【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第六章 数列6．3等比数列及其前n项和教学案 理 新人教A版 .doc

6.3等比数列及其前n项和1理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式和前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等比数列与指数函数的关系1等比数列的相关概念相关名词等比数列an的有关概念及公式定义q(q是常数且q0，nn*)或q(q是常数且q0，nn*且n2)通项公式an_，anamqnm前n项和公式sn等比中项如果三个数a，g，b组成等比数列，则g叫做a和b的等比中项，且_.2.等比数列有关性质(1)在等比数列中，若mnpq，则aman_(m，n，p，qn*)(2)间隔相同的项，如a1，a3，a5，仍为等比数列，且公比为_(3)等比数列an的前n项和为sn(sn0)，则sn，s2nsn，s3ns2n成等比数列，公比为_(4)单调性若或an_若或an_q1an为常数列，q0an为摆动数列1在等比数列an中，若a54，则a2a8等于()a4 b8 c16 d322在等比数列an中，若a48，q2，则a7的值为()a64 b64 c48 d483设sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则()a11 b8 c5 d114设数列1，(12)，(12222n1)，的前n项和为sn，则sn_.一、等比数列的判定与证明【例1】设数列an的前n项和为sn，已知a11，sn14an2.(1)设bnan12an，证明数列bn是等比数列；(2)证明数列是等差数列方法提炼等比数列的判定方法：(1)定义法：若q(q为非零常数，nn*)或q(q为非零常数且n2，nn*)，则an是等比数列(2)中项公式法：若数列an中，an0且aanan2(nn*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn1(c，q均是不为0的常数，nn*)，则an是等比数列(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可请做演练巩固提升5二、等比数列的基本运算【例21】 (2012重庆高考)首项为1，公比为2的等比数列的前4项和s4_.【例22】 设等比数列an的前n项和为sn.已知a26,6a1a330，求an和sn.方法提炼1等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解2解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程3在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式提醒：数列an的前n项和为sn，若snaqnb(a，br)，an是等比数列，则a，b应满足ab0且a，b均不为0.由snaqnb，可知an的公比q1，snqn.观察可知a，b，ab0且a与b不等于0.请做演练巩固提升1,3三、等比数列的性质及其应用【例31】 (1)已知等比数列an中，有a3a114a7，数列bn是等差数列，且b7a7，求b5b9的值(2)在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，求a41a42a43a44.【例32】已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根组成以为首项的等比数列，求的值方法提炼1等比数列的性质可以分为三类：(1)通项公式的变形，(2)等比中项的变形，(3)前n 项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口2等比数列的常用性质(1)数列an是等比数列，则数列pan(p0，p是常数)也是等比数列；(2)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk；(3)anamqnm(n，mn*)；(4)若mnpq(m，n，p，qn*)，则amanapaq；(5)若等比数列an的公比不为1，前n项和为sn，则sk，s2ksk，s3ks2k，s4ks3k是等比数列请做演练巩固提升4未注意数列首项的特殊而致误【典例】 已知数列an满足a11，a22，an2，nn*.(1)令bnan1an，证明：bn是等比数列；(2)求an的通项公式错解：(1)证明：bnan1anan(anan1)bn1，bn是等比数列(2)解：bnan1ann1，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11n211n1，ann1(nn)正解：(1)证明：b1a2a11，当n2时，bnan1anan(anan1)bn1，bn是首项为1，公比为的等比数列(2)解：由(1)知bnan1ann1，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11n211n1，当n1时，111a1，an的通项公式为ann1(nn*)答题指导：本题难度并不大，属于一道中等难度的题目，但大部分考生都因解题不规范，步骤不完整等原因被扣分，如解(1)题时未说明bn的首项和公比解第(2)题时未对n1的情况进行检验等，因此在解题时一定注意步骤的完整性及逻辑的严谨性1(2012大纲全国高考)已知数列an的前n项和为sn，a11，sn2an1，则sn()a2n1 b.n1 c.n1 d.2已知数列an满足：a11，an12ann1，nn*，若数列anpnq是等比数列，则实数p，q的值分别等于()a1,2 b2,1 c2,2 d1,33设等比数列an的公比q3，前n项和为sn，则等于_4在正项等比数列an中，若81，则_.5(2012陕西高考)已知等比数列an的公比q.(1)若a3，求数列an的前n项和；(2)证明：对任意kn，ak，ak2，ak1成等差数列参考答案基础梳理自测知识梳理1a1qn1na1g2ab2(1)apaq(2)q2(3)qn(4)递增 递减基础自测1c解析：an是等比数列且2825，a2a8a5216.2a解析：依题意得a7a4q38(2)364.故选a.3a解析：由8a2a50，8，即q38，q2.11.42n1n2解析：由已知得数列的通项an2n1，sn(2222n)nn2n1n2.考点探究突破【例1】证明：(1)由a11，sn14an2得a1a24a12，a23a125，b1a22a13.由sn14an2，则当n2时，有sn4an12.得an14an4an1，an12an2(an2an1)又bnan12an.bn2bn1.数列bn是首项为3，公比为2的等比数列(2)由(1)可得bnan12an32n1，.数列是首项为，公差为的等差数列【例21】 15解析：由等比数列前n项和公式sn得，s415.【例22】 解：设an的公比为q，由题设得解得或当a13，q2时，an32n1，sn3(2n1)；当a12，q3时，an23n1，sn3n1.【例31】 解：(1)a3a11a724a7，且a70，a74.b74.bn为等差数列，b5b92b78.(2)a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3aq61，a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15aq548，得，q488q162，又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43a14q166a14q6q160(a14q6)(q16)1012101 024.【例32】 解：设a，b，c，d是方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根，不妨设acdb，则ab cd2，a，故b4，根据等比数列的性质，得到：c1，d2，则mab，ncd3，或mcd3，nab，则或.演练巩固提升1b解析：sn2an1，sn12an(n2)，两式相减得：an2an12an，.数列an从第2项起为等比数列又n1时，s12a2，a2.sna11n1.2a解析：依题意有m对任意nn*都成立，得an1p(n1)qmanmpnmq，又an12ann1，则2ann1pnpqmanmpnmq，即(2m)an(p1mp)np1qmq0.由已知可得an0，所以解得故选a.3解析：由题意得s440a1，a23a1，.49解析：a2