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二次函数专题试卷贵港市港南区桥圩镇第五初级中学 莫小鲜一、选择题1函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）ABCD2如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直若小正方形的边长为x，且0x10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（）ABCD3已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a0，b0，c0），关于这个二次函数的图象有如下说法：图象的开口一定向上；图象的顶点一定在第四象限；图象与x轴的交点有一个在y轴的右侧以上说法正确的个数为（）A0B1C2D34已知抛物线y=x2x1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2m+2016的值为（）A2016 B2017 C2018 D2019二、填空题5如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：ac0；方程ax2+bx+c=0的根是x1=1，x2=3；a+b+c0；当x1时，y随着x的增大而增大正确的说法有（请写出所有正确的序号）6抛物线y=x2+x4与y轴的交点坐标为三、解答题7已知：抛物线y=x2+（b1）x+c经过点P（1，2b）（1）求b+c的值；（2）若b=3，求这条抛物线的顶点坐标；（3）若b3，过点P作直线PAy轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且BP=2PA，求这条抛物线所对应的二次函数关系式（提示：请画示意图思考）8杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=x2+3x+1的一部分，如图所示（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由9研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y=x2+5x+90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p甲，p乙（万元）均与x满足一次函数关系（注：年利润=年销售额全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，P甲=x+14，请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润W甲（万元）与x之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时，P乙=+n（n为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元试确定n的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标是10附加题：如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=AD，C=60，AEBD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）设AE=x，四边形DEGF的面积为y，求y关于x的函数关系式11如图，已知A（4，0），B（0，4），现以A点为位似中心，相似比为9：4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C（1）求C点坐标及直线BC的解析式；（2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象；（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P12在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点（1）求直线BC及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且APD=ACB，求点P的坐标；（3）连接CD，求OCA与OCD两角和的度数13如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由14如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点A，C分别在x轴，y轴上，点B坐标为（m，）（其中m0），在BC边上选取适当的点E和点F，将OCE沿OE翻折，得到OGE；再将ABF沿AF翻折，恰好使点B与点G重合，得到AGF，且OGA=90度（1）求m的值；（2）求过点O，G，A的抛物线的解析式和对称轴；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得OPG是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出所有满足条件的点P的坐标（不要求写出求解过程）15如图，抛物线y=x2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值注：抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，）16如图，已知ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t=2时，判断BPQ的形状，并说明理由；（2）设BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QRBA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，APRPRQ17如图1，在RtABC中，C=90，BC=8厘米，AC=12厘米，点D在AC上，CD=3厘米点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒是k厘米；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米设运动的时间为x秒（0x8），DCQ的面积为y1平方厘米，PCQ的面积为y2平方厘米（1）求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象；（2）如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求k的值和y2与x的函数关系；（3）在图2中，设y1与y2的图象的交点为M，点G是x轴正半轴上一点（0OG6），过G作EF垂直于x轴，分别与y1、y2的图象交于点E、F求OMF面积的最大值说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；求OMF面积的最大值18如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）（1）点A的坐标是，点C的坐标是；（2）当t=秒或秒时，MN=AC；（3）设OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；（4）探求（3）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由 二次函数参考答案与试题解析一、选择题1函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）ABCD【考点】二次函数的图象；一次函数的图象【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除【解答】解：当a0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正确；由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=0，且a0，则b0，但B中，一次函数a0，b0，排除B故选：C【点评】应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等2 如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直若小正方形的边长为x，且0x10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（）ABCD【考点】动点问题的函数图象【专题】几何图形问题；压轴题【分析】主要考查了能通过分析题中的实际意义找出变量之间的关系和函数图象的读图能力【解答】解：根据题意和图形可知：y=x2，0x10，所以y与x之间函数关系的大致图象是故选D【点评】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论3已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a0，b0，c0），关于这个二次函数的图象有如下说法：图象的开口一定向上；图象的顶点一定在第四象限；图象与x轴的交点有一个在y轴的右侧以上说法正确的个数为（）A0B1C2D3【考点】二次函数图象与系数的关系【专题】压轴题【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解答】解：a0，故正确；顶点横坐标0，故顶点不在第四象限，错误，a0，抛物线开口向上，c0，抛物线与y轴负半轴相交，故与x轴交点，必然一个在正半轴，一个在负半轴，故正确故选C【点评】本题考查二次函数的草图的确定与二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定4已知抛物线y=x2x1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2m+2016的值为（）A2016B2017C2018D2019【考点】二次函数图象上点的坐标特征【专题】压轴题【分析】将（m，0）代入y=x2x1可得m2m=1，直接整体代入代数式m2m+2016求解【解答】解：将（m，0）代入y=x2x1得：m2m1=0，即m2m=1m2m+2016=1+2016=2017故选B【点评】本题不必求出m的值，对m2m整体求解即可轻松解答二、填空题5如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：ac0；方程ax2+bx+c=0的根是x1=1，x2=3；a+b+c0；当x1时，y随着x的增大而增大正确的说法有（请写出所有正确的序号）【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点【分析】根据图象开口向上得到a0；由与y轴交点在负半轴得到c0，即ac0；由抛物线与x轴的交点横坐标分别是1，3，可以得到方程ax2+bx+c=0的根是x1=1，x2=3；当x=1时，y0，可以得到a+b+c0；由于对称轴是x=1，所以得到x1时，y随着x的增大而增大【解答】解：开口向上，a0，与y轴交点在负半轴，故c0，即ac0；抛物线与x轴的交点横坐标分别是1，3，方程ax2+bx+c=0的根是x1=1，x2=3；当x=1时，y0，a+b+c0；对称轴是x=1，x1时，y随着x的增大而增大，故正确的有故答案为：【点评】此题要考查了二次函数的性质，要掌握如何利用图象上的信息确定字母系数的范围，并记住特殊值的特殊用法，如x=1，x=1时对应的y值6（2008白银）抛物线y=x2+x4与y轴的交点坐标为（0，4）【考点】二次函数图象上点的坐标特征【专题】压轴题【分析】y轴上点的坐标横坐标为0，纵坐标为y=4，坐标为（0，4）【解答】解：把x=0代入得，y=4，即交点坐标为（0，4）【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，要明确y轴上点的坐标横坐标为0三、解答题7已知：抛物线y=x2+（b1）x+c经过点P（1，2b）（1）求b+c的值；（2）若b=3，求这条抛物线的顶点坐标；（3）若b3，过点P作直线PAy轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且BP=2PA，求这条抛物线所对应的二次函数关系式（提示：请画示意图思考）【考点】二次函数综合题【专题】综合题；压轴题【分析】（1）因为抛物线y=x2+（b1）x+c经过点P（1，2b），所以将点P代入解析式即可求得；（2）因为b=3，所以求得c的值，即可求得抛物线的解析式，然后利用配方法求出顶点坐标；（3）解此题的关键是首先确定函数的草图，即开口方向是向上，对称轴为x=，在y轴的左侧，根据题意确定点B的坐标；因为点P与点B关于对称轴对称，所以确定对称轴方程，从而求得b、c的值，求得函数解析式【解答】解：（1）依题意得：（1）2+（b1）（1）+c=2b，b+c=2（2）当b=3时，c=5，y=x2+2x5=（x+1）26，抛物线的顶点坐标是（1，6）（3）当b3时，抛物线对称轴x=对称轴在点P的左侧因为抛物线是轴对称图形，P（1，2b）且BP=2PAB（3，2b） =2，b=5 又b+c=2，c=7 抛物线所对应的二次函数关系式为y=x2+4x7解法2：当b3时，b3，1b2，则x=1，对称轴在点P的左侧，因为抛物线是轴对称图形P（1，2b），且BP=2PA，B（3，2b） （3）23（b1）+c=2b又b+c=2，解得b=5，c=7这条抛物对应的二次函数关系式为y=x2+4x7解法3：（3）b+c=2，c=b2y=x2+（b1）xb2BPx轴，x2+（b1）xb2=2b即x2+（b1）x+b2=0解得：x1=1，x2=（b2），即xB=（b2）由BP=2PA，1+（b2）=21b=5，c=7 抛物线所对应的二次函数关系式为y=x2+4x7【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式，考查了二次函数的对称性，解题的关键是要注意数形结合思想的应用8杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=x2+3x+1的一部分，如图所示（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由【考点】二次函数的应用【专题】压轴题【分析】（1）将二次函数化简为y=（x）2+，即可解出y最大的值（2）当x=4时代入二次函数可得点B的坐标在抛物线上【解答】解：（1）将二次函数y=x2+3x+1化成y=（x）2，（3分），当x=时，y有最大值，y最大值=，（5分）因此，演员弹跳离地面的最大高度是4.75米（6分）（2）能成功表演理由是：当x=4时，y=42+34+1=3.4即点B（4，3.4）在抛物线y=x2+3x+1上，因此，能表演成功（12分）【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题9研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y=x2+5x+90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p甲，p乙（万元）均与x满足一次函数关系（注：年利润=年销售额全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，P甲=x+14，请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润W甲（万元）与x之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时，P乙=+n（n为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元试确定n的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标是【考点】二次函数的应用【专题】压轴题【分析】依据年利润=年销售额全部费用即可求得利润W甲（万元）与x之间的函数关系式及利润W乙（万元）与x之间的函数关系式，分别求出x=18时，W甲和W乙的值，通过比较W甲和W乙大小就可以帮助投资商做出选择【解答】解：（1）甲地当年的年销售额为（x+14）x=（x2+14x）万元；w甲=（x2+14x）（x2+5x+90）=x2+9x90（2）在乙地区生产并销售时，年利润：w乙=x2+nx（x2+5x+90）=x2+（n5）x90由=，解得n=15或5经检验，n=5不合题意，舍去，n=15（3）在乙地区生产并销售时，年利润w乙=x2+10x90，将x=18代入上式，得w乙=25.2（万元）；将x=18代入w甲=x2+9x90，得w甲=23.4（万元）W乙W甲，应选乙地【点评】本题是一道最佳方案选择题，通过计算、比较同一个自变量的两个函数值的大小来选择最佳方案依据年利润=年销售额全部费用即可求得利润W甲（万元）与x之间的函数关系式及利润W乙（万元）与x之间的函数关系式，分别求出x=18时，W甲和W乙的值，通过比较W甲和W乙大小就可以帮助投资商做出选择10附加题：如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=AD，C=60，AEBD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）设AE=x，四边形DEGF的面积为y，求y关于x的函数关系式【考点】梯形；平行四边形的判定【专题】代数几何综合题【分析】（1）本题可分别证明四边形AEFD的两边平行，先求DFEA，也就是求BDC=90，已知C是60，可以通过等腰梯形的性质得出BAD=ADC=120，在等腰三角形ABD中，AE是底边的高，根据等腰三角形三线合一的特点可得出BAE=EAD=60，E是BD中点，那么ADB=30，因此便可证得BDC=90即可得出AEDF，下面证ADEF，EF是三角形DBC的中位线，EFBCAD，因此便可得出四边形AEFD是平行四边形（2）我们不难看出DGEF，因此四边形EDFG的面积可用EFDG来求直角三角形AED中有AE的值，有ADB的度数，可以求出AD的长，也就求出了EF的长，同理可在三角形DGC中求出DG的长，这样就能求出四边形DEGF的面积了【解答】（1）证明：AB=DC，梯形ABCD为等腰梯形C=60，BAD=ADC=120又AB=AD，ABD=ADB=30DBC=ADB=30BDC=90由AEBD，AEDC又AE为等腰ABD的高，E是BD的中点（等腰三角形三线合一）F是DC的中点，EFBCEFAD四边形AEFD是平行四边形（2）解：在RtAED中，ADB=30，AE=x，AD=2x在RtDGC中C=60，且DC=AD=2x，DG=x由（1）知：在平行四边形AEFD中：EF=AD=2x，又DGBC，DGEF四边形DEGF的面积=EFDGy=2xx=x2（x0）【点评】本题的关键是求出四边形AEFD是平行四边形，要根据已知条件选择比较容易的证法11如图，已知A（4，0），B（0，4），现以A点为位似中心，相似比为9：4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C（1）求C点坐标及直线BC的解析式；（2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象；（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P【考点】位似变换；一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式【专题】综合题；压轴题【分析】（1）利用相似及相似比，可得到C的坐标把A，B代入一次函数解析式即可求得解析式的坐标（2）顶点落在x轴正半轴上说明此函数解析式与x轴有一个交点，那么=0，再把B，C两点即可（3）到直线AB的距离为的直线有两条，可求出这两条直线解析式，和二次函数解析式组成方程组，求得点P坐标【解答】解：（1）过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知ABOACD，由已知A（4，0），B（0，4）可知AO=4，BO=4AD=CD=9，C点坐标为（5，9），设直线BC的解析式为y=kx+b，A（4，0），B（0，4）在一次函数解析式上，那么4k+b=0，b=4，解得k=1，化简得y=x+4；（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a0），由题意得，解得，解得抛物线解析式为y1=x24x+4或y2=x2+x+4，又y2=x2+x+4的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去满足条件的抛物线解析式为y=x24x+4，（准确画出函数y=x24x+4图象）（3）将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，设P到直线AB的距离为h，故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线l1和l2上由平行线的性质可得两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为如图，设l1与y轴交于E点，过E作EFBC于F点，在RtBEF中EF=h=，EBF=ABO=45，BE=6可以求得直线l1与y轴交点坐标为（0，10），同理可求得直线l2与y轴交点坐标为（0，2），两直线解析式l1：y=x+10；l2：y=x2根据题意列出方程组：（1）；（2），解得；，满足条件的点P有四个，它们分别是P1（6，16），P2（1，9），P3（2，0），P4（3，1）【点评】本题用到的知识点为：可把位似比转换为相似三角形的相似比；到一条直线的距离为定值的直线是平行于已知直线的两条直线；平行直线的k的值相等12在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点（1）求直线BC及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且APD=ACB，求点P的坐标；（3）连接CD，求OCA与OCD两角和的度数【考点】二次函数综合题【专题】综合题；压轴题【分析】（1）依题意设直线BC的解析式为y=kx+3，把B点坐标代入解析式求出直线BC的表达式然后又已知抛物线y=x2+bx+c过点B，C，代入求出解析式（2）由y=x24x+3求出点D，A的坐标得出三角形OBC是等腰直角三角形求出OBC，CB的值过A点作AEBC于点E，求出BE，CE的值证明AECAFP求出PF可得点P在抛物线的对称轴，求出点P的坐标（3）本题要靠辅助线的帮助作点A（1，0）关于y轴的对称点A，则A（1，0），求出AC=AC，由勾股定理可得CD，AD的值得出ADC是等腰三角形后可推出OCA+OCD=45度【解答】解：（1）y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C，C（0，3）设直线BC的解析式为y=kx+3B（3，0）在直线BC上，3k+3=0解得k=1直线BC的解析式为y=x+3（1分）抛物线y=x2+bx+c过点B，C，解得，抛物线的解析式为y=x24x+3（2分）（2）由y=x24x+3可得D（2，1），A（1，0）OB=3，OC=3，OA=1，AB=2可得OBC是等腰直角三角形，OBC=45，CB=3如图1，设抛物线对称轴与x轴交于点F，AF=AB=1过点A作AEBC于点EAEB=90度可得BE=AE=，CE=2在AEC与AFP中，AEC=AFP=90，ACE=APF，AECAFP，解得PF=2点P在抛物线的对称轴上，点P的坐标为（2，2）或（2，2）（5分）（3）解法一：如图2，作点A（1，0）关于y轴的对称点A，则A（1，0）连接AC，AD，可得AC=AC=，OCA=OCA由勾股定理可得CD2=20，AD2=10又AC2=10，AD2+AC2=CD2ADC是等腰直角三角形，CAD=90，DCA=45度OCA+OCD=45度OCA+OCD=45度即OCA与OCD两角和的度数为45度（7分）解法二：如图3，连接BD同解法一可得CD=，AC=在RtDBF中，DFB=90，BF=DF=1，DB=在CBD和COA中，CBDCOABCD=OCAOCB=45，OCA+OCD=45度即OCA与OCD两角和的度数为45度（9分）【点评】本题设计得很精致，将几何与函数完美的结合在一起，对学生综合运用知识的能力要求较高，本题3问之间层层递进，后两问集中研究角度问题中等层次的学生能够做出第（1）问，中上层次的学生可能会作出第（2）问，但第（2）问中符合条件的P点有两个，此时学生易忽视其中某一个，成绩较好的学生才可能作出第（3）问，本题是拉开不同层次学生分数的一道好题本题考点：函数图形的平移、一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、相似三角形、等腰直角三角形的判定及性质、勾股定理13如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【专题】压轴题【分析】（1）BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，可以知道四边形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=2，则CF=32=1，因而E、F的坐标就可以求出（2）顶点为F的坐标根据第一问可以求得是（1，2），因而抛物线的解析式可以设为y=a（x1）2+2，以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，应分EF是腰和底边两种情况进行讨论当EF是腰，EF=PF时，已知E、F点的坐标可以求出EF的长，设P点的坐标是（0，n），根据勾股定理就可以求出n的值得到P的坐标当EF是腰，EF=EP时，可以判断E到y轴的最短距离与EF的大小关系，只有当EF大于E到y轴的距离，P才存在当EF是底边时，EP=FP，根据勾股定理就可以得到关于n的方程，就可以解得n的值（3）作点E关于x轴的对称点E，作点F关于y轴的对称点F，连接EF，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点求出线段EF的长度，就是四边形MNFE的周长的最小值【解答】解：（1）E（3，1）；F（1，2）（2）在RtEBF中，B=90，EF=设点P的坐标为（0，n），其中n0，顶点F（1，2），设抛物线解析式为y=a（x1）2+2（a0）如图1，当EF=PF时，EF2=PF2，12+（n2）2=5解得n1=0（舍去）；n2=4P（0，4）4=a（01）2+2解得a=2抛物线的解析式为y=2（x1）2+2如图2，当EP=FP时，EP2=FP2，（2n）2+1=（1n）2+9解得（舍去）当EF=EP时，EP=，这种情况不存在综上所述，符合条件的抛物线解析式是y=2（x1）2+2（3）存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小如图3，作点E关于x轴的对称点E，作点F关于y轴的对称点F，连接EF，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点E（3，1），F（1，2），NF=NF，ME=MEBF=4，BE=3FN+NM+ME=FN+NM+ME=EF=又，FN+MN+ME+EF=5+，此时四边形MNFE的周长最小值是【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，求线段的和最小的问题基本的解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题14如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点A，C分别在x轴，y轴上，点B坐标为（m，）（其中m0），在BC边上选取适当的点E和点F，将OCE沿OE翻折，得到OGE；再将ABF沿AF翻折，恰好使点B与点G重合，得到AGF，且OGA=90度（1）求m的值；（2）求过点O，G，A的抛物线的解析式和对称轴；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得OPG是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出所有满足条件的点P的坐标（不要求写出求解过程）【考点】二次函数综合题【专题】压轴题；开放型【分析】（1）根据折叠的性质可知：AB=AG=OG=，而OA=BC=m，那么在直角三角形OGA中即可用勾股定理求出m的值（2）由于OGA是个等腰直角三角形，已知了OA的长，因此不难求出G点的坐标，根据O，A，G三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式（3）本题要分情况进行讨论：当OP=PG，那么P点为OG的垂直平分线与抛物线对称轴的交点因此P与H重合，P点坐标为（1，0）当OP=OG，那么OPG为等腰直角三角形因此GH=PH=1，P点坐标为（1，1）当GP=OG时，GP=，因此P点的坐标为（1，1+），（1，1）（在G点上下各有一点）【解答】解：（1）解法一：B（m，），由题意可知AG=AB=，OG=OC=，OA=m（2分）OGA=90，OG2+AG2=OA22+2=m2又m0，m=2解法二：B（m，），由题意可知AG=AB=，OG=OC=，OA=mOGA=90，GOA=GAO=45m=OA=2（2）解法一：过G作直线GHx轴于H，则OH=1，HG=1，故G（1，1）又由（1）知A（2，0），设过O，G，A三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c抛物线过原点，c=0又抛物线过G，A两点，解得，所求抛物线为y=x2+2x，它的对称轴为x=1解法二：过G作直线GHx轴于H，则OH=1，HG=1，故G（1，1）又由（1）知A（2，0），点A，O关于直线l对称，点G为抛物线的顶点于是可设过O，G，A三点的抛物线解析式为y=a（x1）2+1，抛物线过点O（0，0），0=a（01）2+1，解得a=1，所求抛物线为y=（1）（x1）2+1=x2+2x它的对称轴为x=1（3）答：存在满足条件的点P有（1，0），（1，1），（1，1），（1，1+）【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形翻折变换、三角形全等等知识点，综合性较强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法15如图，抛物线y=x2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值注：抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，）【考点】二次函数综合题【专题】代数几何综合题；压轴题【分析】（1）因为点A在抛物线上，所以将点A代入函数解析式即可求得；（2）由函数解析式可以求得其与x轴、y轴的交点坐标，即可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；（3）首先可求得二次函数的顶点坐标，再求得C关于x轴的对称点C，求得直线CD的解析式，与x轴的交点的横坐标即是m的值【解答】解：（1）点A（1，0）在抛物线y=x2+bx2上，（1）2+b（1）2=0，b=抛物线的解析式为y=x2x2y=x2x2=（x23x4）=（x）2，顶点D的坐标为（，）（4分）（2）当x=0时y=2，C（0，2），OC=2当y=0时， x2x2=0，x1=1，x2=4，B（4，0）（6分）OA=1，OB=4，AB=5AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，AC2+BC2=AB2ABC是直角三角形 （8分）（3）作出点C关于x轴的对称点C，则C（0，2），OC=2连接CD交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小 （9分）解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点EEDy轴，OCM=EDM，COM=DEMCOMDEM，m=12分解法二：设直线CD的解析式为y=kx+n，则，解得n=2，k=y=x+2当y=0时， x+2=0，x=m= （12分）【点评】此题考查了待定系数法求解析式，考查了二次函数与一次函数的综合应用，解题时要注意数形结合思想的应用16如图，已知ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t=2时，判断BPQ的形状，并说明理由；（2）设BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QRBA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，APRPRQ【考点】相似三角形的性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质；解直角三角形【专题】压轴题；动点型【分析】（1）当t=2时，可分别计算出BP、BQ的长，再对BPQ的形状进行判断；（2）B为60特殊角，过Q作QEAB，垂足为E，则BQ、BP、高EQ的长可用t表示，S与t的函数关系式也可求；（3）由题目线段的长度可证得CRQ为等边三角形，进而得出四边形EPRQ是矩形，由APRPRQ，可得出QPR=60，利用60的特殊角列出一方程即可求得t的值【解答】解：（1）BPQ是等边三角形当t=2时AP=21=2，BQ=22=4BP=ABAP=62=4BQ=BP又B=60BPQ是等边三角形；（2）过Q作QEAB，垂足为E由QB=2t，得QE=2tsin60=t由AP=t，得PB=6tSBPQ=BPQE=（6t）t=tS=t；（3）QRBAQRC=A=60，RQC=B=60QRC是等边三角形QR=RC=QC=62tBE=BQcos60=2t=tEP=ABAPBE=6tt=62tEPQR，EP=QR四边形EPRQ是平行四边形PR=EQ=t又PEQ=90，APR=PRQ=90APRPRQ，QPR=A=60tan60=即解得t=当t=时，APRPRQ【点评】此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的判定及性质、三角形相似、移动的特征、解直角三角形、函数等知识难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神17如图1，在RtABC中，C=90，BC=8厘米，AC=12厘米，点D在AC上，CD=3厘米点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒是k厘米；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米设运动的时间为x秒（0x8），DCQ的面积为y1平方厘米，PCQ的面积为y2平方厘米（1）求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象；（2）如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求k的值和y2与x的函数关系；（3）在图2中，设y1与y2的图象的交点为M，点G是x轴正半轴上一点（0OG6），过G作EF垂直于x轴，分别与y1、y2的图象交于点E、F求OMF面积的最大值说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；求OMF面积的最大值【考点】二次函数综合题【专题】代数几何综合题【分析】（1）直接根据三角形的面积公式可得y1=x；（2）先设y2=x（12kx）=x2+6x，把x=12时，y2=12代入解析式可求得k=，即y2=x2+6x；（3）线段是长EF=y2y1，表示PCQ与DCQ的面积差（或PDQ的面积），由x=x2+6x得点M（6，9），过点M做MHEF于点H，则SOMF=SOEF+SMEF=3EF=3（x2+6xx）=（x3）2+，所以当x=