高中数学 第三章 三角恒等变换复习课课件 新人教A版必修4.ppt

三角恒等变换 网络体系 核心速填 1 两角和与差的正余弦 正切公式sin cos tan sin cos cos sin cos cos sin sin 2 倍角的正弦 余弦 正切公式sin2 cos2 tan2 2sin cos cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 3 半角公式 4 辅助角公式 1 2 与特殊角有关的几个结论 易错提醒 1 熟练把握三角中的相关公式本章中的公式较多 又比较相似 在应用过程中 可能因为对公式的记忆不准确或记忆错误导致运算结果出现错误 熟练把握公式是关键 2 关注角的取值范围由于三角函数具有有界性 解题时往往会由于忽视角的范围而导致解题过程欠严密 结果不准 这种情况在解给值求角的问题中易出现 类型一三角函数式的求值问题 典例1 1 的值为 2 2015 葫芦岛高一检测 若 3 2015 孝感高一检测 设 为锐角 若则的值为 解析 1 选b 2 选c 因为0 所以 所以由得因为所以所以由得 答案 方法技巧 三角函数的求值类型及解题策略 1 给角求值 一般所给的角都是非特殊角 要观察所给角与特殊角之间的关系 利用三角变换消去非特殊角 转化为求特殊角的三角函数问题 2 给值求值 给出某些角的三角函数式的值 求另外一些角的三角函数值 解题的关键在于 变角 如 2 等 把所求角用含已知角的式子表示 求解时要注意角范围的讨论 3 给值求角 实质上是转化为 给值求值 关键也是变角 把所求角用含有已知角的式子表示 由所得的函数值结合该函数的单调性求得角 变式训练 1 2015 浏阳高一检测 设且则 等于 解析 选b 因为所以因为所以 2 2015 淮北高一检测 已知都是第一象限的角 求sin 解析 由 是第一象限的角 得因为 是第一象限角 所以 0 由得sin sin cos cos sin 补偿训练 在 abc中 如果4sina 2cosb 1 2sinb 4cosa 3 则角c的大小为 解析 由4sina 2cosb 1 2sinb 4cosa 3 两边平方相加得sin a b 如果a b 则b与条件4sina 2cosb 1矛盾 所以a b c 答案 类型二三角函数式的化简 典例2 1 化简 a sin2 b tan2 c sin2d tan2 2 3 化简 解析 1 选d 原式 2 原式因为所以cos4 0 sin4 cos4 0 所以sin4 cos4 0 从而原式 2cos4 2sin4 2cos4 2sin4 答案 2sin4 3 原式 方法技巧 1 三角函数式化简的基本原则 1 切化弦 2 异名化同名 3 异角化同角 4 高次降幂 5 分式通分 6 无理化有理 7 常数的处理 特别注意 1 的代换 2 三角函数式化简的基本技巧 1 sin cos 凑倍角公式 2 1 cos 升幂公式 3 1 sin 化为1 cos 再升幂或化为 4 asin bcos 辅助角公式asin bcos 其中tan 或其中tan 变式训练 已知180 2 270 化简 a 3cos b cos c cos d sin cos 解析 选c 因为180 2 270 所以90 135 所以cos 0 所以 补偿训练 化简 解析 原式 证明 所以左边 右边 即等式成立 方法技巧 1 三角恒等式的证明问题的类型及策略 1 不附加条件的恒等式证明 通过三角恒等变换 消除三角等式两端的差异 证明的一般思路是由繁到简 如果两边都较繁 则采用左右互推的思路 找一个桥梁过渡 2 条件恒等式的证明 这类问题的解题思路是使用条件 或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系 常用方法是代入法和消元法 2 证明三角恒等式常用的方法 1 从复杂的一边入手 逐步化简 证得与另一边相等 在证明过程中 时刻 盯 住目标 分析其特征 时刻向着目标 奔 2 从两边入手 证得等式两边都等于同一个式子 3 把要证的等式进行等价变形 4 作差法 证明其差为0 变式训练 求证 解析 左边 所以等式成立 补偿训练 求证 证明 左边原式得证 一题多解 本题还可以采用以下方法 证明 右边原式得证 类型四三角恒等变换的综合应用 典例4 1 2015 长春高一检测 函数的最小正周期等于 a b 2 c d 2 已知向量m sinx 1 n acosx cos2x a 0 函数f x m n的最大值为6 求a 将函数y f x 的图象向左平移个单位 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍 纵坐标不变 得到函数y g x 的图象 求g x 在上的值域 解析 1 选a 所以最小正周期t 2 f x m n asinxcosx cos2x因为a 0 由题意知a 6 由 将函数y f x 的图象向左平移个单位后得到的图象 再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的倍 纵坐标不变 得到的图象 因此因为故g x 在上的值域为 3 6 方法技巧 与三角恒等变换有关的综合问题的两种类型 1 以三角恒等变形为主要的化简手段 考查三角函数的性质 当给出的三角函数表达式较为复杂 我们要先通过三角恒等变换 将三角函数的表达式变形化简 将函数表达式变为y asin x k或y acos x k等形式 然后再根据化简后的三角函数 讨论其图象和性质 2 以向量运算为载体 考查三角恒等变换 这类问题往往利用向量的知识和公式 通过向量的运算 将向量条件转化为三角条件 然后通过三角变换解决问题 有时还从三角与向量的关联点处设置问题 把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查 变式训练 2015 沧州高一检测 已知 f x 2cos2x sin2x a a r a为常数 1 f x 的最小正周期为 2 若f x 在上最大值与最小值之和为3 则a的值为 解析 1 最小正周期 2