高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修21.ppt

2 4 2抛物线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质 做一做1 设a为抛物线y2 4x上一点 点b 1 0 且 ab 1 则点a的横坐标的值为 a 2b 0c 2或0d 2或2解析 由抛物线y2 4x的焦点为b 1 0 且 ab 1 准线为x 1 结合抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离知 xa 0 答案 b 1 直线与圆锥曲线的位置关系剖析 直线与圆锥曲线的位置关系 可通过讨论直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定 若消去方程组中的变量y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程 考虑该一元二次方程的判别式 则有 0 直线与圆锥曲线相交于两点 0 直线与圆锥曲线相切 0 直线与圆锥曲线相离 2 运用抛物线的定义解决问题剖析 抛物线的离心率e 1 体现了抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离 因此 涉及抛物线的焦点 过焦点的弦的问题 可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离与点到准线的距离相互转化 题型一 题型二 题型三 题型四 抛物线的定义与性质的应用 分析 先确定抛物线方程的形式 再由条件用待定系数法求解 题型一 题型二 题型三 题型四 解法一 由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴 则可设抛物线的方程为y2 2px或y2 2px p 0 抛物线的焦点到顶点的距离为5 所求抛物线的方程为y2 20 x或y2 20 x 解法二 由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴 则设抛物线的方程为y2 mx m 0 抛物线的焦点到顶点的距离为5 故所求抛物线的方程为y2 20 x或y2 20 x 题型一 题型二 题型三 题型四 反思顶点在原点 对称轴为x轴的抛物线方程可设为y2 mx m 0 当m 0时 开口向右 当m0时 开口向上 当m 0时 开口向下 以上两种设法均可避开讨论抛物线的开口方向 焦点到准线的 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点m 4 8 求它的标准方程 解 由题意 可设抛物线的标准方程为y2 2px p 0 点m在抛物线上 8 2 2p 4 解得p 8 故所求抛物线的标准方程为y2 16x 题型一 题型二 题型三 题型四 与抛物线有关的定值问题 例2 已知ab是抛物线y2 2px p 0 的过焦点f的一条弦 设a x1 y1 b x2 y2 ab的中点为m x0 y0 求证 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思解决与抛物线有关的定值问题 常考虑利用抛物线的定义及一元二次方程根与系数的关系来解决 过焦点的弦长问题常结合抛物线的定义来解决 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 抛物线y2 2px p 0 上有两动点a b及一个定点m f为焦点 且 af mf bf 成等差数列 公差不为零 1 求证 线段ab的垂直平分线过定点q 2 若 mf 4 oq 6 o为坐标原点 求抛物线的方程 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 与抛物线有关的最值问题 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 1 具有定义背景的最值问题 可用定义转化为几何问题处理 2 一般方法是由条件建立目标函数 然后利用求函数最值的方法求解最值 3 常见问题类型及处理方法 题型 一是求抛物线上一点到定直线的最小距离 二是求抛物线上一点到定点的距离的最值问题 方法 一是利用数形结合 二是利用两点间距离公式并结合求函数最值的方法求解 4 此类问题应注意抛物线的几何性质的应用 尤其是范围的应用 题型一 题型二 题型三 题型四 答案 d 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析易错点忽略斜率不存在或二次项系数为零致错 例4 求过点p 0 1 且与抛物线y2 2x有且只有一个公共点的直线方程 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思一般地 点p在抛物线内 则过点p且和抛物线只有一个公共点的直线有一条 点p在抛物线上 则过点p且和抛物线只有一个公共点的直线有两条 点p在抛物线外 则过点p且和抛物线只有一个