中考数学一轮复习 第三章 变量与函数 3.4 二次函数（试卷部分）课件.ppt

3 4二次函数 中考数学 北京专用 2014 2018年北京中考题组 五年中考 1 2018北京 7 2分 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一 运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分 运动员起跳后的竖直高度y 单位 m 与水平距离x 单位 m 近似满足函数关系y ax2 bx c a 0 下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据 根据上述函数模型和数据 可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时 水平距离为 a 10mb 15mc 20md 22 5m 答案b由题图中给出的点可知 抛物线的最高点的横坐标在0到20之间 若最高点的横坐标为10 由对称性可知 0 54 0 关于对称轴的对称点为 20 54 0 而54 0 57 9 所以最高点的横坐标大于10 故选b 2 2010北京 6 4分 将二次函数y x2 2x 3化为y x h 2 k的形式 结果为 a y x 1 2 4b y x 1 2 4c y x 1 2 2d y x 1 2 2 答案dy x2 2x 3 x2 2x 1 2 x 1 2 2 故选d 3 2013北京 10 4分 请写出一个开口向上 并且与y轴交于点 0 1 的抛物线的解析式y 答案x2 1 答案不唯一 解析抛物线即二次函数的图象 则函数表达式应为y ax2 bx c a 0 开口向上 a 0 与y轴交于点 0 1 c 1 满足题设条件的一个抛物线的解析式为y x2 1 答案不唯一 考点一二次函数的图象与性质 教师专用题组 1 2018湖北黄冈 6 3分 当a x a 1时 函数y x2 2x 1的最小值为1 则a的值为 a 1b 2c 0或2d 1或2 答案dy x2 2x 1 x 1 2 当a 1时 函数y x2 2x 1在a x a 1内 y随x的增大而增大 其最小值为a2 2a 1 则a2 2a 1 1 解得a 2或a 0 舍去 当a 1 1 即a 0时 函数y x2 2x 1在a x a 1内 y随x的增大而减小 其最小值为 a 1 2 2 a 1 1 a2 则a2 1 解得a 1或a 1 舍去 当0 a 1时 函数y x2 2x 1在x 1处取得最小值 最小值为0 不合题意 综上 a的值为 1或2 故选d 2 2018四川成都 10 3分 关于二次函数y 2x2 4x 1 下列说法正确的是 a 图象与y轴的交点坐标为 0 1 b 图象的对称轴在y轴的右侧c 当x 0时 y的值随x值的增大而减小d y的最小值为 3 答案d因为y 2x2 4x 1 2 x 1 2 3 所以 当x 0时 y 1 选项a错误 该函数图象的对称轴是直线x 1 选项b错误 当x 1时 y随x的增大而减小 选项c错误 当x 1时 y取得最小值 此时y 3 选项d正确 故选d 思路分析根据题中的函数解析式以及二次函数的性质 可以判断各个选项中的结论是否成立 从而解答本题 解题关键解答本题的关键是理解二次函数的性质 会用配方法求二次函数的最值 3 2018陕西 10 3分 对于抛物线y ax2 2a 1 x a 3 当x 1时 y 0 则这条抛物线的顶点一定在 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 答案c当x 1时 y a 2a 1 a 3 0 解得a 1 又根据抛物线顶点坐标公式可得 0 0 所以这条抛物线的顶点一定在第三象限 故选c 4 2018河北 16 2分 对于题目 一段抛物线l y x x 3 c 0 x 3 与直线l y x 2有唯一公共点 若c为整数 确定所有c的值 甲的结果是c 1 乙的结果是c 3或4 则 a 甲的结果正确b 乙的结果正确c 甲 乙的结果合在一起才正确d 甲 乙的结果合在一起也不正确 答案d抛物线l y x x 3 c 0 x 3 可以看作抛物线y x x 3 0 x 3 沿y轴向上平移c个单位形成的 一段抛物线l y x x 3 c 0 x 3 与直线l y x 2有唯一公共点可以看作直线l y x 2沿y轴向下平移c个单位形成的直线y x 2 c与抛物线y x x 3 0 x 3 有唯一公共点 当直线y x 2 c 即l2 经过原点时 0 2 c 0 c 2 当直线y x 2 c 即l3 经过点a 3 0 时 3 2 c 0 c 5 根据图象可得当2 c 5时 直线y x 2 c与抛物线y x x 3 0 x 3 有唯一公共点 即一段抛物线l y x x 3 c 0 x 3 与直线l y x 2有唯一公共点 显然c 3 4 5 当直线y x 2 c为图中l1时 直线y x 2 c与抛物线y x x 3 0 x 3 有唯一公共点 令 x x 3 x 2 c 得x2 2x 2 c 0 4 4 2 c 0 解得c 1 因此甲 乙的结果合在一起也不正确 故选d 归纳总结数形结合思想主要指的是数与形之间的一一对应关系 就是把抽象的数学语言 数量关系与直观的几何图形 位置关系结合起来 通过 以形助数 或 以数解形 即通过抽象思维与形象思维的结合 可以使复杂问题简单化 抽象问题具体化 从而起到优化解题途径的目的 5 2018天津 12 3分 已知抛物线y ax2 bx c a b c为常数 a 0 经过点 1 0 0 3 其对称轴在y轴右侧 有下列结论 抛物线经过点 1 0 方程ax2 bx c 2有两个不相等的实数根 3 a b 3 其中 正确结论的个数为 a 0b 1c 2d 3 答案c 抛物线y ax2 bx c a b c为常数 a 0 经过点 1 0 其对称轴在y轴右侧 抛物线不能经过点 1 0 错误 抛物线y ax2 bx c a b c为常数 a 0 经过点 1 0 0 3 其对称轴在y轴右侧 抛物线开口向下 与直线y 2有两个交点 方程ax2 bx c 2有两个不相等的实数根 故 正确 抛物线的对称轴在y轴右侧 0 a0 把点 1 0 0 3 分别代入y ax2 bx c得a b 3 b a 3 a b 3 3 a 0 0 b 3 3 a b 3 故 正确 故选c 思路分析抛物线经过点 1 0 其对称轴在y轴右侧 由对称性可以判断 错误 由条件得抛物线开口向下 作直线y 2 直线与抛物线有两个交点 可判断 正确 根据抛物线所经过的点及对称轴的位置 可判断 正确 从而得结论 解后反思本题考查了二次函数图象上点的坐标特征 二次函数图象与系数的关系 二次函数与一元二次方程的关系 不等式的性质等知识 a的符号决定抛物线的开口方向 的符号决定抛物线对称轴的位置 c的值决定了抛物线与y轴的交点坐标 6 2018贵州贵阳 10 3分 已知二次函数y x2 x 6及一次函数y x m 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方 图象的其余部分不变 得到一个新图象 如图所示 当直线y x m与新图象有4个交点时 m的取值范围是 a m 3b m 2c 2 m 3d 6 m 2 答案d易知抛物线y x2 x 6与x轴交于点 2 0 3 0 依题意知 新图象对应的函数解析式为y 如图 当直线y x m经过点 2 0 时 直线与新图象有3个交点 此时 m 2 由方程组得x2 m 6 0 当该一元二次方程有两个相等的实数根时 02 4 1 m 6 4m 24 0 解得m 6 将m 6代入方程组 解得方程组的解是故当直线y x m经过点 0 6 时 直线与新图象有3个交点 此时 m 6 所以当 6 m 2时 直线y x m与新图象有4个交点 故选d 思路分析画出直线y x 然后平移 判断直线y x m与新图象有4个交点的临界位置 一是直线经过点 2 0 求得m 2 二是直线与抛物线y x2 x 6 2 x 3 相切 这时 方程组只有一组解 即方程x2 m 6 0有两个相等的实数根 令根的判别式等于0 可以求得m 6 结合图象可知 当 6 m 2时 直线y x m与新图象有4个交点 7 2018呼和浩特 10 3分 若满足2成立 则实数m的取值范围是 a m 1b m 5c m 4d m 4 答案d 2可变形为2x2 x m 作出函数y 2x2 x m y 的图象 如图所示 易知抛物线的对称轴为直线x 当2恒成立 即2x2 x m 恒成立 只需抛物线与双曲线的交点的横坐标x 即可 将x 代入y 得y 4 将代入y 2x2 x m 解得m 4 抛物线越往上平移越符合题意 m 4 解题关键解决本题的关键是要将不等式的问题转化为函数图象的问题来解决 同时要注意本题中二次函数的常数项为 m 所以最后在判断m的取值范围时不要写反 8 2017四川绵阳 10 3分 将二次函数y x2的图象先向下平移1个单位 再向右平移3个单位 得到的图象与一次函数y 2x b的图象有公共点 则实数b的取值范围是 a b 8b b 8c b 8d b 8 答案d由题意可得 y x2的图象经过两次平移后得到y x 3 2 1的图象 将 代入 得 x2 8x 8 b 0 因为抛物线与直线有公共点 所以 8 2 4 8 b 4b 32 0 所以b 8 故选d 9 2017陕西 10 3分 已知抛物线y x2 2mx 4 m 0 的顶点m关于坐标原点o的对称点为m 若点m 在这条抛物线上 则点m的坐标为 a 1 5 b 3 13 c 2 8 d 4 20 答案cy x2 2mx 4 x m 2 m2 4 则顶点m的坐标为 m m2 4 m 的坐标为 m m2 4 点m 在抛物线上 m2 2m2 4 m2 4 m2 4 m 0 m 2 m 2 8 故选c 思路分析先配方求出抛物线的顶点m的坐标 根据对称性表示出点m的对称点m 的坐标 由点m 在抛物线上 可将m 的坐标代入解析式求出m的值 进而求得点m的坐标 10 2016辽宁沈阳 10 2分 在平面直角坐标系中 二次函数y x2 2x 3的图象如图所示 点a x1 y1 b x2 y2 是该二次函数图象上的两点 其中 3 x1y2c y的最小值是 3d y的最小值是 4 答案d二次函数y x2 2x 3 x 1 2 4图象的顶点坐标为 1 4 令x2 2x 3 0 解得x1 3 x2 1 则二次函数y x2 2x 3的图象与x轴的两个交点为 3 0 1 0 由 3 x1 x2 0及二次函数的图象可知 y1 y2的大小不能确定 选项a b错误 ymin 4 选项c错误 故选d 11 2016天津 12 3分 已知二次函数y x h 2 1 h为常数 在自变量x的值满足1 x 3的情况下 与其对应的函数值y的最小值为5 则h的值为 a 1或 5b 1或5c 1或 3d 1或3 答案b当h 3时 二次函数在x 3处取最小值 此时 3 h 2 1 5 解得h1 5 h2 1 舍去 当1 h 3时 二次函数在x h处取最小值1 不符合题意 当h 1时 二次函数在x 1处取最小值 此时 1 h 2 1 5 解得h1 1 h2 3 舍去 h 1或5 故选b 评析本题考查了二次函数的图象和性质 分类讨论思想 解一元二次方程 属于难题 12 2016陕西 10 3分 已知抛物线y x2 2x 3与x轴交于a b两点 将这条抛物线的顶点记为c 连接ac bc 则tan cab的值为 a b c d 2 答案d不妨设点a在点b左侧 如图 作cd ab交ab于点d 当y 0时 x2 2x 3 0 解得x1 3 x2 1 所以a 3 0 b 1 0 所以ab 4 因为y x2 2x 3 x 1 2 4 所以顶点c 1 4 所以ad 2 cd 4 所以tan cab 2 故选d 思路分析要求三角函数值需要在坐标系中寻找直角三角形 即过某个已知点向坐标轴作垂线 解题关键解决三角函数与抛物线的题目 一定要在示意图中解决 同时要作出一条或多条垂线段 找到合适 知道顶点坐标 的直角三角形 13 2015辽宁沈阳 8 3分 在平面直角坐标系中 二次函数y a x h 2 a 0 的图象可能是 答案d二次函数y a x h 2 a 0 的图象的顶点坐标为 h 0 由于该点的纵坐标为0 所以该点在x轴上 符合这一条件的图象只有d 故选d 14 2015甘肃兰州 13 4分 二次函数y ax2 bx c的图象如图 点c在y轴的正半轴上 且oa oc 则 a ac 1 bb ab 1 cc bc 1 ad 以上都不是 答案a由题意得点c的坐标为 0 c oa oc 点a的坐标为 c 0 将 c 0 代入二次函数解析式 得ac2 bc c 0 c 0 ac b 1 0 即ac 1 b 故选a 15 2015江西南昌 6 3分 已知抛物线y ax2 bx c a 0 过 2 0 2 3 两点 那么抛物线的对称轴 a 只能是x 1b 可能是y轴c 在y轴右侧且在直线x 2的左侧d 在y轴左侧且在直线x 2的右侧 答案d抛物线y ax2 bx c a 0 开口向上 过点 2 0 2 3 则抛物线与x轴的另一个交点一定在点 2 0 左侧 且在点 2 0 右侧 设该交点为 m 0 则 2 m 2 对称轴为直线x 故选项d正确 16 2015浙江宁波 11 4分 二次函数y a x 4 2 4 a 0 的图象在2 x 3这一段位于x轴的下方 在6 x 7这一段位于x轴的上方 则a的值为 a 1b 1c 2d 2 答案a易知抛物线的对称轴为直线x 4 当2 x 3时 图象位于x轴下方 由对称性可知5 x 6这段图象也位于x轴下方 再由6 x 7这段图象位于x轴上方 可得抛物线一定经过点 6 0 将坐标代入函数表达式可得a 1 故选a 一题多解 二次函数y a x 4 2 4 a 0 的图象在2 x 3这一段位于x轴的下方 在6 x 7这一段位于x轴的上方 当x 时 二次函数y a x 4 2 4 a 0 的图象位于x轴的下方 当x 时 二次函数y a x 4 2 4 a 0 的图象位于x轴的上方 a 结合各选项知a的值为1 故选a 17 2016山东青岛 12 3分 已知二次函数y 3x2 c与正比例函数y 4x的图象只有一个交点 则c的值为 答案 解析 二次函数y 3x2 c与正比例函数y 4x的图象只有一个交点 一元二次方程3x2 c 4x 即3x2 4x c 0有两个相等的实数根 则有 4 2 4 3c 0 解得c 18 2015河南 12 3分 已知点a 4 y1 b y2 c 2 y3 都在二次函数y x 2 2 1的图象上 则y1 y2 y3的大小关系是 答案y2 y1 y3 解析 a 4 y1 b y2 c 2 y3 都在抛物线y x 2 2 1上 y1 3 y2 5 4 y3 15 5 4 3 15 y2 y1 y3 思路分析将三个点的坐标分别代入函数表达式中求出纵坐标 直接比较大小 一题多解设a b c三点到抛物线对称轴的距离分别为d1 d2 d3 y x 2 2 1 对称轴为直线x 2 d1 2 d2 2 d3 4 2 0 y2 y1 y3 19 2018云南 20 8分 已知二次函数y x2 bx c的图象经过a 0 3 b两点 1 求b c的值 2 二次函数y x2 bx c的图象与x轴是否有公共点 若有 求公共点的坐标 若没有 请说明理由 解析 1 二次函数y x2 bx c的图象经过a 0 3 b两点 解得 b c 3 4分 2 y x2 bx c x2 x 3 由 x2 x 3 0得x2 6x 16 0 解得x 2或x 8 6分 二次函数y x2 bx c的图象与x轴有两个公共点 公共点的坐标为 2 0 8 0 8分 思路分析 1 将a b的坐标分别代入解析式 列方程组求得b c 2 由 1 得二次函数解析式 令y 0 解方程即可 考查内容本题主要考查二次函数的性质及其与一元二次方程的关系 熟练地解方程 组 是解决本题的关键 20 2015浙江绍兴 21 10分 如果抛物线y ax2 bx c过定点m 1 1 则称此抛物线为定点抛物线 1 张老师在投影屏幕上出示了一个题目 请你写出一条定点抛物线的一个解析式 小敏写出了一个答案 y 2x2 3x 4 请你写出一个不同于小敏的答案 2 张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题 已知定点抛物线y x2 2bx c 1 求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式 请你解答 解析 1 不唯一 如y x2 2x 2 2 定点抛物线的顶点坐标为 b c b2 1 且 1 2b c 1 1 c 1 2b 顶点纵坐标c b2 1 2 2b b2 b 1 2 1 当b 1时 c b2 1最小 抛物线顶点纵坐标的值最小 此时c 1 抛物线的解析式为y x2 2x 考点二二次函数的实际应用 1 2018湖北武汉 15 3分 飞机着陆后滑行的距离y 单位 m 关于滑行时间t 单位 s 的函数解析式是y 60t t2 在飞机着陆滑行中 最后4s滑行的距离是m 答案24 解析y 60t t2 t 20 2 600 即t 20时 y取得最大值 即滑行距离达到最大 此时滑行距离是600m 当t 16时 y 60 16 162 576 所以最后4s滑行的距离为600 576 24m 2 2018辽宁沈阳 15 3分 如图 一块矩形土地abcd由篱笆围着 并且由一条与cd边平行的篱笆ef分开 已知篱笆的总长为900m 篱笆的厚度忽略不计 当ab m时 矩形土地abcd的面积最大 答案150 解析 四边形abcd是矩形 ab cd ab cd ad bc ad bc 又 ef cd 四边形cdef是平行四边形 ef cd 设ab x 则ef cd x 篱笆总长为900m ad bc 0 x 300 s矩形abcd ab ad x x2 450 x 当x 150m时 矩形土地abcd的面积最大 思路分析篱笆由ab ef cd ad bc五段构成 由矩形性质可得 ab ef cd ad bc 设ab x 则ad可用含x的式子表示 从而矩形的面积也可用含x的式子表示 则利用矩形面积与x之间存在的函数关系可求面积最大值 疑难突破当篱笆总长一定时 ad长随着ab的变化而变化 因此矩形面积与ab长之间存在着二次函数关系 问题即转化为求二次函数的最大值问题 解后反思本题中 二次函数的最大值可以用配方法 也可以直接由顶点公式得到 但要注意 还需要考虑最大值点能否落在自变量的取值范围内 3 2015浙江温州 15 5分 某农场拟建两间矩形饲养室 一面靠现有墙 墙足够长 中间用一道墙隔开 并在如图所示的三处各留1m宽的门 已知计划中的材料可建墙体 不包括门 总长为27m 则能建成的饲养室总占地面积最大为m2 答案75 解析设垂直于现有墙的一面墙长为xm 建成的饲养室总占地面积为ym2 则利用现有墙的长为 27 3 3x m y x 30 3x 3x2 30 x 3 x 5 2 75 3 0 当x 5时 ymax 75 即能建成的饲养室总占地面积最大为75m2 4 2014浙江绍兴 13 5分 如图的一座拱桥 当水面宽ab为12m时 桥洞顶部离水面4m 已知桥洞的拱形是抛物线 以水平方向为x轴 建立平面直角坐标系 若选取点a为坐标原点时的抛物线解析式是y x 6 2 4 则选取点b为坐标原点时的抛物线解析式是 答案y x 6 2 4 解析若选b点为坐标原点 则顶点坐标是 6 4 a 不变 则所求抛物线解析式为y x 6 2 4 5 2018江西 21 9分 某乡镇实施产业扶贫 帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚 到了收获季节 已知该蜜柚的成本价为8元 千克 投入市场销售时 调查市场行情 发现该蜜柚销售不会亏本 且每天销售量y 千克 与销售单价x 元 千克 之间的函数关系如图所示 1 求y与x的函数关系式 并写出x的取值范围 2 当该品种蜜柚定价为多少时 每天销售获得的利润最大 最大利润是多少 3 某农户今年共采摘蜜柚4800千克 该品种蜜柚的保质期为40天 根据 2 中获得最大利润的方式进行销售 能否销售完这批蜜柚 请说明理由 解析 1 设y与x的函数关系式为y kx b k 0 将 10 200 和 15 150 代入 得解得 y与x的函数关系式为y 10 x 300 由 10 x 300 0 得x 30 x的取值范围为8 x 30 2 设该品种蜜柚定价为x元 千克时 每天销售获得的利润为w元 依题意 得w x 8 10 x 300 10 x 19 2 1210 10 0 当x 19时 w最大值 1210 因此 该品种蜜柚定价为19元 千克时 每天销售获得的利润最大 最大利润为1210元 3 不能 理由 按 2 中每天获得最大利润的方式销售 由 1 得y 10 19 300 110 110 40 4400 4800 该农户不能销售完这批蜜柚 思路分析 1 利用待定系数法求出y与x的函数关系式 根据蜜柚销售不会亏本及销售量不能为负求得x的取值范围 2 根据 总利润 单件利润 销售量 列出函数解析式 并配方成顶点式即可得出最大利润 3 根据 2 中获得最大利润的方式进行销售 即x 19 求出40天的总销售量 与4800比较即可得出答案 方法指导用二次函数解决实际最值问题的一般步骤 1 设出实际问题中的变量 2 建立函数关系式 3 利用待定系数法或根据题意分析列等式求出函数关系式 4 确定自变量取值范围 5 利用二次函数的性质求出最值 对所得最值进行检验 是否符合实际意义 6 2018安徽 22 12分 小明大学毕业回家乡创业 第一期培植盆景与花卉各50盆 售后统计 盆景的平均每盆利润是160元 花卉的平均每盆利润是19元 调研发现 盆景每增加1盆 盆景的平均每盆利润减少2元 每减少1盆 盆景的平均每盆利润增加2元 花卉的平均每盆利润始终不变 小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆 设培植的盆景比第一期增加x盆 第二期盆景与花卉售完后的利润分别为w1 w2 单位 元 1 用含x的代数式分别表示w1 w2 2 当x取何值时 第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大 最大总利润是多少 解析 1 w1 50 x 160 2x 2x2 60 x 8000 w2 100 50 x 19 50 x 19 19x 950 6分 2 w w1 w2 2x2 41x 8950 2 x取整数 当x 10时 总利润w最大 最大总利润是9160元 12分 思路分析 1 根据题意分别列出w1 w2关于x的函数表达式 2 将二次函数的解析式配方 根据x取整数及二次函数的性质求出w的最大值 7 2018河北 26 11分 下图是轮滑场地的截面示意图 平台ab距x轴 水平 18米 与y轴交于点b 与滑道y x 1 交于点a 且ab 1米 运动员 看成点 在ba方向获得速度v米 秒后 从a处向右下飞向滑道 点m是下落路线的某位置 忽略空气阻力 实验表明 m a的竖直距离h 米 与飞出时间t 秒 的平方成正比 且t 1时h 5 m a的水平距离是vt米 1 求k 并用t表示h 2 设v 5 用t表示点m的横坐标x和纵坐标y 并求y与x的关系式 不写x的取值范围 及y 13时运动员与正下方滑道的竖直距离 3 若运动员甲 乙同时从a处飞出 速度分别是5米 秒 v乙米 秒 当甲距x轴1 8米 且乙位于甲右侧超过4 5米的位置时 直接写出t的值及v乙的范围 解析 1 由题意 得点a的坐标为 1 18 代入y 得18 k 18 设h at2 a 0 把t 1 h 5代入 得a 5 h 5t2 2 v 5 ab 1 x 5t 1 h 5t2 ob 18 y 5t2 18 由x 5t 1 得t x 1 y x 1 2 18或y x2 x 当y 13时 13 x 1 2 18 解得x 6或 4 x 1 只取x 6 把x 6代入y 得y 3 运动员与正下方滑道的竖直距离是13 3 10 米 3 t 1 8 v乙 7 5 注 下面是 3 的一种解法 把y 1 8代入y 5t2 18 得t2 3 24 t 1 8 舍去负值 从而x 10 甲为 10 1 8 恰好落在滑道y 上 此时乙为 1 1 8v乙 1 8 由题意 得1 1 8v乙 1 5 1 8 4 5 v乙 7 5 思路分析 1 把点a的坐标代入y 得出k值 设h at2 a 0 利用待定系数法即可求解 2 根据题意分别用t表示x y 再把t x 1 代入消去t得y与x之间的关系式 令13 x 1 2 18 解得x 6 舍去负值 进一步把x 6代入y 求出y 3 最后求得运动员与正下方滑道的竖直距离 3 求出甲距x轴1 8米时的横坐标及用v乙表示的乙距x轴1 8米时的横坐标 根据题意列出不等式求出乙位于甲右侧超过4 5米的v乙的范围 解题关键本题是函数的综合题 准确理解题意 梳理所涉及的变量 并熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键 方法指导利用二次函数解决实际问题 1 根据题目中直接给出或间接给出的变量关系得到符合题意的二次函数解析式 2 二次函数的应用题往往最终转化为计算函数值或自变量的值来解答 8 2018河南 21 10分 某公司推出一款产品 经市场调查发现 该产品的日销售量y 个 与销售单价x 元 之间满足一次函数关系 关于销售单价 日销售量 日销售利润的几组对应值如下表 注 日销售利润 日销售量 销售单价 成本单价 1 求y关于x的函数解析式 不要求写出x的取值范围 及m的值 2 根据以上信息 填空 该产品的成本单价是元 当销售单价x 元时 日销售利润w最大 最大值是元 3 公司计划开展科技创新 以降低该产品的成本 预计在今后的销售中 日销售量与销售单价仍存在 1 中的关系 若想实现销售单价为90元时 日销售利润不低于3750元的销售目标 该产品的成本单价应不超过多少元 解析 1 设y关于x的函数解析式为y kx b k 0 由题意得解得 y关于x的函数解析式为y 5x 600 3分 当x 115时 m 5 115 600 25 4分 2 80 100 2000 7分 3 设该产品的成本单价为a元 由题意得 5 90 600 90 a 3750 解得a 65 答 该产品的成本单价应不超过65元 10分 思路分析 1 在表格中任选两对x y的值 由待定系数法求得y关于x的函数解析式 把x 115代入求得m的值 2 由85 875 175 80 得成本单价 根据题意可求得w关于x的函数解析式 配方得解 3 列出以a为未知数的一元一次不等式 解不等式即可 易错警示解答第 2 问时 容易从表格中选取数值直接填空 造成错解 正确解法为 求出w关于x的解析式w y x 80 5 x 100 2 2000 根据实际意义得 当x 100时 得出w的最大值2000 9 2018贵州贵阳 22 10分 六盘水市梅花山国际滑雪场自建成以来 吸引了大批滑雪爱好者 一滑雪者从山坡滑下 测得滑行距离y 单位 m 与滑行时间x 单位 s 之间的关系可以近似地用二次函数来表示 现测得一组数据 如下表所示 1 根据表中数据求出二次函数的表达式 现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约为840米 他需要多少时间才能到达终点 2 将得到的二次函数图象补充完整后 向左平移2个单位 再向下平移5个单位 求平移后所得图象对应的函数的表达式 解析 1 设二次函数的表达式为y ax2 bx c a 0 将 0 0 代入函数表达式 得c 0 所以y ax2 bx 把 1 4 2 12 代入上式 得解这个方程组 得所以 所求二次函数表达式为y 2x2 2x x 0 当y 840时 840 2x2 2x 解得x1 20 x2 21 不符合题意 舍去 所以 他需要20s才能到达终点 2 由y 2x2 2x 得y 2 则该二次函数图象的顶点坐标为 所以 将y 2 的图象向左平移2个单位 再向下平移5个单位后所得图象的顶点坐标为 所以平移后所得图象对应的函数的表达式为y 2 或y 2x2 10 x 7 10 2018湖北黄冈 23 9分 我市某乡镇在 精准扶贫 活动中销售一农产品 经分析发现月销售量y 万件 与月份x 月 的关系式为y 每件产品的利润z 元 与月份x 月 的关系如下表 1 请你根据表格求出每件产品利润z 元 与月份x 月 的关系式 2 若月利润w 万元 当月销售量y 元件 当月每件产品的利润z 元 求月利润w 万元 与月份x 月 的关系式 3 当x为何值时 月利润w有最大值 最大值为多少 解析 1 根据表格可知 当1 x 10且x为整数时 z x 20 当11 x 12且x为整数时 z 10 z与x的关系式为z 或z 2 当1 x 8且x为整数时 w x 20 x 4 x2 16x 80 当9 x 10且x为整数时 w x 20 x 20 x2 40 x 400 当11 x 12且x为整数时 w 10 x 20 10 x 200 w与x的关系式为w 或w 3 当1 x 8且x为整数时 w x2 16x 80 x 8 2 144 当x 8时 w有最大值 为144 当9 x 10且x为整数时 w x2 40 x 400 x 20 2 当x 9时 w有最大值 为121 当11 x 12且x为整数时 w 10 x 200 当x 11时 w有最大值 为90 90 121 144 x 8时 w有最大值 为144 或当1 x 8且x为整数时 w有最大值144 当x 9时 w 121 当x 10时 w 100 当x 11时 w 90 当x 12时 w 80 11 2018呼和浩特 25 10分 某市计划在十二年内通过公租房建设 解决低收入人群的住房问题 已知前7年 每年竣工投入使用的公租房面积y 单位 百万平方米 与时间x 第x年 的关系构成一次函数 1 x 7且x为整数 且第一和第三年竣工投入使用的公租房面积分别为和百万平方米 后5年每年竣工投入使用的公租房面积y 单位 百万平方米 与时间x 第x年 的关系是y x 7 x 12且x为整数 1 已知第6年竣工投入使用的公租房面积可解决20万人的住房问题 如果人均住房面积最后一年要比第6年提高20 那么最后一年竣工投入使用的公租房面积可解决多少万人的住房问题 2 受物价上涨等因素的影响 已知这12年中 每年竣工投入使用的公租房的租金各不相同 且第一年 一年38元 m2 第二年 一年40元 m2 第三年 一年42元 m2 第四年 一年44元 m2 以此类推 分析说明每平方米的年租金和时间能否构成函数 如果能 直接写出函数解析式 3 在 2 的条件下 假设每年的公租房当年全部出租完 写出这12年中每年竣工投入使用的公租房的年租金w关于时间x的函数解析式 并求出w的最大值 单位 亿元 如果在w取得最大值的这一年 老张租用了58m2的房子 计算老张这一年应交付的租金 解析 1 设y kx b k 0 1 x 7且x为整数 由已知得解得 y x 4 1 x 7 x 6时 y 6 4 3 300 20 15 15 1 20 18 又x 12时 y 12 100 18 12 5万人 最后一年可解决12 5万人的住房问题 2 由于每平方米的年租金和时间都是变量 且对于每一个确定的时间x的值 每平方米的年租金m 元 m2 都有唯一的值与它对应 所以它们能构成函数 由题意知m 2x 36 1 x 12且x为整数 3 w x为整数 当x 3时 w 147 当x 8时 w 143 147 143 当x 3时 年租金最大 wmax 1 47亿元 当x 3时 m 2 3 36 42 58 42 2436元 老张这一年应交租金2436元 解题关键解决本题的关键是要能从大量的文字信息中提取相关的已知条件 并能列出符合题意的表达式 进而借助二次函数的顶点式 配方法 求出相应的最值 12 2017安徽 22 12分 某超市销售一种商品 成本每千克40元 规定每千克售价不低于成本 且不高于80元 经市场调查 每天的销售量y 千克 与每千克售价x 元 满足一次函数关系 部分数据如下表 1 求y与x之间的函数表达式 2 设商品每天的总利润为w 元 求w与x之间的函数表达式 利润 收入 成本 3 试说明 2 中总利润w随售价x的变化而变化的情况 并指出售价为多少元时获得最大利润 最大利润是多少 解析 1 设y kx b k 0 由题意 得解得 所求函数表达式为y 2x 200 4分 2 w x 40 2x 200 2x2 280 x 8000 7分 3 w 2x2 280 x 8000 2 x 70 2 1800 其中40 x 80 2 0 当40 x 70时 w随x的增大而增大 当70 x 80时 w随x的增大而减小 当售价为70元时 获得最大利润 最大利润为1800元 12分 13 2017四川成都 26 8分 随着地铁和共享单车的发展 地铁 单车 已成为很多市民出行的选择 李华从文化宫站出发 先乘坐地铁 准备在离家较近的a b c d e中的某一站出地铁 再骑共享单车回家 设他出地铁的站点与文化宫距离为x 单位 千米 乘坐地铁的时间y1 单位 分钟 是关于x的一次函数 其关系如下表 1 求y1关于x的函数表达式 2 李华骑单车的时间y2 单位 分钟 也受x的影响 其关系可以用y2 x2 11x 78来描述 请问 李华应选择在哪一站出地铁 才能使他从文化宫站回家所需的时间最短 并求出最短时间 解析 1 设y1与x之间的函数关系式为y1 kx b k 0 把 8 18 9 20 代入得解得 y1 2x 2 2 设李华从文化宫站回家所花的时间为y分钟 则y y1 y2 即y 2x 2 x2 11x 78 即y x2 9x 80 x 9 2 当x 9时 y取最小值 李华应在b站出地铁 可使得他回家所需时间最短 最短时间为分钟 14 2017河北 26 12分 某厂按用户的月需求量x 件 完成一种产品的生产 其中x 0 每件的售价为18万元 每件的成本y 万元 是基础价与浮动价的和 其中基础价保持不变 浮动价与月需求量x 件 成反比 经市场调研发现 月需求量x与月份n n为整数 1 n 12 符合关系式x 2n2 2kn 9 k 3 k为常数 且得到了下表中的数据 1 求y与x满足的关系式 请说明一件产品的利润能否是12万元 2 求k 并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损 3 在这一年12个月中 若第m个月和第 m 1 个月的利润相差最大 求m 解析 1 由题意设y a 由表中数据 得解得 y 6 3分 由题意 若12 18 则 0 x 0 0 不可能 5分 2 将n 1 x 120代入x 2n2 2kn 9 k 3 得120 2 2k 9k 27 解得k 13 将n 2 x 100代入x 2n2 26n 144也符合 k 13 6分 由题意 得18 6 求得x 50 50 2n2 26n 144 即n2 13n 47 0 13 2 4 1 47 0 方程无实根 不存在 9分 3 第m个月的利润w x 18 y 18x x 12 x 50 24 m2 13m 47 第 m 1 个月的利润w 24 m 1 2 13 m 1 47 24 m2 11m 35 若w w w w 48 6 m m取最小1 w w 240最大 若w w w w 48 m 6 m 1 12 m 11 m取最大11 w w 240最大 m 1或11 12分 15 2016湖北武汉 22 10分 某公司计划从甲 乙两种产品中选择一种生产并销售 每年产销x件 已知产销两种产品的有关信息如下表 其中a为常数 且3 a 5 1 若产销甲 乙两种产品的年利润分别为y1万元 y2万元 直接写出y1 y2与x的函数关系式 2 分别求出产销两种产品的最大年利润 3 为获得最大年利润 该公司应该选择产销哪种产品 请说明理由 解析 1 y1 6 a x 20 y2 0 05x2 10 x 40 2分 2 3 a 5 6 a 0 y1随x的增大而增大 x 200 当x 200时 y1取得最大值1180 200a 4分 y2 0 05x2 10 x 40 0 05 x 100 2 460 而 0 05 0 当x 100时 y2随x的增大而增大 5分 x 80 当x 80时 y2取得最大值440 综上 若产销甲种产品 最大年利润为 1180 200a 万元 若产销乙种产品 最大年利润为440万元 7分 3 解法一 设w 1180 200a 440 200a 740 200 0 w随a的增大而减小 由 200a 740 0 解得a 3 7 9分 3 a 5 当3 a 3 7时 选择产销甲种产品 当3 7 a 5时 选择产销乙种产品 10分 解法二 由1180 200a3 7 9分 3 a 5 当3 a 3 7时 选择产销甲种产品 当3 7 a 5时 选择产销乙种产品 10分 16 2015宁夏 25 10分 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价 将该产品按拟定的价格进行试销 通过对5天的试销情况进行统计 得到如下数据 1 计算这5天销售额的平均数 销售额 单价 销量 2 通过对上面表格中的数据进行分析 发现销量y 件 与单价x 元 件 之间存在一次函数关系 求y关于x的函数关系式 不需要写出函数自变量的取值范围 3 预计在今后的销售中 销量与单价仍然存在 2 中的关系 且该产品的成本是20元 件 为使工厂获得最大利润 该产品的单价应定为多少 解析 1 934 4 2分 2 设所求一次函数关系式为y kx b k 0 将 30 40 40 20 代入y kx b 得解得 y 2x 100 5分 3 设利润为 元 根据题意 得 x 20 2x 100 7分 2x2 140 x 2000 2 x 35 2 450 9分 则当x 35时 取最大值 即当该产品的单价为35元 件时 工厂获得最大利润450元 10分 考点一二次函数的图象与性质 三年模拟 a组2016 2018年模拟 基础题组 1 2018北京东城一模 2 当函数y x 1 2 2的函数值y随着x的增大而减小时 x的取值范围是 a x 0b x1d x为任意实数 答案b因为二次项系数为1 所以抛物线开口向上 因为y随着x的增大而减小 且抛物线的对称轴为直线x 1 所以x 1 故选b 2 2017北京通州一模 7 如图 在平面直角坐标系xoy中 点a b c满足二次函数y ax2 bx的表达式 则对该二次函数的系数a和b判断正确的是 a a 0 b 0b a0 b0 答案d由题目中给出的三个点 可以画出抛物线的示意图 如图所示 所以a0 故选d 3 2017北京顺义一模 9 在平面直角坐标系x o y 中 如果抛物线y 2x 2不动 而把x轴 y轴分别向下 向左平移2个单位 则在新坐标系下抛物线的表达式为 a y 2 x 2 2 2b y 2 x 2 2 2c y 2 x 2 2 2d y 2 x 2 2 2 答案d若把x轴 y轴分别向下 向左平移2个单位 则抛物线的顶点坐标变为 2 2 则抛物线的表达式为y 2 x 2 2 2 故选d 4 2018北京大兴一模 11 请写出一个开口向下 并且对称轴为直线x 1的抛物线的表达式 答案y x2 2x 1 答案不唯一 解析设抛物线的表达式为y ax2 bx c 因为抛物线开口向下 所以a 0 因为对称轴为直线x 1 所以 1 即b 2a 若a 1 则b 2 c可取任意值 不妨取y x2 2x 1 答案不唯一 5 2018北京燕山一模 12 写出经过点 0 0 2 0 的一个二次函数的解析式 写一个即可 答案y x2 2x 答案不唯一 解析设抛物线的表达式为y ax2 bx c 因为抛物线过点 0 0 2 0 所以c 0 4a 2b 0 当a 1时 b 2 不妨取y x2 2x 答案不唯一 6 2017北京东城一模 12 请你写出一个二次函数 其图象满足条件 开口向上 与y轴的交点坐标为 0 1 此二次函数的解析式可以是 答案答案不唯一 如 y x2 1 解析设二次函数的解析式为y ax2 bx c a 0 由开口向上可知a 0 由与y轴的交点坐标为 0 1 可知c 1 所以解析式可以是y x2 1 答案不唯一 7 2016北京海淀一模 14 在下列函数 y 2x 1 y x2 2x y y 3x中 与众不同的一个是 填序号 你的理由是 答案 只有 中函数的自变量取值范围不是全体实数 答案不唯一 解析所写理由只要能够支撑填写的结论即可 如 只有 是从左到右上升的直线 只有 的图象是从左到右先下降后上升 只有 中函数的自变量取值范围不是全体实数 只有 是从左到右下降的直线 8 2018北京丰台二模 20 在平面直角坐标系xoy中 已知抛物线y x2 4x 2m 1与x轴交于点a b 点a在点b的左侧 1 求m的取值范围 2 当m取最大整数时 求点a b的坐标 解析 1 抛物线y x2 4x 2m 1与x轴有两个交点 方程x2 4x 2m 1 0有两个不等的实数根 4 2 4 2m 1 0 m 2 5 2 m 2 5 m可取的最大整数为2 当m 2时 抛物线方程为y x2 4x 2m 1 x2 4x 3 令y 0 得x2 4x 3 0 解得x1 1 x2 3 a 1 0 b 3 0 9 2017北京丰台一模 27 在平面直角坐标系xoy中 抛物线y mx2 4mx 2m 1 m 0 与平行于x轴的一条直线交于a b两点 1 求抛物线的对称轴 2 如果点a的坐标是 1 2 求点b的坐标 3 抛物线的对称轴交直线ab于点c 如果直线ab与y轴交点的纵坐标为 1 且抛物线顶点d到点c的距离大于2 求m的取值范围 解析 1 抛物线y mx2 4mx 2m 1 m x 2 2 2m 1 对称轴为直线x 2 2 抛物线是轴对称图形 点a与点b关于直线x 2对称 a 1 2 b 5 2 3 抛物线y mx2 4mx 2m 1 m x 2 2 2m 1 顶点d的坐标为 2 2m 1 直线ab与y轴交点的纵坐标为 1 c 2 1 顶点d到点c的距离大于2 2m 1 1 2或 1 2m 1 2 m1 10 2017北京东城一模 27 二次函数y m 2 x2 2 m 2 x m 5 其中m 2 0 1 求该二次函数的对称轴方程 2 过动点c 0 n 作直线l y轴 当直线l与抛物线只有一个公共点时 求n与m的函数关系 若抛物线与x轴有两个交点 将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折 图象的其余部分保持不变 得到一个新的图象 当n 7时 直线l与新的图象恰好有三个公共点 求此时m的值 3 若对于每一个给定的x的值 它所对应的函数值都不小于1 求m的取值范围 解析 1 对称轴方程为x 1 2 直线l与抛物线只有一个公共点 n 2m 3 依题意可知 当 2m 3 7时 直线l与新的图象恰好有三个公共点 m 5 3 抛物线y m 2 x2 2 m 2 x m 5的顶点坐标是 1 2m 3 依题意可得解得 m的取值范围是 2 m 1 11 2016北京海淀二模 27 已知 点p m n 为抛物线y ax2 4ax b a 0 上一动点 1 p1 1 n1 p2 3 n2 为p点运动所经过的两个位置 判断n1 n2的大小 并说明理由 2 当1 m 4时 n的取值范围是1 n 4 求抛物线的解析式 解析 1 n1 n2 理由如下 由题意可得抛物线的对称轴为直线x 2 p1 1 n1 p2 3 n2 在抛物线y ax2 4ax b a 0 上