断四边形acdm是什么四边形？并证明你的结论 （图1） （图2）【答案】解:(1) 证明:在acb和ecd中 acb=ecd= 1+ecb=2+ecb, 1=2 2分 又ac=ce=cb=cd, a=d=3分 acbecd, 4分 cf=ch 5分 (2) 答: 四边形acdm是菱形 6分 证明: acb=ecd=, bce=1=, 2=7分又e=b=,1=e, 2=bacmd, cdam , acdm是平行四边形 9分 又ac=cd, acdm是菱形 10分28（2011江苏省扬州市1模，23,10）如图，f为正方形abcd的对角线ac上一点，fead于点e，m为cf的中点（1）求证：mb=md；（2）求证：me=mb【答案】n证明：（1）四边形abcd是正方形 ab=ad bam=dam2分 在bam与dam中， bamdam 3分mb=md 4分 （2）取线段de的中点n，连结mn。5分 fead cdad efcd6分m为cf的中点 mn是梯形efcd的中位线 7分mnef 8分mnad 9分me=md me=mb 10分29.（2011浙江省舟山市1模，22，10）如图，已知rt，的平分线交于点，的垂直平分线分别交于点，（1）请以图中的点为顶点（不增加其他的点）分别构造两个菱形和两个等腰梯形那么，构成菱形的四个顶点是 或 ；构成等腰梯形的四个顶点是 或 ； （2）请你各选择其中一个图形加以证明。 【答案】解：（1）构成菱形的四个顶点是b、e、d、f或e、d、c、g；2分构成等腰梯形的四个顶点是b、e、d、c或e、d、g、f；2分 （2）证出一个得3分（）垂直平分 （）菱形 ， 1分 平分 1分 四边形是等腰梯形1分 2分 1分 四边形是菱形或（）等腰梯形 （）菱形， 四边形是平行四边形 四边形是菱形 四边形是等腰梯形30.（2011重庆市名校联考，23，10）已知，如图，在平行四边形abcd中，e、f分别是边ab、cd的中点，连接de、bf、bd.（1）求证：adecbf（2）若adbd, 则四边形dfbe是什么特殊的四边形？请说明你的理由。 【答案】（1）证明：（1）四边形abcd是平行四边形ad=bc, dc=ab dcab ac 1分又e、f分别是边ab、cd的中点 ae=be=df=cf .2分在ade和cbf中adbc ac aecf4分 adecbf（sas） 5分（2） 四边形dfbe是菱形。6分理由：dfbe 且 df=be四边形dfbe是平行四边形8分又 adbd 且 e是ab的中点de=ab=be9分平行四边形dfbe是 菱形10分31. （2011重庆市綦江县，19，6）19.如图，在矩形abcd中，ab=2，ad=.（1）在边cd上找一点e，使eb平分aec，并加以说明；（2）若p为bc边上一点，且bp=2cp，连接ep并延长交ab的延长线于f.求证：点b平分线段af；pae能否由pfb绕p点按顺时针方向旋转而得到？若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由.【答案】（1）当e为cd中点时，eb平分aec由d=900 ，de=1，ad=，推得dea=600，同理，ceb=600 ，从而aeb=ceb=600 ，即eb平分aec（2）cebf，= bf=2ce ab=2ce，点b平分线段af 能证明：cp=，ce=1，c=900 ，ep=。在rt ade中，ae= =2，ae=bf，又pb=，pb=peaep=bp=900 ，paspfbpae可以pfb按照顺时针方向绕p点旋转而得到.旋转度数为1200 33（2011重庆市一中，24，6）如图，cd， cede求证：ae=be 【答案】证：在aec和bed中 3分aecbedae=be 6分34（2011重庆市一中，24，10）直角梯形abcd中，ab/cd，c900，abbc，m为bc边上一点（1）若dmc450，求证：adam（2）若dam450，ab7，cd4，求bm的值【答案】（1）证：作aecd交延长线于点e.e dmc450，c900n cm=cd 又b=c=e=900,abbc 四边形abce为正方形 bcce bmde 在rtabm和rtaed中 abmaed adam 5分 （2）把rtabm绕点a顺时针旋转900,使ab与ae重合，得rtaen. dam=450, 1+2=450 由旋转知13, 2+3450， 即damdan 由旋转知aman， admadn， dmdn 设bm=x， abbcce7, cm7-x 又cd4, de3, bmenx， mddn3+x, 在rtcdm中，(7-x)2+42=(3+x)2 bm的值为 10分35（2011广东省佛山市，19，6）已知四边形abcd的对角线ac与bd交于点o,给出下列四个论断： oa=oc ab=cd bad=dcb adbc请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形abcd为平行四边形”作为结论，完成下列各题；（1） 构造一个真命题，画图并给出证明；（2） 构造一个假命题，举反例加以说明.【答案】解:（1）为论断时(也可)：adbc，dac=bca，adb=dbc1分又oa=oc，aodcob1分ad=bc1分四边形abcd为平行四边形1分（2）为论断时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形2分36（2011广东省佛山市，22，10）如图,adbc,a=,e是ab上一点，ad=be,f是cd中点. (1)rtade与rtbec全等吗?如果是请说明理由;若不全等请添加一个合适条件使其全等并说明理由. (2) 若rtade与rtbec全等,说明ced是直角三角形.【答案】解: （1）不全等.添加efcd, 1分(此处不唯一)则rtade与rtbec全等f是cd中点且efcdce=de 1分adbc,a=b=a=2分ad=be ，ce=de rtade rtbec1分（2）直角三角形rtade rtbec aed=bce1分 bce+bec= aed +bec=2分 ced=1分 ced是直角三角形1分37（2011福建省福州市，17（2），8）如图，abcf中，延长cf到e，使，过e作bc的垂线，交b